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高考数学数列大题训练


高考数学数列大题训练 1、已知等比数列 {an } 中, a2 , a3 , a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且

a1 ? 64, 公比q ? 1 (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ? log2 an ,求数列 {|b n |}的前n项和Tn . 2、已知数列 {an } 满足递推式 an ? 2an?1 ? 1(n ? 2)

,其中 a4 ? 15.
(Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n 3、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且有 a1 ? 2 , 3Sn ? 5an ? an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2) (1)求数列 an 的通项公式; (2)若 bn ? (2n ?1) an ,求数列 an 的前 n 项的和 Tn 。 4、已知数列{ an }满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 2 n (n ? 2, 且n ? N * ) . (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)证明数列{ (Ⅲ)求数列{ an }的前 n 项之和 S n (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求证:数列 ?

an }是等差数列; 2n

5、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an an?1 ? 2an?1 ? 1 .

6、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn 7、 a1 ? 2, a2 ? 4, bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2 . 求证: (1)数列{bn+2}是公比为 2 的等比数列; (2) an ? 2 n?1 ? 2n ; (3) a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 n?2 ? n(n ? 1) ? 4 .

? 1 ? ? 是等差数列,并写出 ?an ? 的一个通项。 ? an ? 1?
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
· 2007 ·

8、已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前六项和为 60,且 a6为a1和a21 的等比中项. (1)求数列 {an } 的通项公式 an 及前n项和S n ; (2)若数列 {bn }满足bn ?1 ? bn ? a n (n ? N ? ),且b1 ? 3, 求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn bn

9 、已知 Sn 是数列 ?an ? 的 前 n 项和, a1 ? , a2 ? 2 ,且 Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ,其 中

3 2

n ? 2, n ? N * . ① 求证数列 ?an ? 1? 是等比数列;
② 求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

1

10、已知 S n 是数列{ an }的前 n 项和,并且 a1 =1,对任意正整数 n, S n?1 ? 4an ? 2 ;设

bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,3,?).
(I)证明数列 {bn } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; (II)设 Cn ?

bn 1 , Tn为数列 { } 的前 n 项和,求 Tn . 3 log2 Cn?1 ? log2 Cn? 2

11、已知数列{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a2a6=55,a2+a7=16 (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}和数列{bn}满足等式 an= 项和 Sn。 12、成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 {bn}中的 b3、b4、b5. (I) 求数列{bn}的通项公式; (II) 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等比数列. 13、设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2an﹣2n, (Ⅰ )求 a1,a4 (Ⅱ )证明:{an+1﹣2an}是等比数列; (Ⅲ )求{an}的通项公式. 14、已知数列{an}的首项 (Ⅰ )证明:数列 (Ⅱ )求数列 , ,n=1,2,3,…. (n∈ N*) ,求数列{bn}的前 n

是等比数列; 的前 n 项和 Sn.

15、等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16 (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 16、等比数列{an}的前 n 项和为 sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 sn. 17、已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ )求数列{an}的通项; (Ⅱ )求数列{2an}的前 n 项和 Sn. ﹣ 18、设数列{an}满足 a1=2,an+1﹣an=3?22n 1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列的前 n 项和 Sn. 19、已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=﹣10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列{ }的前 n 项和.

20、设{an}是公比为正数的等比数列 a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ )求{an}的通项公式; (Ⅱ )设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn

2

高考数列大题参考答案 1、解 (1) 设该等差数列为 {cn } ,则 a2 ? c5 , a3 ? c3 , a4 ? c2

c5 ? c3 ? 2d ? 2(c3 ? c2 )

? (a2 ? a3 ) ? 2(a3 ? a4 ) 即: a1q ? a1q2 ? 2a1q2 ? 2a1q3 ?1 ? q ? 2q(1 ? q) ,
1 (2) bn ? log 2 [64 ( 2
n ?1

q ? 1,

? 2q ? 1,

q?

1 1 n ?1 ,? a ? 64 ( ) 2 2
n(13 ? n) 2
(8 分)

)] ? 6 ? (n ? 1) ? 7 ? n , {bn } 的前 n 项和 S n ?
n(13 ? n) 2

?当 1 ? n ? 7 时, bn ? 0 ,?Tn ? Sn ?
当 n ? 8 时, bn ? 0 , Tn ? b1 ? b2 ?

? b7 ? b8 ? b9 ?

? bn
n(13 ? n) 2

? S7 ? (b8 ? b9 ?

? bn ) ? S7 ? (Sn ? S7 ) ? 2S7 ? Sn ? 42 ?
(1 ? n ? 7, n ? N * ) (n ? 8, n ? N * )

? n(13 ? n) ? 2 ?Tn ? ? ? ?42 ? n(13 ? n) ? ? 2

2、解: (1)由 an ? 2an?1 ? 1及a4 ? 15 知 a4 ? 2a3 ? 1, 解得: a3 ? 7, 同理得 a2 ? 3, a1 ? 1. (2)由 an ? 2an?1 ? 1知 an ? 1 ? 2an?1 ? 2

an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ??an ? 1?构成以 a1 ? 1 ? 2 为首项以 2 为公比的等比数列;

? an ? 1(a1 ? 1) ? 2n?1 ;? an ? 1 ? 2 n , ? an ? 2 n ? 1. 为所求通项公式
(3)? an ? 2 n ? 1

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? an ? (21 ?1) ? (22 ?1) ? (23 ?1) ? ...... ? (2n ?1)
2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 ? n. ? (2 ? 2 ? 2 ? ...... ? 2 ) ? n ? 1? 2
1 2 3 n

3

3、解:由 3Sn ? 3Sn?1 ? 5an ? an?1 (n ? 2) ,? 2an ? an?1 ,又

a1 ? 2 ,

an 1 ? , an ?1 2

1 1 1 ?{an } 是以 2 为首项, 为公比的等比数列,? an ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ? 22? n 2 2 2

bn ? (2n ?1)22?n ,?Tn ? 1? 21 ? 3? 20 ? 5 ? 2?1 ?
1 Tn ? 1? 20 ? 3 ? 2?1 ? 2
(1)—(2)得 Tn ? 2 ? 2(2 ? 2 ?
0

? (2n ?1) ? 22?n (1)
(2)

? (2n ? 3) ? 22? n ? (2n ? 1) ? 21? n ? 22? n ) ? (2n ? 1) ? 21? n

1 2

?1

即: Tn ? 2 ?

1 2

2[1 ? (2?1 ) n?1 ] ? (2n ? 1) ? 21?n ? 6 ? (2n ? 3) ? 21?n , ?Tn ? 12 ? (2n ? 3) ? 22?n ?1 1? 2
2

4、解: (Ⅰ) a2 ? 2a1 ? 2 ? 6 , a3 ? 2a2 ? 23 ? 20 . (Ⅱ)? a n ? 2a n ?1 ? 2 (n ? 2, 且n ? N ) ,
n *



a n a n ?1 a a ?1 ? n ?1 ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) , 即 n ? n ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) . n n n ?1 2 2 2 2
an a 1 ? ,公差为 d ? 1 的等差数列. } 是首项为 1 1 n 2 2 2

∴数列 {

(Ⅲ)由(Ⅱ)得

an 1 1 1 1 ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? , ∴ a n ? ( n ? ) ? 2 n . n 2 2 2 2 2

? Sn ?

1 1 3 2 5 3 1 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? (n ? ) ? 2n (1) 2 2 2 2 1 3 5 1 1 2Sn ? ? 22 ? ? 23 ? ? 24 ? ? ? (n ? 1 ? ) ? 2n ? (n ? ) ? 2n ?1 (2) 2 2 2 2 2

(1) ? (2)得

1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 1 n ?1 2 ? S n ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? ) ? 2 2
2 3 n

?

2(1 ? 2 n ) 1 ? (n ? ) ? 2 n?1 ? 1 ? (3 ? 2n) ? 2 n ? 3 . ∴ S n ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 . 1? 2 2
5 7 9 , a3 ? , a 4 ? 3 5 7

5、解: (1) a 2 ?

(2)证明:由题设可知 an ? 0且an ? 1, n ? N

? an an?1 ? 2an?1 ? 1
4

? ?an?1 ? 1? ? ?an ? 1? ? ?an?1 ? 1??an ? 1?
? 1 1 ? ?1 a n ? 1 a n?1 ? 1

? 1 ? 1 ?? ? 是以 为首项, 1 为公差的等差数列 2 ? a