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专题07:直线和圆(含答案)


专题七:直线和圆
本章是解析几何的基础,也是高考对解析几何进行综合考查的重要组成部分之一,因为 直线和圆是最简单基本的几何图形。研究直线和圆的思想与方法也是解析几何研究的基本思 想与方法,同时也是后继学习的基础,所以直线和圆成为高考的必考内容。命题的特点:1. 本章在高考中主要考查两类问题:基本概念题和求在不同条件下的直线方程。基本概念重点 考查(1)与直线方程特征值(

主要指斜率、截距)有关的问题; (2)直线的平行和垂直的条 件; (3)与距离有关的问题等。此类题大都属于中、低档题,以选择题和填空题形式出现。 2.直线与圆、圆锥曲线的位置关系等综合性试题,此类题难度较大,一般以解答题形式出现。 3.由于一次函数的图象是一条直线,因此有关函数、数列、不等式等代数问题往往借助直线 方程进行解决,考查学生的综合能力及创新能力。4.本章的线性规划内容是新教材中增加的 新内容,在高考中极有可能涉及,但难度不会大。应试策略:首先是注重基础,基本知识、 基本题型要掌握好,不必做那些难的有关直线的问题,高考中直线以解答题形式出现的可能 性不大。解析几何解答题大多是关于直线与圆锥曲线关系的综合题,考查综合运用知识、分 析问题、解决问题的能力,尤其现在高考不要求两圆锥曲线的交点来解决问题后,直线和圆 锥曲线的关系问题更是重要,因此,在复习中要注意渗透本章知识在解答解析几何综合问题 时的运用。 【疑难点拔】 直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点,本章的难点是倾斜角及直线方程的概 念,突破难点的方法之一是运用数形结合,要注意直线方程几种形式的适用性和局限性,直 线方程中的各个参数都具有明显的几何意义,它对直线的位置、点与直线、直线与直线、直 线与圆的各种关系的研究十分重要,高考中重点考查运用上述知识解题的变通能力。在解答 有关直线的问题时,要注意: (1)在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次是倾斜角的范围; (2)在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况; (3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意检验不存在的情况,防止丢解; (4) 直线方程的三种形式各有适用范围, 要能根据题中所给已知条件选用最恰当的表示形式, 并能根据问题的需要灵活准确地进行互化,在求直线方程时,要注意需二个独立的条件 才能确定。常用的方法是待定系数法; (5)两直线的平行与垂直是现实生活中最常见到的两种特殊位置关系,故掌握它们的判断方 法就显得非常重要,特别要提醒的是应把它们的判定和平面两向量共线与垂直的判定有
1

机地结合在一起; (6)在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时,要充分利用分类讨论、数形结合、 特殊值检验等基本的数学思想方法。 (7)直线方程问题是“解析几何”的基础,学习时应注意积累下面两方面的经验:①正确选择各 种直线方程解决各种问题;②通过直线方程问题的解题,逐步认识“解析几何”问题的解 题思维策略,积累“方程”、“坐标”、“图形”的解题经验。 线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用,常通过二元一次不等式表示的平面区域 来确定实际问题的解,应用极为广泛。加强思想方法训练,培养综合能力。平面解析几何的 核心是坐标法,它需要运用变化的观点,运用代数的方法研究几何问题,因此在处理解析几 何问题时,从知识到思想方法上都需要与函数、方程、不等式、三角及平面几何内容相联系。 能够判断直线与圆、点与圆、圆与圆的位置关系,解决直线与圆的有关问题的基本方法 是将直线和圆的方程组成的方程组通过消元,化成一元二次方程,然后灵活使用判别式或违 达定理解题;同时要善于利用直线和圆的几何知识解题。 直线与圆的位置关系是直线的一种重要应用,在高考中每年都有重点的考查,因此在复 习时一定注意知识间的横向联系,以达到融汇贯通。 【知识网络】 斜 率 倾斜角 直 线 直 线 和 圆 五种形式 直线方程 二元一次不等式 表示平面区域 点到直线的距离 相 交 直线与直线位置关系 平 行 重 合 求曲线的方程 曲线的交点 曲线与方程 圆 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的参数方程 交 点 夹 角 平行线间的距离

线性规划

点与直线位置关系

专题七:直线与圆 系
2

直线与圆的位置关

余杭实验中学 【经典题例】

任惜芬

例 1:不等式 3 x ? ay ? 6 ? 0 ( a ? 0 ) 表示的平面区域是在直线 3 x ? ay ? 6 ? 0 ( 的点的集合。 (A)左上方 (B)右上方 (C)左下方 (D)右下方



[思路分析] 作出直线 3 x ? ay ? 6 ? 0 ,又因为 3 ? 0 ? a ? 0 ? 6 ? 0 ,所以原点在区域内侧 表示直线的左下方,故选取 C。 [简要评述] 用特殊值法解选择题是常用的方法。

例 2:若直线 y ? x ? k 与曲线 x ? (A) k ? ? 2 (B)

1? y

2

恰有一个公共点,则k 的取值范围是 (
2

)

?

2 , ?? ? ? ? , ?

? ?

?

(C) ??

2,

2

?

(D) k ? ? 2 或(-1,1]

[思路分析] 数形结合的思想, y ? x ? k 表示一组斜率为 1 的平行直线, x ?
1? y
2

表示 y 轴的右半圆。如图可知,选(D) [简要评述] 数形结合思想的灵活运用,此题 可以进一步拓展, x ? ? 1 ? y , y ? ? 1 ? x 等。
2
2

2 例 3:如果实数 x、y 满足 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么

y x

的最大值是



[思路分析] 解法一:设直线 l: y ? kx ,则

y x

表示直线 l 的斜率,直线 l 与圆

?x ? 2 ?

? y

2

? 3 相切时,斜率为最大或最小,所以只要求圆心到直线

距离为半径即可。 解法二:设圆的参数方程: ?
3 sin ? 2? 3 cos ?

y
? ?x ? 2 ? ?y ? ? 3 cos ?

3 sin ?

M C O x



y x

?

据三角知识求解。

3

解法三:设

y x

=t ,则 ? ( x ?

? 2)

2

? y

2

? 3

只要解方程组,利用 ? ? 0 可得解。

? y ? tx

解法四:如图,联结圆心 C 与切点 M,则由 OM⊥CM,又 Rt△OMC 中,OC=2,CM= 3 所以,OM=1,得
y x ? MC OM ? 3

[简要评述] 小题小做,选方法四最为简单,数形结合的数学思想的灵活运用。

例 4:已知两点 A ( m , 2 ) , B ( 3 ,1) ,求直线 AB 的斜率与倾斜角。 [思路分析] 注意斜率存在的条件。当 m ? 3 时, k 不存在。 ? =
k ? tan ? ? 2 ?1 m ? 3 ? 1 m ? 3

?
2

,当 m ? 3 时,

;当 m ? 3 时, ?

? arctan

1 m ? 3

,当 m ? 3 时,

? ? ? ? arctan

1 m ? 3

[简要评述] 此题涉及到分类讨论的数学思想方法,分类讨论在历年的高考中,特别是综合 性题目中常常出现,是重点考查的数学思想方法之一。

B 若四边形 OAMB 例 5: 过点 M ( 2 , 4 ) 作两条互相垂直的直线, 分别交 x 、 的正半轴于 A 、 , y

的面积被直线 AB 平分,求直线 AB 方程。
MB 的点斜式方程, [思路分析] 命题有两种设方程的方案: ①设 MA 、 然后求出 k ; ②设 AB

的截距式方程,经过估算,应选第②方案更好。设方程为 x
a

?

y b

? 1 (a>0,b>0)

∴ A ( a , 0 ) 、B ( 0 , b ) 。 ∵ MA ⊥ MB ∵a>0 0<b<5

∴ ( a ? 2 ) ? ( ? 2 ) ? ( ? 4 ) ? ( b ? 4 ) ? 0 ? a ? 10 ? 2 b

∵ AB 方程的一般式为 bx ? ay ? ab ? 0
? | 2 b ? 4 a ? ab | a
2

∴ M 到 AB 的距离 d ∴ ? MAB 的面积 S 1 ? 而 ? OAB 的面积 S 2 ?
1 2 1 2

? b
1 2

2

d | AB | ?

| 2 b ? 4 a ? ab |? | b
2

2

? 8 b ? 20 | ? b

2

? 8 b ? 20

ab ? 5 b ? b ,
5 ? ?b ? 4 ?b ? 或? 2 ? ?a ? 2 ?a ? 5 ?

∵直线 AB 平分四边形 OAMB 的面积,∴ S 1 ? S 2

, 可得

4

故所求 AB 方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 和 2 x ? y ? 4 ? 0 。 [简要评述] 若命题中的直线与两坐标轴均有交点,应首先考虑选用截距式方程是否有利。

例 6:已知 x ? y
2

2

? 1 ,定点 A(1,0),B、C 是圆上两个动点,保持 A、B、C 在圆上逆时针
?
3

排列,且 ? BOC ?

(O 为坐标原点),求△ABC 重心 G 的轨迹方程。
?
3

[思路分析] 设 B ( Cos ? , Sin ? ) ,则 C ( Cos (? ? 则
x ? 1 ? ? ?? ? ?? ?1 ? Cos ? ? Cos ? ? ? 3 ? 3 ?? ?

), Sin (? ?

?
3

)) ;设 G(x,y)

① ②
?
3

y ?

1 ? ? ?? ? ?? ? Sin ? ? Sin ? ? ? 3 ? 3 ?? ?

①2+②2 得 即

?3 x ? 1 ? 2
1? ? ?x ? ? 3? ?
2

? ?3 y ? ? 2 ? 2 C o s
2

? 3

? y

2

?

1 3

5? ? ? ?0 ? ? ? ? 3 ? ?

[简要评述] 适当运用圆的参数方程,设 B、C 两点坐标,有利于寻求函数关系。

例 7:过点 P(-8,0) ,引圆 C: x ? y ? 2 x ? 10 y ? 4 ? 0 的割线,求被此圆截得的弦的
2 2

中点的轨迹方程。 [思路分析] 方法一, ? x ? 1 ? ? ? y ? 5 ? ? 22
2 2

y P A M C
2

∵CM⊥PM,∴弦 AB 的中点 M 的轨迹是以 P(-8,0) 、C(1,-5)中点为圆心,|PC| 长为直径的圆。
7? ? ?x? ? 2? ?
2

x B

5? ? ??y ? ? 2? ?

?

53 2

(圆 C 的内部)

方法二,设 M(x,y)为 AB 中点,过点 P(-8,0)的直线
y ? k ? x ? 8 ? ,又设 A( x 1 ,y1) ,B(x2,y2) ,

由方程组

x ? y ? 2 x ? 10 y ? 4 ? 0
2 2

y ? k ?x ? 8?
5

可以得到 ?1 ? k

2

?x

2

? 16 k

?

2

? 10 k ? 2 x ? 64 k

?

2

? 80 k ? 4 ? 0

据韦达定理可以得解。 方法三,

M ? x , y ?,

CM ? ? x ? 1, y ? 5 ?, PM ? ? x ? 8 , y ? ? CM ? PM ? 0 ? ? x - 1 ?? x ? 8 ? ? y ? y ? 5 ? ? 0
(圆 C 的内部)

? CM ? PM ,
化简得
x
2

? 7x ? y

2

? 5y ? 8 ? 0

[简要评述] 方法一是据圆的定义得解的较为简单;方法二容易想到,但计算量太大;方法 三是利用平面两向量垂直的性质与平面两向量的数量积,使解题过程简单化。

例 8:已知气象台 A 处向西 300km 处,有个台风中心,已知台风以每小时 40km 的速度向东 北方向移动,距台风中心 250km 以内的地方都处在台风圈内,问:从现在起,大约多长时间 后,气象台 A 处进入台风圈?气象台 A 处在台风圈内的时间大约多长? [思路分析] 如图建立直角坐标系,B 为台风中心, 处在台风圈内的界线为以 B 为圆心,半径为 250 的 圈内,若 t 小时后,台风中心到达 B1 点,则 B1(-300+40tCOS450,40tsin450),则以 B1 为圆心, 250 为半径的圆的方程为 B B1 O(A) x y

?x ? 300

? 20

2t

? ? ? y ? 20
2

2t

?

2

? 250

2

那么台风圈内的点就应满足 ?x ? 300 ? 20

2t

? ? ? y ? 20
2

2t

?

2

? 250

2

。 若气象台 A 处进

入台风圈,那么 A 点的坐标就应满足上述关系式,把 A 点的坐标(0,0)代入上面不等式,得

?300

? 20

2t

? ? ?20
2

2t

?

2

? 250

2

,解 得

15

2 ?5 7 4

? t ?

15

2 ?5 7 4

,即为

1 . 99 ? t ? 8 . 61 ;所以气象台 A 处约在 2 小时后进入台风圈,处在台风圈内的时间大约 6 小

时 37 分。 [简要评述] 学生怕做应用题,帮助学生分析题意尤其重要。关键是寻求有效信息,建立函 数关系式,运算到位。

【热身冲刺】
6

一、选择题: 1. △ABC 中,三个顶点坐标 A(2,4) 、B(-1,2) 、C(1,0) ,点 P(x,y)在内部及 其边界运动,则 z=x-y 的最大值及最小值是 (A)3,1 (B)-1,-3 (C)1,-3 (D)3,-1 ) ( )

2.已知点 A(3,1)和 B(-4,6)在直线 3 x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围( (A)-7<a<24 (B)-24<a<7
2

(C)a<7 或 a>24

(D)a=7 或 a=24 ( )

3. 如果直线 l 1 , l 2 的斜率分别是方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两根, l 1 , l 2 的夹角是 则 (A)π/3 (B)π/4 (C)π/6 (D)π/8

4. 平行直线 5 x ? 12 y ? 3 ? 0 与10 x ? 24 y ? 5 ? 0 的距离是 (A)2/13 (B)1/13 (C)1/26 (D)5/26





5.等腰三角形 ABC,若一腰的两个端点坐标分别是 A(4,2) 、B(-2,0) 为顶点,则 ,A 点 C 的轨迹方程是 (A) x ? y ? 8 x ? 4 y ? 0
2 2





(B) x ? y ? 8 x ? 4 y ? 20 ? 0 ? x ? ? 2 , y ? 10 ?
2 2

(C) x ? y ? 8 x ? 8 y ? 20 ? 0 ? x ? ? 2 , y ? 10 ?
2 2

(D) x ? y ? 8 x ? 4 y ? 20 ? 0 ? x ? ? 2 , y ? 10 ?
2 2

6.圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离等于 2 的点有
2 2





(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个 ( )

7.曲线 f ( x , y ) ? 0 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的 曲线方程式是

(A)f ( y ? 2 , x ) ? 0(B)f ( y ? 2 , x ) ? 0(C)f ( y ? 2 , x ? 2 ) ? 0(D)f ( y ? 2 , x ? 2 ) ? 0 8.已知 A(3,1) ,B(-1,2)若∠ACB 的平分线方程为 y ? x ? 1 ,则 AC 所在的直线方 程为 (A) y ? 2 x ? 4 (B) y ?
1 2 x?3

( (C) x ? 2 y ? 1 ? 0 (D) 3 x ? y ? 1 ? 0



9.一条光线从点 M(5,3)射出,与 x 轴正向成 α 角,遇 x 轴后反射,若 tanα=3,则反射 光线所在直线方程为 ( )

(A) y ? 3 x ? 12 (B) y ? ? 3 x ? 12 (C) y ? 3 x ? 12 (D) y ? ? 3 x ? 12 10.将直线 l 沿 x 轴正方向平移两个单位,再沿 y 轴负方向平移 3 个单位,又回到了原来的
7

位置,则 l 的斜率为 (A)
3 2


3 2



(B) ?

(C)

2 3

(D) ?

2 3

二、填空题:
?x ? 0 ? 11.不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域内的整点坐标是 ?x ? y ? 3 ? 0 ?



12.直线 ? m ? 1 ? x ? y ? 2 m ? 1 ? 0 恒过定点,则定点的坐标是 13.若实数 x , y 满足关系: x ? y ? 25 ,则 x + y 的最大值是
2 2 2 2
2 2

。 。

14.若圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , D ? E ? 4 F ? 0 )关于 x - y =0 对称,则系数 ( D、E、F 满足关系 三、解答题: 15.直线 l 1 : 5 x ? 4 y ? 2 m ? 1和 l 2 2 x ? 3 y ? 0 相交于第四象限,求 m 的取值范围。
?x ? y ? 0 ? 16.设实数 a,考虑方程组 ? (1)若此方程组有实数解,求 a 的范围; 2 2 ??x ? a ? ? y ? 1 ?
2 2



(2)此方程组有几组不同的实数解? 17.有一种大型的商品,A、B 两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后 运回来每公里的运费 A 地是 B 地两倍。若 A、B 两地相距 10 公里,顾客选择 A 地或 B 地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,那么,不同地点的居民应如 何选择购买此商品的地点? 18.已知点 A(-1,-4) ,试在 y 轴和直线 y=x 上各取一点 B、C,使△ABC 的周长最小。 19.已知圆 x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0。 (1)求证:不论 m 取何值,圆心在同一 直线 l 1 上; (2)与 l 1 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离; (3)求证:不论 m 取 何值,任何一条平行于 l 1 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等。 20.已知△ABC 的三边长分别为 3、4、5,点 P 是它的内切圆上一点,求分别以 PA、PB、 PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。

8

【热身冲刺】参考答案 1—10.CAACB CCCDB,11. (1,1) ,12. (-2,3) ,13.5 2 ,14.D=E,15.m>-1/2 16.因为x2-y2=0 表示过原点的两条互相垂直的直线:y=x,y=-x, (x-a)2+y2=1 表示 圆心为 C(a,0) ,半径为 1 的动圆,本题讨论方程组有实数解的问题即讨论圆与直线有公共 点的问题。 - 2 ≤a≤ 2 ; 当- 2 <a<-1 或-1<a<1 或 1<a< 2 时有四组实数解, (1) (2) 当 a=± 时,有三组实数解,当 a=± 2 时,有两组实数解,当 a<- 2 或 a> 2 时无实数 1 解。 17.以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系。设 A(-5,0) , 则 B(5,0) ,在平面内任取一点 P(x,y) ,设从 A 运货物到 P 的运费为 2a 元/km,则从 B 运到 P 的费用是 a 元/km,若 P 地居民选择在 A 地购买此商品,则
2a

? x ? 5 ?2
2

? y

2

? a

? x ? 5 ?2
2

25 ? ? ? 20 ? 2 2 ? y 化简得 ? x ? ? ? y ? ? ? 即 P 点在圆 C 3 ? ? ? 3 ?

2

2

25 ? ? ? 20 ? 2 ?x? ? ? y ? ? ? 的内部.换言之,圆 C 内部的居民应在 A 地购买,同理可推得圆 C 3 ? ? ? 3 ?

外部的应在 B 地购物,圆 C 上的居民可随意选择 A、B 两地之一购物。 18.尝试使用对称法,如图作 A 点关于 y 轴 的对称点 A1,再作 A 点关于 y=x 的对称点 A2, 在 y 轴和 y=x 上公别取点 B、 C,则|BA|=|BA1|, |AC|=|A2C|,于是△ABC 的周长 |AB|+|BC|+|CA|=|A1B|+|BC|+|CA2|, 从而将问题转化为在 y 轴,y=x 上各取一点,使 折线 A1BCA2 的长度最小。B(0,-17/5)和 C(-17/8,-17/8) 19. (1)配方得圆心,将心坐标消去 m 可得直线 a:x-3y-3=0 (2)设与直线 a 平行的直线 c:x-3y+b=0(b≠-3) ,则圆心到直线 a 的距离为
d ? | 3 m ? 3 ?m ? 1? ? b | 10 ? |3?b | 10

y

O A2 C B A

x

A1

,∵圆的半径 r=5,∴当 d<r 时,直线与圆相交,当

d=r 时,直线与圆相切,当 d>r 时直线与圆相离。 (3)对于任一条平行于 a 且与圆相交的直
9

线的直线 c,由于圆心到直线 c 的距离都与 m 无关,所以弦长与 m 无关。 20.△ABC 为直角三角形,如国图建立直角坐标系, 则 A(0,0) 、B(4,0) 、C(0,3) ,设内切圆半径 为 r,则 r=1/2(|OC|+|OB|-|BC|)=1,故内切圆方程为 (x-1)2+(y-1)2=1,可设 P 点坐标(1+Cosα,1+Sinα) 则以 PA、PB、PC 为直径的三个圆面积之和 S= 当 Cosα=-1 时,Smax=5.5π, 当 Cosα=1 时, Smin=4.5π.
?
2

(10-Cosα)

10


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