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高三数学第一轮复习单元测试—期中试卷-A4-老师-学生


1

高三数学第一轮复习单元测试—期中试卷 一、选择题 1.函数 y ? sin A.
3 4
2

4

x ? cos

2

x , x ? [0 ,
13 16

?
6

] 的最小值为

/>
( D.1



B.

C.

7 8

2.已知集合 M ? { x | x ? 1} ,集合 N ? { x | a | x |? 1} ,若 N ? M ,那么由 a 的值所组成的集合的子集个数 A.1 B.2 C.3 D.4 3.设 m>0,则直线 2 (x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为 ( A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 4.若函数 f ( x ) ?
1 3 x ? f '( ? 1) x ? x ? 5 ,则 f '(1) 的值为
3 2

) )



A. 2 B. ? 2 C. 6 D. ? 6 5.在 Rt ?ABC 中, A B ? A C ? 1 ,如果一个椭圆通过 A 、 B 两点,它的一个焦点为 C ,另一个焦点 F 在 A B 上, 则这个椭圆的离心率为 ( ) A. 6 ?
3

B. 2 ? 1

C.

6 ? 2

3

D. 3 ?
2

6 2

6.设奇函数 f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上是增函数,且 f ( ? 1) ? ? 1 ,若函数 f ( x ) ? t ? 2 a t ? 1 对所有的 x ? [ ? 1,1] 都成立, 当 a ? [ ? 1,1] 时,则 t 的取值范围是 A. ? 2 ? t ? 2 C. t ? 2 或 t ? ? 2 或 t ? 0 B. ?
1 2 ?t ?
1 2


1 2
1 2



D. t ?

或t ? ?

或t ? 0

7.已知 A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆,椭圆的另一个焦点 F 的轨 迹方程是 ( ) A.y2- C.y2-
x
2

=1(y≤-1)
2

B.y2- D.x2-

x

2

=1
2

48 x

48

=-1

y

=1

48

48

? x ? y ? 1 ≥ 0, ? x?2 y 8.若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3 的最小值是 ? ? x ≤ 0,





A.0

B.1

C. 3

D.9

9.已知向量 OB = (2,0),向量 OC =(2,2),向量 CA =( 2 cos ? , 2 sin ? ),则向量 OA 与向量 OB 的夹角的取 值范围是 ( ) A.[0,
? 4

]

B.[

?

,

5

?]

C.[

5 12

?,

? 2

]

D.[

?

,

5

?]

4 12

12 12

10.已知函数 f ( x ) ? 2 sin (? x ? ? )(? ? 0 ) 的图象与直线 y ? 1 的交点中距离最近的两点间的距离为 于 A.6 B.2 C.1 ( D.
1 2

?
3

,那么 ? 等



11.已知数列 ? 1 , a 1 , a 2 , ? 4 成等差数列, ? 1 , b1 , b 2 , b 3 , ? 4 成等比数列,则 A.
1 2

a 2 ? a1 b2

的值是

B. ?

1 2

C.

1 2

或?
x

1 2

D.

1 4

12.已知 x1 是方程 x lg x ? 2 0 0 6 的根, x 2 是方程 x·10 =2006 的根,则 x1·x2 等于 ( A.2003 二、填空题 B.2004 C.2005 D.2006



2

? 6 x ? 5 y ? 60 ? ? 5 x ? 3 y ? 40 13.设 x、y 满足约束条件 ? ,则 z=4x+3y 的最大值为_________. ? x ? 0, y ? 0 ? x, y ? N ?

14. ( 2 x ?

x ) 的展开式中 x 的系数是________.

4

3

15.已知函数 f ( x ) ? ?

? ? x ? 1( ? 1 ? x ? 0 ) ? ? x ? 1(0 ? x ? 1)

,则 f ( x ) ? f ( ? x ) ? ? 1 的解集为________.

16.与圆 x2+y2-4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________. 三、解答题 17.已知 ? A B C 中, a 、 b 、 c 是三个内角 A 、 B 、 C 的对边,关于 x 的不等式 x cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的 解集是空集.
2

(1)求角 C 的最大值;

(2)若 c ?

7 2

, ? A B C 的面积 S ?

3 2

3 ,求当角 C 取最大值时 a ? b 的值.

18 . 理 ) 设 函 数 f ( x ) 与 数 列 { a n } 满 足 关 系 : ① a1 ? ? , 其 中 ? 是 方 程 f ( x ) ? x 的 实 数 根 ; ② (
a n ? 1 ? f ( a n )( n ? N ) .如果 f ( x ) 的导数满足 0 ? f '( x ) ? 1 .
?

(1)证明 a n ? ? ;

(2)试判断 a n 与 a n ? 1 的大小,并证明你的结论.
2

(文)在数列 { a n } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 S n 满足 S n ? a n ( S n ? (1)求 a n ; (2)设,求数列 { b n } 的前项和 T n .

1 2

).

19.已知 f(x)=loga 1 ?

x

x ?1

(a>0,a≠1).

(1)判断 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明;

(2)

当 x∈(r,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞) ,求 a 与 r 的值; (3)若 f(x)≥loga2x,求 x 的取值范围.

20.设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意 a、b∈[-1,1] ,当 a+b≠0 时,都有 0. (1)若 a>b,比较 f(a)与 f(b)的大小; (2)解不等式 f(x-
1 2

f ( a ) ? f (b ) a ?b



)<f(x-

1 4

) ;

(3)记 P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2)},且 P∩Q= ? ,求 c 的取值范围.

3

21. (理)点 A 是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 短轴位于 x 轴下方的顶点,过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于 P 点,

B 点在 y 轴上且 B P ∥ x 轴,且 AB ? AP =9.

(1)若 B (0 ,1) ,求椭圆的方程; (2)若 B (0 , t ) ,求 t 的取值范围. (文)已知函数 f(x)=x(x-a)(x-b)(0<a<b) . (1)设曲线 y=f(x)在点 O(0,0)处的切线为 m,在点 B(b,0)处的切线为 n,试求 m∥n 的充要条件; (2)若 f(x)在 x=s 及 x=t 处取得极值,其中 s<t。求证:0<s<a<t<b.

22. (理)已知 x 轴上有一列点 P1 , P2 , P3 , ? , Pn , ? ,当 n ? 2 时, Pn 是把 Pn ?1 Pn ? 1 段作 n 等分的分点中 最靠近 Pn ? 1 的点,设线段 P1 P2 , P2 P3 , ? , Pn Pn ? 1 ,的长度分别为 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n ,其中 a1 ? 1 . (1)写出 a 2 , a 3 和 a n 的表达式; (2)证明 a 1 + a 2 + a 3 + ? + a n ? 3 ;
k ( x ? 1)
2

(3)设点 M n ( n , a n ) ,在这些点中是否存在两个点同时在函数 y ? 在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由. (文)点 A 是椭圆
x a
2 2

( k ? 0 ) 的图象上,如果存

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 短轴位于 x 轴下方的顶点,过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆

于 P 点, B 点在 y 轴上且 B P ∥ x 轴,且 AB ? AP ? 9 . (1)若 B (0 ,1) ,求椭圆的方程; (2)若 B (0 , t ) ,求 t 的取值范围.

参考答案 1.答案 C: y ? sin
1 ? 2 cos 2 x ? cos 4
7 8 1 8
4

x ? cos
2

2

x =(

1 ? cos 2 x 2

) ?
2

1 ? cos 2 x 2


1 1 ? cos 4 x ? 4 2 7 8

2x

?

1 ? cos 2 x 2



3 4

?

1 4

cos

2

2x =

3 4

?



?

cos 4 x ,∵ x ? [0 ,

?
6

] ,∴当 x ?

?
8

,即 4 x ?

?
2

时,函数有最小值



评析

三角变换中,三角函数的次数往往不一致,这时可从三角函数的次数入手,总体原则是化高为低。本 ? 题所给函数中含有四次方与平方,故应降次,利用降幂公式即可解决问题。还应注意角的范围 x ? [0 , ] 及三
6

角函数的有界性。 2.答案 D:由已知 N ? M ,有 N ? ? 和 N ? ? 两种情况:若 N ? ? ,那么方程 a | x |? 1 无解,此时 a ? 0 ; 若 N ? ? ,则有 | x | ?
2

1 a

? 0 ,故

1 a

? 1 ,即 a ? 1 .所以由 a 的值所组成的集合为 {0 ,1} ,有 2 个元素.

故子集个数为 2 ? 4 个. 评析 解答集合问题, 要正确理解所给各个集合及符号的含义。 本题求解的关键是正确理解 N ? M , 其中 N 可以是空集. 3. 答案 C: 解析: 圆心到直线的距离为 d=
1? m 2

, 圆半径为 m .∵d-r=

1? m 2

- m = (m-2 m +1) ( m =
2 2

1

1

-1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.答案:C 4 . 答 案
2

C :
(f


?1 ? )

f (x) ?

1 3

x ? f '( ? 1) x ? x ? 5
3 2

, ∴
2

f '

(x ) ?

2

x ?

2 f? '

(,x 1 ) ? ∴

f ' ? ( ? 1? ) ?

? 2 ' 1 ) x ,解得 f( '( ? 1) ? )? 2 (,∴1 f '( x ) ? 1 ? 4 x ? 1 ,∴ f '(1) ? 6 。

4

评析 本题主要考查多项式函数导数的求法及函数在某点处的导数值, 5.答案 A:设椭圆的长半轴为 a ,短半轴为 b , A F ? m ,∵ A B ? A C ? 1 , ? A ? 90 ? ,∴ B C ?
2 ,即 2 a ? 1 ?
6
2 2

2 ,则
6 2

4a ? 2 ?

,1 ? m ? 2 a ? 1 ?

2 2

,∴ m ?

2 2

,由 1 ? (

2 2

) ? ( 2 c ) ,得 2 c ?
2 2



∴e ?

2c 2a

? 1?

2 2 2

?

6?

3

评析 本题主要考查椭圆定义的应用,先利用定义求出 2 a 的值,再求 2 c 的值,即 F C 的长,需在 R t ? A F C 中求 解,因此设法求 A F 的长,利用第一定义,水到渠成,求出 A F 以后,利用勾股定理即可求出 2 c 的长,从而获解。 6.答案 C:由题意 f (1) ? 1 , f ( x ) ? t ? 2 a t ? 1 在 [ ? 1,1] 上恒成立,即 f ( x ) m ax ? f (1) ? 1 ? t ? 2 a t ? 1 恒
2

2

? 2t ? t ? 0 ? t ? 0或 t ? ? 2 ? 成立,即 t ? 2 at ? 0 ,即 ? 2 a t ? t ? 0 ,又 a ? [ ? 1,1] ,∴ ? ,得 ? ,∴ t ? 2 或 t ? ? 2 2 ? ?2t ? t ? 0 ?t ? 2或 t ? 0 ?
2
2 2

或t ? 0 。 评析 解决恒成立问题的主要手段是分离利用函数的思想,转化为函数的最值问题。如本题先转化为
f ( x ) m ax ? t ? 2 a t ? 1 ,又转化为一次函数 f ( a ) ? ? 2 a t ? t ? 0 在 [ ? 1,1] 上恒成立问题,利用一次函数图象
2
2

的特殊性,只须两个端点值成立即可。 7.答案 A:解析:由题意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.故 F 点的轨迹是以 A、 为焦点, B 实轴长为 2 的双曲线下支.又 c=7, a=1,b2=48,所以轨迹方程为 y2-
x
2

=1(y≤-1).答案:A

48

8.答案 B 解出可行域的顶点,带入验证。 9.答案 D : 由 题 意 , 得 : OA = OC + CA =(2+
2 2

2 cos ? ,2+

2 sin ? ) 所 以 点 A 的 轨 迹 是 圆

( x ? 2) ? ( y ? 2)

? 2 ,如图, A 位于使向量 OA 与圆相切时,向量 OA 与向量 OB 的夹角分别达到最大、 当

最小值,故选 D。 评析 本题直接用向量夹角公式求解,运算量大。先确定点 A 的轨迹是圆,利用向量与圆相切的极限位置定 出夹角的范围,无须计算,解法优美。确定直线与圆锥曲线相交的参数范围,这个方法非常有效。 10.答案 B:设函数图象与直线 y ? 1 的两个交点的坐标分别为 x1 、 x 2 ,且 x1 ? x 2 ,则 x 2 ? x1 ?
2 sin ( ? x1 ? ? ) ? 1 , 2 sin (? x 2 ? ? ) ? 1 , 即 s i n ? x1 ? ? ) ( ?
1 2

?
3

,由题意
?
6

, sin ( ? x 2 ? ? ) ?

1 2

, 则 ? x1 ? ? ?



? x2 ? ? ?

5? 6

②,② ? ①得 ? ( x 2 ? x1 ) ?

2? 3

,得 ? ? 2 。
( ? 4 ) ? ( ? 1) 3

评析 本题实质是考查三角函数的周期问题,把交点问题转化为三角方程问题,利用方程的思想求解即可。 11.答案 A:由 ? 1 , a 1 , a 2 , ? 4 成等差数列,则 a 2 ? a1 =
2

= ? 1 ,又 ? 1 , b1 , b 2 , b 3 , ? 4 成等比数
a 2 ? a1 b2

列,则 b 2 =(-1)·(-4)=4,∴ b 2 ? ? 2 ,又 ? 1 , b 2 , ? 4 同号,故 b 2 ? ? 2 ,∴

=

1 2

评析 本题根据等差、等比数列的性质设法求出 a 2 ? a1 及 b 2 的值,即可解决问题,但应注意隐含 条件: ? 1 , b 2 , ? 4 同号,否则易选 C。 12.答案 D:由已知得 lg x ?
y2 ? 2006 x
x

2006 x

,令 y1 ? lg x ,

。作出两个函数的图象,其交点横坐标为

x1 。同理令 y 3 ? 1 0 ,交 y 2 的横坐标为 x 2 。由对称

性知 x 2 ? y 1 ?

2006 x1

,故 x1·x2=2006.

评析 本题主要考查数形结合的数学思想,及函数图象的对称。首先把已知方程变形为容易做出函数图象的 形式,利用对数函数与指数函数的对称性解决问题。

5

13.答案 36 :作出可行域,如图。由 ?

? 6 x ? 5 y ? 60 ? 5 x ? 3 y ? 40
1 7

,得 B(

20 7

,

60 7

),作直线 l:4x+3y=t,当直线经过点 B

时,z=4x+3y 取得最大值,即 4x+3y=37
? 4 x ? 3 y ? 37 ? 6 x ? 5 y ? 60 ? 4 x ? 3 y ? 37 ? 5 x ? 3 y ? 40
20 3

由于 x、y 必须是整数,故 4x+3y 取得最大值可能是 37。 由? 及? ,得点 A 1 (
5 2

,9), A 2 (3,

25 3

)

由 A 1 、 A 2 的横坐标知,线段 A 1 A 2 上没有整点,因此 4x+3y 取得最大值可能是 36, 同上求得 A 3 (0,12)、 A 4 (4, 时,y=
28 3

),所以整点横坐标只能是 0、1、2、3,当 x=1 时,y=
20 3

22 3

,不合题意;当 x=2

,不合题意.所以整点最优解为(0,12),(4,

),使 z=4x+3y 取得最大值 36。

评析 在线性规划问题中,常需求整点最优解,而对于整点最优解的寻找,教材中例题一带而过,下面介绍 一种简易方法—调整优值法。当使目标函数取得最大值的点不是整点解时,求出经过该点的直线方程 l1 : Ax+By+C=0(C 不是整数) ,调整直线方程为 l 2 :Ax+By+ C 1 =0,其中 C 1 为最接近 C 的整数,根据可行域的 特点, C 1 大于或小于 C,求出 l 2 与可行域的交点 M、N,根据 M、N 的横坐标确定整点,求得的整点即为整 点最优解。 14.答案 24: T r ? 1 ? C 4 ? ( 2 x )
r 4?r

?

r

x

? C4 ?2
r

4?r

?x

4?r ?

r 2

? C4 ?2
r

4?r

?x

4?r ?

r 2

AB ? AP =9,由题意 4 ?

r 2

? 3 ,得 r ? 2 。∴ x 的系数为 C 4 ? 2
3

2

4?2

=24。

评析

高考对二项式主要有两个方面的考查:一、通项;二、赋值。本题正确写出二项展开式的通项,然后
1 2 1 2 ? x ? 1} :当 ? 1 ? x ? 0 时, 0 ? ? x ? 1 ,则 f ( x ) ? ? x ? 1 , f ( ? x ) ? x ? 1 ,

令 x 的指数为 3,求得 r 的值,即可求出 x 3 的系数。 15.答案
{x | ?1 ? x ? ? 或

f ( x ) ? f ( ? x ) ? ? 1 化为 ? x ? 1 ? x ? 1 ? ? 1 ,解得 ? 1 ? x ? ?

1 2

,同理可得

1 2

? x ? 1 。故不等式的解集为

{x | ?1 ? x ? ?

1 2



1 2

? x ? 1} 。

评析 本题主要考查抽象函数解不等式的问题,关键是正确求出 f ( x ) 与 f ( ? x ) ,然后分段求解即可。 16.解析:若动圆在 y 轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线 x=-2 的距离相等,其轨迹是抛物线;若 动圆在 y 轴左侧,则动圆圆心轨迹是 x 负半轴.答案:y2=8x(x>0)或 y=0(x<0) 17.解 (1)∵不等式 x cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 的解集是空集。∴ ?
2

? cos C ? 0 ?? ? 0

,即 ?

? cos C ? 0 ?16 sin
2

C ? 24 cos C ?0



? cos C ? 0 1 ? 即? 1 ,故 co s C ? ,∴角 C 的最大值为 6 0 ? 。 2 ? co s C ? ? 2或 co s C ? ? 2

( 2 ) 当 C = 6 0 ? 时 , S ?ABC ?
2 2 2 2

1 2

ab s i C ? n

3 ab ? 4

3 2
2

3 , ∴ ab ? 6 , 由 余 弦 定 理 得
2

c ? a ? b ? 2 a b co s C ? ( a ? b ) ? 2 a b ? 2 a b co s C ,∴ ( a ? b ) ? c ? 3 a b ?

121 4

,∴ a ? b ?

11 2



评析 解有关三角形的问题,必须熟练掌握正、余弦定理,三角函数以及与三角形面积、周长、内切圆、外 接圆等知识,通过理解这些知识掌握各知识点间的关系并能够运用这些知识解决一些实际问题。本题(1)中 结合不等式解集情况求出 co s C ?
1 2

,进而得到角 C 的最大值。 (2)中熟练运用三角形面积公式及余弦定理,

灵活变形,利用方程的思想求解。 18.解 (理) (1)当 n ? 1 时,由题意知 a1 ? ? 成立,
? 假 设 当 n ? k 时 , a k ? ? 成 立 , 由 f ' (x ) 0 知 函 数 f ( x ) 为 增 函 数 , ∴ f ( a )? , k

f? (

)又 ,

f ( a k ) ? a k ? 1 , f (? ) ? ? ,∴ a k ? 1 ? ? ,即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立。综上知对任意正整数 n ,a n ? ? 恒成立。

(2)令 g ( x ) ? x ? f (x ) ,则 g '( x ) ? 1 ? f '( x) ,由 0 ? f '( x) ?1 得 g '( x ) ? 0 ,故 g ( x ) 为增函数,当 x ? ? 时,

6

有 g ( x ) ? g (? ) ? ? ? f (? ) ? 0 ,∴ g ( x ) ? 0 , x ? f ( x ) , (1) a n ? ? , a n ? f ( a n ) ? a n ? 1 , a n ? a n ? 1 。 即 由 知 ∴ 故 评析 本题第(1)问利用数学归纳法证明,思路自然,在证 n ? k ? 1 时,利用导数与函数单调性关系巧妙论 证;第(2)问实质是比较 a n 与 f ( a n ) 的大小,因而构造函数 g ( x ) ? x ? f ( x ) ,判断函数值的正负即可。 (文) (1)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 , ∴ S n ? ( S n ? S n ? 1 )( S n ?
2

1 2

) ? Sn ?
2

1 2

S n ? S n S n ?1 ?
1 Sn ? 1 S1

1 2

S n ? 1 ,∴ S n ? 1 ? S n ? 2 S n S n ? 1 ,∴
1 2n ? 1

1 Sn

?

1 S n ?1

? 2 ,即数

列{

1 Sn

} 为等差数列, S 1 ? a 1 ? 1 ,∴

? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 ,∴ S n ?



当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ?

1 2n ? 1

?

1 2n ? 3

? ?

1 ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 3 )



?1, n ? 1 ? ,n ? 2 。 ∴ an ? ? 1 ? ? ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3) ?

(2) b n ? ∴ Tn ? 评析
1 2

Sn 2n ? 1 1 3

=

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)
1 3 ? 1 5 )?? ? (

?
1

1

2 2n ?1
? 1

(

1

?

1 2n ? 1
)] ? 1 2

),
(1 ? 1 2n ? 1 )? n 2n ? 1

[(1 ?

)?(

2n ? 1

2n ? 1



高考文科对数列的考查主要在数列的基本运算、递推数列、同时含 a n 与 S n 的关系式的运算、数列求

和这四大块。本题(1)中灵活利用 a n 与 S n 的关系合理消元,分类求解。 (2)中考查裂项相消法求和。 19.剖析:单调性只要用定义证明,可先比较真数的大小再证.函数值域可利用函数的单调性确定端点后再比较, 化为方程组求解.对数型不等式要化成同底后分 a>1 与 0<a<1 求解,同时要注意定义域. 解:(1)任取 1<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=loga
x2 ? 1 x2 ? 1

-loga

x1 ? 1 x1 ? 1

=loga

( x 2 ? 1)( x 1 ? 1) ( x 2 ? 1)( x 1 ? 1)

=loga

x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1

.

又∵x2>x1>1,∴x1-x2<x2-x1. ∴0<x1x2-x2+x1-1<x1x2-x1+x2-1. 当 a>1 时,f(x2)-f(x1)<0, 当 0<a<1 时,f(x2)-f(x1)>0, (2)由 ∵
x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

∴0<

x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1

<1.

∴f(x)在(1,+∞)上是减函数; ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.

>0 得 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
2

=1+

x ?1

≠1,∴f(x)≠0.

当 a>1 时, ∵x>1 ? f(x)>0,x<-1 ? f(x)∈(0,1), ∴要使 f(x)的值域是(1,+∞),只有 x>1. - 又∵f(x)在(1,+∞)上是减函数, ∴f 1(x)在(1,+∞)上也是减函数. ∴f(x)>1 ? 1<x<f 1(1)=


a ?1 a ?1

.

∴?

? r ? 1, ?

. ?a ? 2 ? a ?1 ?

a ?1

∴?

? ?r ? 1 ?a ? 2 ? ? (负号不符合) . 3

当 0<a<1 时, ∵x>1 ? f(x)<0,x<1 ? f(x)>0, 又∵f(x)在(-∞,-1)上是增函数, ∴f(x)>1 ? -1>x>f (1)= 综上,得 a=2+
3
-1

∴要使值域是(1,+∞),只有 x<-1.
a ?1 ? , ?r ? ∴? a ? 1 无解. ? a ? 2 ? ? 1, ?

a ?1 a ?1

.

,r=1.
?x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ( x ? 1)

(3)由 f(x)≥loga2x 得当 a>1 时, ? ∴1<x<
3? 4 17

?

3? 4

17

<x<

3? 4

17

且 x>1.

.

7

当 0<a<1 时, ?

? x ? 1, ? x ? 1 ? 2 x ( x -1),

20.解:设-1≤x1<x2≤1,则 x1-x2≠0, ∵x1-x2<0,∴f(x1)+f(-x2)<0. 又 f(x)是奇函数,∴f(-x2)=-f(x2). (1)∵a>b,∴f(a)>f(b). (2)由 f(x-
1 ? ? ? 1 ? x ? 2 ? 1, ? 1 ? ? ? 1 ? x ? ? 1, 4 ? 1 1 ? ?x ? ? x ? , 2 4 ?
1 2



f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) x1 ? ( ? x 2 )

>0.

∴f(x1)<-f(-x2). ∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)是增函数.

)<f(x-

1 4

),得

∴-

1 2

≤x≤

5 4

.

∴不等式的解集为{x|-

1 2

≤x≤

5 4

}.

(3)由-1≤x-c≤1,得-1+c≤x≤1+c,∴P={x|-1+c≤x≤1+c}. 由-1≤x-c2≤1,得-1+c2≤x≤1+c2,∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}. 2 2 ∵P∩Q= ? , ∴1+c<-1+c 或-1+c>1+c ,解得 c>2 或 c<-1. 21.解(理) (1)由题意 B (0 ,1) , A (0, ? b ) , ? P A B ? 45 ? , ∴ AB · AP =| AB |·| AP |·cos45°=| AB |2=9,得 b ? 2 . ∴ P (3,1) ,代入椭 圆方程得
9 a
2

?

1 4

? 1 ,∴ a ? 1 2 。故所求椭圆的方程为
2

x

2

?

y

2

?1。

12
?y ?1 ?y ? x?b

4

另解 直线 A P 的方程为 y ? x ? b ,由 ?

,得 P ( b ? 1,1) ,

∴ AB ? AP =(0,1+b)·(1+b,1+b)=(1+b)2=9,以下同上。 (2)由 AB ? AP =9,得 t ? b ? 3( t ? 0, b ? 0 )
9 a
2

①,将 P (3, t ) 代入椭圆方程得
9b
2 2 2

b ?t 6t 3 ? 1 ? 0 ,∴ ? 0 ,解得 0 ? t ? 。 得 b ? 3 ? t ,代入③得 9 ? 6t 6t ? 9 2

?

t b

2 2

? 1 ,即 a ?
2

9b
2

2 2

b ?t 9

,∵ a ? b ,∴
2 2

b ?t

? b ,即
2

9
2 2

?1

②,由①

评析 (1)中利用数量积公式,把向量关系巧妙转化为长度关系,进而求出 b 的值,得到点 P 的坐标代入椭 圆方程即可,简化了运算。又利用两条直线的交点解出点 P 的坐标,利用向量的坐标运算求出 b 的值,有异 曲同工之妙。 (2)中利用向量关系得到 t , b 的方程,借助椭圆中隐含的 a ? b 关系建立不等式,非常巧妙。 (文) f ( x ) =3x2-2(a+b)x+ab(1)切线 m 的斜率 k 1 = f ( 0 ) =ab,切线 n 的斜率 k 2 = f ( b ) =b(b-a),直线 m
' ' '

∥n ? k 1 = k 2 ,∴ ab=b(b-a) 即 b=2a 是 m∥n 的充要条件。 ( 2 ) 由 题 意 , s , t 是 方 程 f ( x ) =3x2-2(a+b)x+ab=0 的 两 根 , 又 ∵ f ( 0 ) =ab>0 , f ( a ) =a(a-b)<0 ,
' '

'

f ( b ) =b(b-a)>0,∴ f ( x ) 在区间(0,a),(a,b)上各有一个实根,又 s<t,

'

'

∴ 0<s<a<t<b. 评析 本题综合性较强,要学会用导数解决或证明一些问题,尤其要注意导函数为二次函数的研究。 22.解 (理) (1)由已知 Pn ?1 Pn ? ( n ? 1) Pn Pn ? 1 ,令 n ? 2 , P1 P2 ? P2 P3 ,所以 a 2 ? 1 ,令 n ? 3 , P2 P3 ? 2 P3 P4 , 所以 a 3 ? 所以 a n ?
1 2
1 n ?1 1 ( n ? 1) !

,同理

an a n ?1

?
1

1 n ?1
?


1 a n?2 ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? 2 1 2 1
n?2

a n ?1 ? ?

n ?1 n ? 2 1

n ?1 n ? 2 1

?1 ?

1 ( n ? 1)!

.

(2)因为

1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) 1 2! 1 ( n ? 1) !

2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 1 2 1 2
2

a1 + a 2 + a 3 +? + a n =1 ?

1 1!

?

?? ?

? 1?1?

?

?? ? 2

1
n?2

1 n ?1 1? ( ) 1 n?2 2 ? 1? ? 3?( ) ? 3; 1 2 1? 2

8

而 n ? 1 时,易知 a 2 ? 1 ? 3 成立,所以 a 1 + a 2 + a 3 + ? + a n ? 3 。 (3)假设有两个点 A ( p , a p ) , B ( q , a q ) ,都在函数 y ? 所以
( p ? 1)
2

k ( x ? 1)
2
2

上,即 a p ?

k ( p ? 1)
2

, aq ?
n
2

k ( q ? 1)
2

( p ? 1) ! n
2

? k, ?
2

( q ? 1)
2

2

( q ? 1) ! ?

? k ,消去 k 得
2

( p ? 1)
2

2

( p ? 1) !
( n ? 1) !

=

( q ? 1)

( q ? 1) !

①,以下考查数列 b n ?

的增减情况,

n!

b n ? b n ?1 ?

( n ? 1)

n ? ( n ? 1) ( n ? 1) !

n!

( n ? 1) !

? ?

n ? 3n ? 1



当 n ? 2 时, n ? 3 n ? 1 ? 0 ,所以对于数列 { b n } 有 b 2 ? b3 ? b 4 ? ? ? b n ? ? ∴不可能存在 p , q 使得①式成立,因而不存在。 评析 数列的递推关系及增减情况,是近几年高考压轴题的着眼点。 (文) (1)由题意 B (0 ,1) , A (0, ? b ) , ? P A B ? 45 ? , ∴ AB · AP =| AB |·| AP |·cos45°=| AB |2=(b+1)2=9,得 b ? 2 。∴ P (3,1) ,代入椭圆方程得 ∴ a ? 1 2 。故所求椭圆的方程为
2

9 a
2

?

1 4

? 1,

x

2

?

y

2

?1。

12

4
?y ?1 ?y ? x?b

另解 直线 A P 的方程为 y ? x ? b ,由 ?

,得 P ( b ? 1,1) ,

∴ AB ? AP =(0,1+b)·(1+b,1+b)=(1+b)2=9,以下同上。 (2)由 AB ? AP =9,得 t ? b ? 3(t ? 0, b ? 0) ∵a ? b , ∴
2 2

①,将 P (3, t ) 代入椭圆方程得
? 1 ②, 由①得 b ? 3 ? t , 代入③得

9 a
2

?
9

t b

2 2

? 1 ,即 a ?
2

9b
2

2 2

b ?t



9b
2

2 2

b ?t

?b , 即
2

9 b ?t
2 2

9 ? 6t

?1 ? 0 , ∴

6t 6t ? 9

?0,

解得 0 ? t ?

3 2



评析 (1)中利用数量积公式,把向量关系巧妙转化为长度关系,进而求出 b 的值,得到点 P 的坐标代入椭 圆方程即可,简化了运算。又利用两条直线的交点解出点 P 的坐标,利用向量的坐标运算求出 b 的值,有异 曲同工之妙。 (2)中利用向量关系得到 t , b 的方程,借助椭圆中隐含的 a ? b 关系建立不等式,非常巧妙。


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