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2015年12月虹口区高三春考模拟数学试卷


虹口区 2016 年春季高考模拟考试数学试卷(2015 年 12 月)
(本试卷共 26 题,满分 150 分 考试时间:130 分钟)

一、填空题(本大题共 15 题,每题 3 分,满分 45 分) 1、复数 z ? 3 ? i , i 为虚数单位,则 z ? z ? ____________. 2、已知集合 M ? x x ? a? , N ?

??2,0,1 ? ,若 M ? N ? ??2,0? ,则实数 a 的取值范 围是___________. 3、 (1 ? 2 x)5 的展开式中 x3 项的系数为_____________. (用数字表示) 4、 若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左顶点, 则 p ? __________. 5、在 ?ABC 中, cos A ?

?

4 ? ,则 sin( A ? ) ? _____________. 5 4

6、已知

tan ? i , 则 cos ? ? ___________. ? i 2015 ? i 2016 (其中 i 为虚数单位) 1 2

7、 直线 mx ? (2m?1) y ?1 ? 0 和直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直, 则实数 m 的值为__________. 8、 双曲线 x ?
2

y2 ? 1 (b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3 x , 则双曲线的焦点为________. b2

9、某小区有 7 个连在一起的车位,现有 3 辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的 4 个车位连在一起,那么不同的停放方法有_____________种.(用数字作答) 10、若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 1 ,则 an ? _____________. 11、在棱长为 a 的正四面体 A ? BCD 中, M 是棱 AB 的中点,则 CM 与底面 BCD 所成 的角的正弦值是_____________. 12、若函数 f ( x) ? ?

?ax( x ? 1) x ? 0 为奇函数,则满足 f (t ? 1) ? f (2t ) 的实数 t 的取值 ? x( a ? x) x ? 0

范围是_____________.

5 3 2 2 1 1 项 a1 ,最大弦长为 an ,若公差 d ? [ , ] ,那么 n 的可能取值为_____________. 6 3
14、已知函数 f ( x ) ? ?

2 2 ( , ) 13、在圆 x ? y ? 5x 内,过点 有 n 条弦的长度成等差数列,最小弦长为数列首

? x ? ? x? ? f ( x ? 1)

x?0 x?0

,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若直线

1

y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与函数 y ? f ( x) 的图像恰有三个不同的交点,则实数 k 的取值范
围是____________. 15、已知向量序列: a1 , a2 , a3 , · · · an , · · · ·满足如下条件:

??

?? ?

?? ?

??

?? ? ? ?? ? ???? ? ? 2 , 2a1 ? d ? ?1 ,且 an ? an?1 ? d ( n ? 2,3, 4,? ) , 4 ?? ?? ? ?? ? ?? ? 则 a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · ·中第_____________项最小.
?? ? ? a1 =2 , d ?

二、选择题(本大题共 5 题,每题 5 分,满分 25 分) 16、 “ a ? 0, b ? 0 ”是“曲线 ax 2 ? by 2 ? 1为椭圆”的( A.充分且不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要且不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B

17、如图所示,为了测量某湖泊两侧 A 、 B 间的距离,李宁同学首先 选定了与 A 、 B 不共线的一点 C ,然后给出了三种测量方案: ( ?ABC 的角 A 、 B 、 C 所对的边分别记为 a 、 b 、 c ) :

A

① 测量 A 、 C 、 b ;② 测量 a 、 b 、 C ;③ 测量 A 、 B 、 a 则一定能够确定 A 、 B 间距离的所有方案的序号为 A.①② B.②③ ( )

C

C.①③

D.①②③

18、已知函数 f ( x) ? logm (2 ? x) ? 1( m ? 0 且 m ? 1 )的图像恒过点 P ,且点 P 在直线

ax ? by ? 1( a ? 0, b ? 0 )上,则 ab 的
A.最小值为

( C.最大值为



1 4

B.最大值为

1 4

1 2

D.最小值为

1 2

19、不共面的三条直线 l1 、 l2 、 l3 互相平行,点 A 在 l1 上,点 B 在 l2 上, C 、 D 两点在 l3 上, 若 CD ? a (定值) ,则三棱锥 A ? BCD 的体积 A.为定值 C.有最大值,无最小值 B.由 B 点的变化而变化 D.由 A 点的变化而变化 ) ( )

2 2 20、若函数 f ( x) ? cos(a sin x) ? sin(b cos x) 没有零点,则 a ? b 的取值范围是(

A. [0,1)

B. [0, ? )
2

C. [0 ,
2

?2 ) 4

D. [0, ? )

三、解答题 21、(本题满分 10 分) 本题共 2 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分. 已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? cos 2 x 的图像过点 ( (1)求函数 y ? f ( x) 的单调减区间; (2)求函数 y ? f ( x) 在 ?0,

?
8

, 0) ,

? ?

??
2? ?

上的最大值和最小值.

22、(本题满分 10 分) 本题共 2 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分. 某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥形(如图) ,现把 半径为 10 cm 的圆形蛋皮等分成 5 个扇形蛋皮,用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮的厚 度忽略不计). (1)求该蛋筒冰激凌的高度; (2)求该蛋筒冰激凌的体积(精确到 0.01 cm3 ).

23、(本题满分 12 分) 本题共 2 个小题,每小题 6 分. 已知函数 f ( x) ? 3 ? 1的反函数 y ? f
x ?1

( x) , g ( x) ? log9 (3x ? 1)

(1)若 f

?1

( x) ? g ( x) ,求 x 的取值范围 D ;
1 ?1 f ( x) ,当 x ? D 时,求 H ( x ) 的值域. 2

(2)设函数 H ( x) ? g ( x) ?

3

24、(本题满分 14 分) 本题共 2 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 10 分. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴为 4,且过点 A( 2,1) a 2 b2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 O 为原点,若点 P 在曲线 C 上,点 Q 在直线 y ? 2 上,且 OP ? OQ ,试判 断直线 PQ 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.

25、(本题满分 16 分) 本题共 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 8 分. 已知 x1 、 x2 是函数 f ( x) ? x ? mx ? t 的两个零点,其中常数 m 、 t ? Z ,
2



?x
i ?0

n

i

? r ( n ? N ). ? x 0 ? x1 ? L ? x n ,设 Tn ? ? x1n ? r x2

n

r ?0

(1)用 m 、 t 表示 T1 、 T2 ; (2)求证: T5 ? ?mT4 ? tT3 ; (3)求证:对任意的 n ? N , Tn ? Z .
?

26、(本题满分 18 分) 本题共 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 2 小题 8 分.
2 已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b( a ? 0 ) 在区间 [2,3] 上的最大值为 4 , 最小值为 1 ,

记 f ( x) ? g (| x |) (1)求实数 a 、 b 的值; (2)若不等式 f (log 2 k ) ? f ( ) 成立,求实数 k 的取值范围; (3)对于任意满足 p ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? q ( n ? N , n ? 3 )的自变量 如果存在一个常数 M ? 0 , 使得定义在区间 [ p, q ] 上的一个函数 m( x) , x0 , x1 , x2 ,?, xn?1, xn , 有 | m( x1 ) ? m( x0 ) | ? | m( x2 ) ? m( x1 ) | ??? | m( xn ) ? m( xn?1 ) |? M 恒成立, 则称 m( x) 为区 间 [ p, q ] 上的有界变差函数, 试判断 f ( x ) 是否区间 [0,3] 上的有界变差函数, 若是, 求出 M 的最小值;若不是,请说明理由.
4

3 2


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