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【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 古典概型


12.2 古典概型 一、选择题 1.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具)先后 抛掷 3 次,至少出现一次 5 点向上的概率是( ) 5 25 31 91 A. B. C. D. 216 216 216 216 解析 抛掷 3 次,共有 6×6×6=216 个事件.一次也不出现 5,则每次抛掷都有 5 种可能, 125 故一次也未

出现 5 的事件总数为 5×5×5=125.于是没有出现一次 5 点向上的概率 P= , 216 125 91 所求的概率为 1- = . 216 216 答案 D 2. 先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6) ,骰子朝上的 面的点数分别为 m, n ,则 mn 是奇数的概率是( A. ) D.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

1 6

答案 C 3.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择 两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( A. C. 3 18 5 18 4 B. 18 D. 6 18 )

解析 正方形四个顶点可以确定 6 条直线, 甲乙各自任选一条共有 36 个等可能的基本事件. 两 5 条直线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和对角线),包括 10 个基本事件,所以概率等于 . 18 答案 C 4.连续抛掷 2 颗骰子,则出现朝上的点数之和等于 6 的概率为( A. 5 36 5 B. 66 1 C. 11 5 D. 11 ).

5 解析 设“朝上的点数之和等于 6”为事件 A,则 P(A)= . 36 答案 A 5. 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 2 个数, 从 则取出的两个数不是连续自然数的概率是( ).

3 A. 5

2 B. 5

1 C. 3

2 D. 3

解析 取出的两个数是连续自然数有 5 种情况, 则取出的两个数不是连续自然数的概率 P= 5 2 1- = . 15 3 答案 D 6.某种饮料每箱装 6 听,其中有 4 听合格,2 听不合格,现质检人员从中随机抽取 2 听进 行检测,则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( A. 1 15 3 B. 5 8 C. 15 ). 14 D. 15

解析 从“6 听饮料中任取 2 听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有 15 个, 9 3 而“抽到不合格饮料”含有 9 个基本事件,所以检测到不合格饮料的概率为 P= = . 15 5 答案 B 7.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正方体,若将这些小正方体 均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( A. 1 12 1 B. 10 3 C. 25 1 D. 125 ).

8 1 解析 小正方体三面涂有油漆的有 8 种情况,故所求其概率为: = . 1 000 125 答案 D 二、填空题 8.有一质地均匀的正四面体,它的四个面上分别标有 1,2,3,4 四个数字.现将它连续抛掷 3 次,其底面落于桌面,记三次在正四面体底面的数字和为 S,则“S 恰好为 4”的概率为 ________. 解析 本题是一道古典概型问题. 用有序实数对(a, , )来记连续抛掷 3 次所得的 3 个数字, b c 总事件中含 4×4×4=64 个基本事件, S=a+b+c, 取 事件“S 恰好为 4”中包含了(1,1,2), (1,2,1),(2,1,1)三个基本事件,则 P(S 恰好为 4)= 答案 3 64 3 . 64

9. 现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随 机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 .

解析 组成满足条件的数列为: 1,?3,9. ? 27,81,?243,729,?2187 ,6561,?19683 . 从中随机取 出一个数共有取法 10 种, 其中小于 8 的取法共有 6 种, 因此取出的这个数小于 8 的概率为

3 . 5

答案

3 5

10.甲、乙二人参加普法知识竞答,共有 10 个不同的题目,其中 6 个选择题,4 个判断题, 甲、乙二人依次各抽一题,则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________. 解析 方法 1: 设事件 A: 甲乙两人中至少有一人抽到选择题. A 分拆为 B: 将 “甲选乙判”, C:“甲选乙选”,D:“甲判乙选”三个互斥事件, 则 P(A)=P(B)+P(C)+P(D). 1 1 1 1 1 1 C6C4 C6C5 C4·C6 而 P(B)= 1 1,P(C)= 1 1,P(D)= 1 1 , C10C9 C10C9 C10C9 24 30 24 78 13 ∴P(A)= + + = = . 90 90 90 90 15 方法 2:设事件 A:甲乙两人中至少有一人抽到选择题,则其对立事件为 A : C4C3 12 12 78 13 甲乙两人均抽判断题.∴P( A )= 1 1= ,∴P(A)=1- = = . C10C9 90 90 90 15 13 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为 . 15 13 答案 15 11.先后两次抛掷同一个骰子,将得到的点数分别记作 a,b,与 5 分别作为三条线段的长, 则这三条线段能够构成等腰三角形的概率是________. 解析 基本事件的总数是 6×6=36, 当 a=1 时,b=5 符合要求,有 1 种情况; 当 a=2 时,b=5 符合要求,有 1 种情况; 当 a=3 时,b=3,5 符合要求,有 2 种情况; 当 a=4 时,b=4,5 符合要求,有 2 种情况; 当 a=5 时,b=1,2,3,4,5,6 均符合要求,有 6 种情况; 当 a=6 时,b=5,6 符合要求,有 2 种情况. 14 7 故所求其概率为: = . 36 18 答案 7 18
2 2 1 1

12.将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a,b,则直线 ax-by=0 与圆(x-2) +y =2 相交的 概率为________. 解析 圆心(2,0)到直线 ax-by=0 的距离 d= |2a|

a2+b2

,当 d< 2时,直线与圆相交,则有

d=

|2a|

a2+b2

< 2,得 b>a,满足题意的 b>a,共有 15 种情况,因此直线 ax-by=0 与圆

15 5 2 2 (x-2) +y =2 相交的概率为 = . 36 12

答案

5 12

三、解答题 13.从某小组的 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人去参加一项公益活动. (1)求所选 2 人中恰有一名男生的概率; (2)求所选 2 人中至少有一名女生的概率. 解析 设 2 名女生为 a1,a2,3 名男生为 b1,b2,b3,从中选出 2 人的基本事件有:(a1,a2), (a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3), 共 10 种. (1) 设“所选 2 人中恰有一名男生”的事件为 A,则 A 包含的事件有:(a1,b1),(a1,b2), (a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共 6 种, 6 3 ∴P(A)= = , 10 5 3 故所选 2 人中恰有一名男生的概率为 . 5 (2)设“所选 2 人中至少有一名女生”的事件为 B,则 B 包含的事件有:(a1,a2),(a1,b1), (a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共 7 种, 7 ∴P(B)= , 10 7 故所选 2 人中至少有一名女生的概率为 . 10 14.有编号为 A1,A2,?,A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据: 编号 直径

A1
1.51

A2
1.49

A3
1.49

A4
1.51

A5
1.49

A6
1.51

A7
1.47

A8
1.46

A9
1.53

A10
1.47

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个. ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 个零件直径相等的概率. 解析 (1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一 等品”为事件 A,则 P(A)= 6 3 = . 10 5

(2)①一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6. 从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有: {A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3}, {A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},

{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有 15 种. ②“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 B)的所有可能结果有: 6 2 {A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有 6 种.所以 P(B)= = . 15 5 15.设平面向量 am=(m,1),bn=(2,n),其中 m,n∈{1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (2)若“使得 am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率. 解析 (1)有序数组(m,n)的所有可能结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. (2)由 am⊥(am-bn),得 m -2m+1-n=0,即 n=(m-1) ,由于 m,n∈{1,2,3,4},故事件
2 2

A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4), 2 个, 共 又基本事件的总数为 16, 故所求的概率为 P(A)
2 1 = = . 16 8 16.新华中学高三(1)班共有学生 50 名,其中男生 30 名、女生 20 名,采用分层抽样的方法 选出 5 人参加一个座谈会. (1)求某同学被抽到的概率以及选出的男、女同学的人数; (2)座谈会结束后,决定选出 2 名同学作典型发言,方法是先从 5 人中选出 1 名同学发言, 发言结束后再从剩下的同学中选出 1 名同学发言, 求选出的 2 名同学中恰好有 1 名为女同学 的概率. 5 1 解析 (1)某个同学被抽到的概率 P= = ,根据分层抽样方法,应抽取男同学 3 人,女 50 10 同学 2 人. (2)记选出的 3 名男同学为 A1,A2,A3,2 名女同学为 B1,B2. 则基本事件是: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A1), (A3,A2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,A1),(B1,A2)(B1,A3),(B1,B2),(B2,A1),(B2,A2)(B2,

A3),(B2,B1).
基本事件的总数为 20 个, 其中满足“恰好有 1 名为女同学”的基本事件有 12 个, 故所求的 12 3 概率 P= = . 20 5 【点评】 近几年新课标高考对概率与统计的交汇问题考查次数较多.解决此类题目步骤主要 有:,第一步:根据题目要求求出数据? 有的用到分层抽样、有的用到频率分布直方图等知 识? ;,第二步:列出所有基本事件,计算基本事件总数;,第三步:找出所求事件的个数;,

第四步:根据古典概型公式求解;,第五步:明确规范表述结论.


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