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(考试必备)宁夏银川一中2011届高三第三次月考试题数学文


数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1 .设函数 y ? ( A.M 2.已

知 sin( ) B.N C. [0, ??) D. ? ( )

则 M? N ? x ? 2 的定义域为集合 M ,集合 N ? { y | y ? x2 , x? M},

3 ? ? ) ? , 则 cos(? ? 2? ) ? 2 5 24 24 7 7 A. ? B. C. ? D. 25 25 25 25 3.若 a ? log 2 3, b ? log3 2, 2, c ? log 1 2, 则a, b, c 的大小关系是
3

?





A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b ( D.64 ( D.2 ) )

4.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是 A.15 B.30 C.31

5.函数 f ( x) ? sin x(cos x ? sin x) 的最小正周期为 A.

? 4

B.

? 2

C. ?

?

6.函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? A. y ? ?4sin( B. y ? 4sin(

?
4

, x ? R) 的部分图象如图所示,则函数为(



?
8

x?

?
4 ) 4 )

)

?
8

x? 8

?
4

C. y ? ?4sin( D. y ? 4sin(

?

x?

?

)

?

8

x?

?

4

7.设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2,3S2 ? a3 ? 2, 则公比q ? (



A.3

B.4

C .5

D.6

8.函数:① y ? x ? sin x ② y ? x ? cos x ③ y ? x? | cos x | ④ y ? x ? 2 x 的图象(部)如下, 但顺序被打乱,则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是 ( )

A.④①②③

B.①④③②

C.①④②③

D.③④②①

9.设函数 f ( x) ? cos ? 2 x ? ①点 ( ?

? ?

??

? ? 1 ,有下列结论: 3?

5 ? , 0) 是函数 f ( x) 图象的一个对称中心; 12

②直线 x ?

?

3

是函数 f ( x ) 图象的一条对称轴;

③函数 f ( x ) 的最小正周期是 ? ; ④将函数 f ( x ) 的图象向右平移 其中所有正确结论的序号是 A.①②③ B.①③④

? 个单位后,对应的函数是偶函数。 6
( C.②④ D.②③④ )

?1 x) ? f( ? x) ? 4 10. 设定义域、 值域均为 R 的函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f ( x) , 且 f( ?1

, )

则f

( x ? 3) ? f ?1 (7 ? x) 的值为
B. 2 x ? 10 C.-4 D.0



A.4

15 3 2 x ? 9 都相切,则 a 等于( 11.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y ? x 和y ? ax ? 4 21 7 7 25 25 A. ? 或 B. ?1或 C. ?1或 ? D. ? 或7 4 4 4 64 64
3



12.函数 f ( x) ? x ? 2x 的图像 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下平移 v 个单位长度后得 到图像 C2, 若对任意的 u ? 0 , 曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点, 则 v 的最小值为 ( A. )

2 6 9 4 6 9

B.

6 6 9 8 6 9

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡对应题号的横线 上。 13.设函数 y ? x2 ? (a ? 2) x ? 3, x ? [a, b] 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b ? 14. sin ? ? cos ? ? 。

1 ? ? ?? ? cos ? ? sin ? ? 8 4 2 1 } 是等差数列,则 a11 ? an ? 1

15.数列 {an } 中, a3 ? 2, a7 ? 1, 数列{

16 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) , 对 任 意 实 数 x ? R , 都 有 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 3 和

f ( x) ? f ( x) ? 2 成立,且 f (1) ? 2, 记an ? f (n)(n ? N * ), 则a2010 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 10 分)

x x ? 2 cos ? 0. 2 2 (1)求 tan x 的值; cos 2 x
已知 sin (2)求

2 cos( ? x) ? sin x 4

?

的值。

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin (
2

?
4

? x) ? 2 3 cos 2 x ? 1且给定条件 p : "

?
4

?x?

?
2

"

(1)求 f ( x ) 的最大值及最小值; (2)若又给条件 q : " | f ( x) ? m |? 2" 且 p是q 的充分条件,求实数 m 的取值范围。

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x , 数列{an }满足a1 ? 1, an ?1 ? f (an )(n ? N * ). 3x ? 1

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ?an an?1 , 求Sn .

20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 为递增数列, 且 a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 {bn } 的
2

前 n 项和 Tn ? 1 ?

1 bn . 2

(1)分别写出数列 {an }和{bn } 的通项公式; (2)记 cn ? an?1bn?1 ,求证:数列 {cn } 为递减数列。

21. (本小题满分 12 分) 设 函 数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3a2 x ? 1(a, b ? R)在x ? x1 , x ? x2 处 取 得 极 值 , 且

| x1 ? x2 |? 2.
(1)若 a ? 1, 求b 的值,并求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? 0, 求b 的取值范围。

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? x ? 3ax ? 3t ? t (t ? 0)
3 2 2

(1)求函数 g ( x) 的单调区间; (2)曲线 y ? g ( x) 在点 M (a, g (a))和N (b, g (b))(a ? b) 处的切线都与 y 轴垂直,若方 程 g ( x) ? 0 在区间 [ a, b] 上有解,求实数 t 的取值范围。

参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1—2BDCAC 6—10ABCDD 11—12CC 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上。 13.6 14. ? 15.

3 2

1 2

16.2011 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 10 分)

x x ? 2 cos ? 0. 2 2 (1)求 tan x 的值; cos 2 x
已知 sin (2)求

2 cos( ? x) ? sin x 4 x x x 解: (1)由 sin ? 2 cos ? 0, ? tan ? 2 …………2 分 2 2 2 x 2 tan 2 ? 2 ? 2 ? 4 . …………5 分 ? tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2
(2)原式 ?

?

的值。

cos 2 x ? sin 2 x 2( 2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) cos x ? sin x ? (cos x ? sin x)sin x sin x

3 1 ? cot x ? 1 ? (? ) ? 1 ? . …………10 分 4 4
18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin (
2

?
4

? x) ? 2 3 cos 2 x ? 1且给定条件 p : "

?
4

?x?

?
2

"

(1)求 f ( x ) 的最大值及最小值; (2)若又给条件 q : " | f ( x) ? m |? 2" 且 p是q 的充分条件,求实数 m 的取值范围。 解: (1)? f ( x) ? 2[1 ? cos( ? 2 x) ? 2 3 cos 2 x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2 3 cos 2 x]

? 4sin(2 x ? ) ? 1 3
又?

?

1 2

?

?

?
6

4

?x?

?

? 2x ?

?

2 ?

3

即 3 ? 4sin(2 x ?

?

2? 3 3 ) ?1 ? 5

(2)记 cn ? an?1bn?1 ,求证:数列 {cn } 为递减数列。 解: (1)由题意得 a2 ? 3, a 5 ? 8

? ymax ? 5, ymin ? 3
| f ( x) ? m |? 2 (2)? ? m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2
又∵p 为 q 的充分条件

?m ? 2 ? 3 ?? 解得3 ? m ? 5 ……………………12 分 ?m ? 2 ? 5
19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x , 数列{an }满足a1 ? 1, an ?1 ? f (an )(n ? N * ). 3x ? 1

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ?an an?1 , 求Sn . 解(1)由已知得 an ?1 ?

an , 3an ? 1

?

1 1 ? ? 3, an?1 an 1 1 ? ?3 an?1 an



1 ? 数列{ } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d=3 的等差数列。 an ? 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2, an
1 (n ? N *) ……………………6 分 3n ? 2

故 an ?

(2)? an an ?1 ?

1 (3n ? 2)(3n ? 1)

?

1 1 1 ( ? ) 2 3n ? 2 3n ? 1

Sn ? a1a2 ? a2 a 3 ? ? ? an a n ?1 ?

1 1 1 ? ?? ? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2)(3n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . …………………………12 分 3 3n ? 1 3n ? 1
20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 为递增数列, 且 a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 {bn } 的
2

前 n 项和 Tn ? 1 ?

1 bn . 2

(1)分别写出数列 {an }和{bn } 的通项公式; (2)记 cn ? an?1bn?1 ,求证:数列 {cn } 为递减数列。 解: (1)由题意得 a2 ? 3, a5 ? 8 公差 d ?

a5 ? a2 ? 2 ……………………2 分 5?2

所以 an ? a2 ? (n ? 2)d ? 2n ? 1 …………………………4 分

1 2 bn 得 n ? 1时b1 ? 2 3 1 1 n ? 2 时 bn ? Tn ? Tn ?1 ? bn ?1 ? bn ……………………6 分 2 2 1 得 bn ? bn ?1 3 2 所以 bn ? n …………………………8 分 3
由 Tn ? 1 ?

4n ? 2 3n ?1 4n ? 6 4n ? 2 ?8n ? cn ?1 ? cn ? n ?1 ? n ?1 ? n ? 2 ? 0 3 3 3
(2)由(1)得 cn ? 数列 {cn } 减数列……………………12 分 21. (本小题满分 12 分) 设 函 数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3a2 x ? 1(a, b ? R)在x ? x1 , x ? x2 处 取 得 极 值 , 且

| x1 ? x2 |? 2.
(1)若 a ? 1, 求b 的值,并求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? 0, 求b 的取值范围。 解: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3a 2 ①……………………1 分 (1)当 a ? 1 , f ?( x) ? 3x2 ? 2bx ? 3 ; 由题意知 x1 , x2 为方程 3x ? 2bx ? 3 ? 0 的两根,
2

所以 | x1 ? x2 |? 2, 得b ? 0 的两根, 所以 | x1 ? x2 |?

4b2 ? 36 . 3

由 | x1 ? x2 |? 2, 得b ? 0. ……………………3 分
2 2 从而 f ( x) ? x ? 3x ? 1, f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1).

当 x ? (?1,1) 时, f ?( x) ? 0 当 x ? (??, ?1) ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在(—1,1)单调递减,在 (??, ?1), (1, ??) 单调递增…………5 分 (2)由①式及题意知为方程 3 x ? 2bx ? 3a ? 0 的两根, 所以 | x1 ? x2 |?

4b2 ? 36a 2 , 3a
2 2

从而 | x1 ? x2 |? 2 ? b ? 9a (1 ? a). 由止式及题设知 0 ? a ? 1. …………………………7 分

令 g (a) ? 9a ? 9a , g ?(a) ? 18a ? 27 a ? ?27 a(a ? ) ………………9 分
2 3 2

2 3

2 3 2 4 从而 g (a ) 在 (0,1] 的极大值为 g ( ) ? . 3 3
2 3

故 g (a ) 在 (0, ) 单调递增,在 ( ,1) 单调递减,

又 g (a ) 在 (0,1] 上只有一个极值,所以 g ( ) ? 且最小值为 g (1) ? 0, 所以b ? [0, ],
2

2 3

4 为 g (a ) 在 (0,1] 上的最大值, 3

4 3

即 b 以值范围为 [?

2 3 2 3 , ] ……………………12 分 3 3

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3t 2 ? t (t ? 0) (1)求函数 g ( x) 的单调区间; (2)曲线 y ? g ( x) 在点 M (a, g (a))和N (b, g (b))(a ? b) 处的切线都与 y 轴垂直,若方 程 g ( x) ? 0 在区间 [ a, b] 上有解,求实数 t 的取值范围。 解: (1)由 g?( x) ? 3x2 ? 6tx ? 0和g ( x) ? 3x2 ? 6tx ? 0(t ? 0) 知 g ( x) 在( ??, 0 )和 (2t , ??) 上增函数,

g ( x) 在(0,2t)是减函数
即 (??,0)和(2t , ??) 是 g ( x) 是单调递增区间,

(0, 2t ) 是 g ( x) 是单调递减区间。…………………………6 分
(2) 由曲线 y ? g ( x) 在点 M (a, g (a))和N (b, g (b))(a ? b) 处的切线都与 y 轴垂直知,

g (a) ? g (b) ? 0, 又a ? b, 所以a ? 0, b ? 2t,
若方程 g ( x) ? 0 在区间[a,b]上有解,即曲线 g ( x) 在区间[0,2t]上与 x 轴相交, 又 g ( x) 在[0,2t]上单调,所以 g (0) g (2t ) ? 0, 即 t (3t ? 1)(4t ? 3t ? 1) ? 0,
2 2

得 t ? ( , ) ……………………12 分

1 1 4 3


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