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高考数学数列大题训练


高考数学数列大题训练 1、已知等比数列 {an } 中, a2 , a3 , a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且

a1 ? 64, 公比q ? 1 (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ? log2 an ,求数列 {|b n |}的前n项和Tn . 2、已知数列 {an } 满足递推式 an ? 2an?1 ? 1(n ? 2)

,其中 a4 ? 15.
(Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n 3、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且有 a1 ? 2 , 3Sn ? 5an ? an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2) (1)求数列 an 的通项公式; (2)若 bn ? (2n ?1) an ,求数列 an 的前 n 项的和 Tn 。 4、已知数列{ an }满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 2 n (n ? 2, 且n ? N * ) . (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)证明数列{ (Ⅲ)求数列{ an }的前 n 项之和 S n (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求证:数列 ?

an }是等差数列; 2n

5、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an an?1 ? 2an?1 ? 1 .

6、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn 7、 a1 ? 2, a2 ? 4, bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2 . 求证: (1)数列{bn+2}是公比为 2 的等比数列; (2) an ? 2 n?1 ? 2n ; (3) a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 n?2 ? n(n ? 1) ? 4 .

? 1 ? ? 是等差数列,并写出 ?an ? 的一个通项。 ? an ? 1?
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8、已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前六项和为 60,且 a6为a1和a21 的等比中项. (1)求数列 {an } 的通项公式 an 及前n项和S n ; (2)若数列 {bn }满足bn ?1 ? bn ? a n (n ? N ? ),且b1 ? 3, 求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn bn

9 、已知 Sn 是数列 ?an ? 的 前 n 项和, a1 ? , a2 ? 2 ,且 Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ,其 中

3 2

n ? 2, n ? N * . ① 求证数列 ?an ? 1? 是等比数列;
② 求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

1

10、已知 S n 是数列{ an }的前 n 项和,并且 a1 =1,对任意正整数 n, S n?1 ? 4an ? 2 ;设

bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,3,?).
(I)证明数列 {bn } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; (II)设 Cn ?

bn 1 , Tn为数列 { } 的前 n 项和,求 Tn . 3 log2 Cn?1 ? log2 Cn? 2

11、已知数列{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a2a6=55,a2+a7=16 (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}和数列{bn}满足等式 an= 项和 Sn。 12、成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 {bn}中的 b3、b4、b5. (I) 求数列{bn}的通项公式; (II) 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等比数列. 13、设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2an﹣2n, (Ⅰ )求 a1,a4 (Ⅱ )证明:{an+1﹣2an}是等比数列; (Ⅲ )求{an}的通项公式. 14、已知数列{an}的首项 (Ⅰ )证明:数列 (Ⅱ )求数列 , ,n=1,2,3,…. (n∈ N*) ,求数列{bn}的前 n

是等比数列; 的前 n 项和 Sn.

15、等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16 (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 16、等比数列{an}的前 n 项和为 sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 sn. 17、已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ )求数列{an}的通项; (Ⅱ )求数列{2an}的前 n 项和 Sn. ﹣ 18、设数列{an}满足 a1=2,an+1﹣an=3?22n 1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列的前 n 项和 Sn. 19、已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=﹣10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列{ }的前 n 项和.

20、设{an}是公比为正数的等比数列 a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ )求{an}的通项公式; (Ⅱ )设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn

2

高考数列大题参考答案 1、解 (1) 设该等差数列为 {cn } ,则 a2 ? c5 , a3 ? c3 , a4 ? c2

c5 ? c3 ? 2d ? 2(c3 ? c2 )

? (a2 ? a3 ) ? 2(a3 ? a4 ) 即: a1q ? a1q2 ? 2a1q2 ? 2a1q3 ?1 ? q ? 2q(1 ? q) ,
1 (2) bn ? log 2 [64 ( 2
n ?1

q ? 1,

? 2q ? 1,

q?

1 1 n ?1 ,? a ? 64 ( ) 2 2
n(13 ? n) 2
(8 分)

)] ? 6 ? (n ? 1) ? 7 ? n , {bn } 的前 n 项和 S n ?
n(13 ? n) 2

?当 1 ? n ? 7 时, bn ? 0 ,?Tn ? Sn ?
当 n ? 8 时, bn ? 0 , Tn ? b1 ? b2 ?

? b7 ? b8 ? b9 ?

? bn
n(13 ? n) 2

? S7 ? (b8 ? b9 ?

? bn ) ? S7 ? (Sn ? S7 ) ? 2S7 ? Sn ? 42 ?
(1 ? n ? 7, n ? N * ) (n ? 8, n ? N * )

? n(13 ? n) ? 2 ?Tn ? ? ? ?42 ? n(13 ? n) ? ? 2

2、解: (1)由 an ? 2an?1 ? 1及a4 ? 15 知 a4 ? 2a3 ? 1, 解得: a3 ? 7, 同理得 a2 ? 3, a1 ? 1. (2)由 an ? 2an?1 ? 1知 an ? 1 ? 2an?1 ? 2

an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ??an ? 1?构成以 a1 ? 1 ? 2 为首项以 2 为公比的等比数列;

? an ? 1(a1 ? 1) ? 2n?1 ;? an ? 1 ? 2 n , ? an ? 2 n ? 1. 为所求通项公式
(3)? an ? 2 n ? 1

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? an ? (21 ?1) ? (22 ?1) ? (23 ?1) ? ...... ? (2n ?1)
2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 ? n. ? (2 ? 2 ? 2 ? ...... ? 2 ) ? n ? 1? 2
1 2 3 n

3

3、解:由 3Sn ? 3Sn?1 ? 5an ? an?1 (n ? 2) ,? 2an ? an?1 ,又

a1 ? 2 ,

an 1 ? , an ?1 2

1 1 1 ?{an } 是以 2 为首项, 为公比的等比数列,? an ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ? 22? n 2 2 2

bn ? (2n ?1)22?n ,?Tn ? 1? 21 ? 3? 20 ? 5 ? 2?1 ?
1 Tn ? 1? 20 ? 3 ? 2?1 ? 2
(1)—(2)得 Tn ? 2 ? 2(2 ? 2 ?
0

? (2n ?1) ? 22?n (1)
(2)

? (2n ? 3) ? 22? n ? (2n ? 1) ? 21? n ? 22? n ) ? (2n ? 1) ? 21? n

1 2

?1

即: Tn ? 2 ?

1 2

2[1 ? (2?1 ) n?1 ] ? (2n ? 1) ? 21?n ? 6 ? (2n ? 3) ? 21?n , ?Tn ? 12 ? (2n ? 3) ? 22?n ?1 1? 2
2

4、解: (Ⅰ) a2 ? 2a1 ? 2 ? 6 , a3 ? 2a2 ? 23 ? 20 . (Ⅱ)? a n ? 2a n ?1 ? 2 (n ? 2, 且n ? N ) ,
n *



a n a n ?1 a a ?1 ? n ?1 ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) , 即 n ? n ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) . n n n ?1 2 2 2 2
an a 1 ? ,公差为 d ? 1 的等差数列. } 是首项为 1 1 n 2 2 2

∴数列 {

(Ⅲ)由(Ⅱ)得

an 1 1 1 1 ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? , ∴ a n ? ( n ? ) ? 2 n . n 2 2 2 2 2

? Sn ?

1 1 3 2 5 3 1 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? (n ? ) ? 2n (1) 2 2 2 2 1 3 5 1 1 2Sn ? ? 22 ? ? 23 ? ? 24 ? ? ? (n ? 1 ? ) ? 2n ? (n ? ) ? 2n ?1 (2) 2 2 2 2 2

(1) ? (2)得

1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 1 n ?1 2 ? S n ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? ) ? 2 2
2 3 n

?

2(1 ? 2 n ) 1 ? (n ? ) ? 2 n?1 ? 1 ? (3 ? 2n) ? 2 n ? 3 . ∴ S n ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 . 1? 2 2
5 7 9 , a3 ? , a 4 ? 3 5 7

5、解: (1) a 2 ?

(2)证明:由题设可知 an ? 0且an ? 1, n ? N

? an an?1 ? 2an?1 ? 1
4

? ?an?1 ? 1? ? ?an ? 1? ? ?an?1 ? 1??an ? 1?
? 1 1 ? ?1 a n ? 1 a n?1 ? 1

? 1 ? 1 ?? ? 是以 为首项, 1 为公差的等差数列 2 ? a n ? 1?


2 2n ? 1 1 1 1 ?1 ? ? ? n ? 1 ? n ? ? an ? 2n ? 1 2n ? 1 an ? 1 2 2

6、解: (Ⅰ)

an?1 ? 2Sn ,? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,?

Sn ?1 ?3 Sn

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S1 ? a1 ? 1 ,? 数列 ?Sn ? 是首项为1 ,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n?1 (n ? N* )

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当 n ≥ 2 时, an ? 2Sn?1 ? 2 3n?2 (n ≥ 2) ,

n ? 1, ?1, ? an ? ? n?2 ?? 3 ,n ≥ 2.
(Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 当 n ? 1 时, T1 ? 1; 当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4 30 ? 6 31 ?

? nan ,

? 2n 3n?2 ,…………①

3Tn ? 3 ? 4 31 ? 6 32 ?

? 2n 3n?1 ,………………………②
?3
n ?2

① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ?

) ? 2n 3

n?1

? 2?2

3(1 ? 3n ? 2 ) ? 2n 3n ?1 1? 3

? ?1 ? (1 ? 2n) 3n?1
?Tn ?

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1 ? 1? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) 2 ? 2? 1 ? 1? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) 2 ? 2?

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又 T1 ? a1 ? 1 也满足上式,

?Tn ?

7、解: ⑴ bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2) ?

b1 ? a2 ? a1 ? 2

bn ?1 ? 2 ?2 bn ? 2 b2 ? 2b2 ? 2 ? 6
5

数列{bn+2}是首项为 4 公比为 2 的等比数列; ⑵由⑴知 bn ? 2 ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1

?bn ? 2n?1 ? 2
? a2 ? a1 ? 2 2 ? 2 a3 ? a2 ? 23 ? 2
……

an?1 ? an ? 2 n?1 ? 2

an ? an?1 ? 2 n ? 2
上列(n-1)式子累加: an ? 2 ? (2 2 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2n

? an ? 2n?1 ? 2n
⑶ a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 n ?1

)?2

n(n ? 1) . 2

? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2n?2 ? n(n ? 1) ? 4

8、解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则

?6a1 ? 15d ? 60, ?d ? 2, 解得 ? ? 2 ?a1 ? 5. ?a1 (a1 ? 20d ) ? (a1 ? 5d )
? an ? 2n ? 3 .
Sn ? n(5 ? 2n ? 3) ? n(n ? 4) 2

(2)由 bn?1 ? bn ? an ,

?bn ? bn?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N ? ).
? (b2 ? b1 ) ? b1 ? a1 ? b1 ? (n ? 1)(n ? 1 ? 4) ? 3

当n ? 2时, bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? an ?1 ? an ? 2 ?

? n(n ? 2).对b1 ? 3也适合, 1 1 1 1 1 ? ( ? ). ?bn ? n(n ? 2)(n ? N ? ) ? ? bn n(n ? 2) 2 n n ? 2
Tn ? 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ( ? ? ) 2 3 2 4 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 3n 2 ? 5n ? 4(n ? 1)(n ? 2)

9、解:①

Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ? Sn?1 ? Sn ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 1 ? an?1 ? 2an ? 1(n ? 2) 3 又 a1 ? , a2 ? 2 也满足上式,? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) 2

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? N * )

6

?数列 ?an ? 1? 是公比为 2,首项为 a1 ? 1 ?

1 的等比数列 2

(2)由①, an ? 1 ? ? 2n?1 ? 2n?2 ? an ? 2n?2 ? 1 于是 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ? 2?1 ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 1 ? ... ? 2n?2 ? 1

1 2

?

? ?

? ?

?

?

?

? ? 2?1 ? 20 ? 21 ? ...2n?2 ? ? n ?

2n ? 1 ?n 2

10、解: (I)? S n?1 ? 4an ? 2,? S n ? 4an?1 ? 2(n ? 2), 两式相减: an?1 ? 4an ? 4an?1 (n ? 2),
? a n ? 1 ? 4(a n ? a n ? 1 )(n ? 2),? b n ? a n ? 1 ? 2a n , ? b n ? 1 ? a n ? 2 ? 2a n ? 1 ? 4(a n ? 1 ? a n ) ? 2a n ? 1 , b n ? 1 ? 2(a n ? 1 ? 2a n ) ? 2b n (n ? N *),

?

bn ?1 ? 2, bn

?{bn } 是以 2 为公比的等比数列,

? b1 ? a2 ? 2a1 , 而a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,? a2 ? 3a1 ? 2 ? 5, b1 ? 5 ? 2 ? 3,

?bn ? 3 ? 2 n?1 (n ? N*)
(II) C n ?

bn 1 1 1 ? 2 n ?1 , ? ? ? , n n ?1 3 log2 C n?1 ? log2 C n? 2 log2 2 ? log2 2 n(n ? 1)



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 1? . ? ? , ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n(n ? 1) n n ? 1

11、解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则依题意可知 d>0 由 a2+a7=16, 得 2a1+7d=16① 由 a2a6=55,得(a1+2d) (a1+5d)=55② 由① ② 联立方程求得 得 d=2,a1=1 或 d=﹣2,a1= ∴ an=1+(n﹣1)?2=2n﹣1 (2)令 cn= ,则有 an=c1+c2+…+cn an+1=c1+c2+…+cn+1 (排除)

两式相减得 an+1﹣an=cn+1,由(1)得 a1=1,an+1﹣an=2 ∴ cn+1=2,即 cn=2(n≥2) , 即当 n≥2 时, bn=2n+1,又当 n=1 时,b1=2a1=2 ∴ bn= 于是 Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6
7

12、解: (I)设成等差数列的三个正数分别为 a﹣d,a,a+d 依题意,得 a﹣d+a+a+d=15,解得 a=5 所以{bn}中的依次为 7﹣d,10,18+d 依题意,有(7﹣d) (18+d)=100,解得 d=2 或 d=﹣13(舍去) 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2 由 b3=b1?22,即 5=4b1,解得 所以{bn}是以 首项,2 为公比的等比数列,通项公式为

(II)数列{bn}的前和



,所以



因此{

}是以 为首项,公比为 2 的等比数列

13、解: (Ⅰ )因为 a1=S1,2a1=S1+2,所以 a1=2,S1=2 n 由 2an=Sn+2 知 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1 得 an+1=sn+2n+1① 所以 a2=S1+22=2+22=6,S2=8a3=S2+23=8+23=16,S2=24a4=S3+24=40 (Ⅱ )由题设和① 式知 an+1﹣2an=(Sn+2n+1)﹣(Sn+2n)=2n+1﹣2n=2n 所以{an+1﹣2an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. ﹣ ﹣ ﹣ (Ⅲ )an=(an﹣2an﹣1)+2(an﹣1﹣2an﹣2)++2n 2(a2﹣2a1)+2n 1a1=(n+1)?2n 1

14、解: (Ⅰ )由已知: ∴ ∴ 又 ∴ 数列 ,∴ , (2 分) , , (4 分)



是以 为首项, 为公比的等比数列. (6 分) , . (8 分) ,① ,②

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 即 设 则 ,∴

8

由① ﹣② 得:

, (10 分)

∴ ∴ 数列

.又 1+2+3+ 的前 n 项和:

. (12 分) .

15、解: (I)设{an}的公比为 q 由已知得 16=2q3,解得 q=2 (Ⅱ )由(I)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32 设{bn}的公差为 d,则有 解得 .

从而 bn=﹣16+12(n﹣1)=12n﹣28 所以数列{bn}的前 n 项和 16、解: (Ⅰ )依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2) 由于 a1≠0,故 2q2+q=0 (Ⅱ )由已知可得 故 a1=4 从而 又 q≠0,从而 .

17、解: (Ⅰ )由题设知公差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 = ,

解得 d=1,d=0(舍去) ,故{an}的通项 an=1+(n﹣1)× 1=n; {2}^{{a}_{n}}={2}^{n} (Ⅱ )由(Ⅰ )知 ,由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+22+23+…+2n= =2n+1﹣2.

18、解: (Ⅰ )由已知,当 n≥1 时,an+1=[(an+1﹣an)+(an﹣an﹣1)++(a2﹣a1)]+a1=3(22n ﹣1 ﹣ ( )﹣ +22n 3+…+2)+2=22 n+1 1. 而 a1=2, ﹣ 所以数列{an}的通项公式为 an=22n 1. ﹣ ﹣ (Ⅱ )由 bn=nan=n?22n 1 知 Sn=1?2+2?23+3?25+…+n?22n 1①
9

从而 22Sn=1?23+2?25+…+n?22n+1② ﹣ ① ﹣② 得(1﹣22)?Sn=2+23+25+…+22n 1﹣n?22n+1. 即 .

19、解: (I)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得 解得: ,



故数列{an}的通项公式为 an=2﹣n; (II)设数列{ = + +…+ }的前 n 项和为 Sn,即 Sn=a1+ ② , +…+ ① ,故 S1=1,

当 n>1 时,① ﹣② 得: =a1+ +…+ )﹣ )﹣ , }的前 n 项和 Sn= . = , ﹣

=1﹣( + +…+ =1﹣(1﹣ 所以 Sn= 综上,数列{

20、解(Ⅰ )∵ 设{an}是公比为正数的等比数列 ∴ 设其公比为 q,q>0 ∵ a3=a2+4,a1=2 ∴ 2× q2=2× q+4 解得 q=2 或 q=﹣1 ∵ q>0 ∴ q=2 ﹣ ∴ {an}的通项公式为 an=2× 2n 1=2n (Ⅱ )∵ {bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列 ∴ bn=1+(n﹣1)× 2=2n﹣1 ∴ 数列{an+bn}的前 n 项和 Sn= + =2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2

10


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2013 年高考理科数学数列专题训练一、选择题 1 .( 2013 年高考上海卷(理) )...a1a2 ? an 的最大正整数 n 2 的值为 14 .( 2013 年高考湖南卷(理) )...


高考数学大题训练1附答案

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2014年高考文科数学数列》专题训练_数学_高中教育_教育专区。高考试题分类汇编:数列一、选择题 1.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ...


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