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2014年全国各地高考试题分类汇编(文数)8----解析几何(解答题)(全Word,精心排版)


2014 年全国各地高考试题分类汇编(文数) 解析几何(解答题)
x2 y (2014 安徽文数)21. (本小题满分 13 分)设 F1 , F2 分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点, a b
过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, AF (1)若 | AB |? 4, △ABF2 的周长为 16,求 AF2 ; 1 ?3 F 1B . (2)若 cos ?AF2 B ?
2

3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

解: (1)由 AF , AB ? 4 ,得 AF ,F .因为 △ABF2 的周长为 16, 1 ?3 F 1B 1B ? 1 1 ?3 所以由椭圆定义可得 4a ? 16 , AF 1 ? AF 2 ? 2a ? 8 .故 AF 2 ? 2a ? AF 1 ? 8?3 ? 5 .

k ? 0 且 AF (2)设 F 1B ? k ,则 1 ? 3k , AB ? 4k .由椭圆定义可得 AF 2 ? 2a ? 3k , BF 2 ? 2a ? k .
在 △ABF2 中,由余弦定理可得 AB ? AF2 ? BF2 ? 2 AF2 BF2 cos ?AF2 B , 即 ? 4k ? ? ? 2a ? 3k ? ? ? 2a ? k ? ?
2 2 2
2 2 2

6 ? 2a ? 3k ?? 2a ? k ? .化简可得 ? a ? k ?? a ? 3k ? ? 0 ,而 a ? k ? 0 , 5
2

BF2 故 a ? 3k .于是有 AF2 ? 3k ? AF 1 , BF 2 ? 5k .因此
等腰直角三角形.从而 c ?

? F2 A ? AB ,可得 F1 A ? F2 A ,△AF1F 为

2

2

2 c 2 . a ,所以椭圆的离心率 e ? ? 2 a 2
2 2

(2014 北京文数)19.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C: x ? 2 y ? 4 . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长度的最小值.

解: (1)由题意知,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 .所以 a 2 ? 4 , b2 ? 2 , 4 2

2 2 2 从而 c ? a ? b ? 2 .因此 a ? 2 , c ?

2 .故椭圆 C 的离心率 e ?

c 2 . ? a 2

(2)直线 AB 与圆 x ? y ? 2 相切.证明如下:设点 A, B 的坐标分别为 ? x0 , y0 ? , ? t , 2 ? ,其中 x0 ? 0 .
2 2

因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?

uur uu u r

2 y0 . x0

当 x0 ? t 时, y0 ? ?

t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 ,故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 . 2

圆心 O 到直线 AB 的距离 d ?

2 .此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切.
1

当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ?

y0 ? 2 ? x ? t ? ,即 ? y0 ? 2? x ? ? x0 ? t ? y ? 2x0 ? ty0 ? 0 . x0 ? t
2 2 .又 x0 ? 2 y0 ? 4,t ? ?

圆心 O 到直线 AB 的距离 d ?
2 2 y0 x0

2 x0 ? ty0

? y0 ? 2 ? ? ? x0 ? t ?
2

2

2 y0 , x0

2 x0 ?
故d ?

2 2 x0 ? y0 ?

4y ?4 x

2 0 2 0

?

2 4 ? x0 x0

x ? 8 x ? 16 2x
4 0 2 0 2 0

? 2 .此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切.

(2015 大纲文数)22. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交 点为 P,与 C 的交点为 Q,且 QF ?

AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相交于 M,N 两点,且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 解: (1)设 Q ? x0 , 4? ,代入 y ? 2 px 得 x0 ?
2

5 PQ . (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 4
8 8 p p 8 .所以 PQ ? , QF ? ? x0 ? ? . P p 2 2 p

由题设得

p 8 5 8 ? ? ? ,解得 p ? ?2 (舍去)或 p ? 2 .所以 C 的方程为 y 2 ? 4x . 2 p 4 p
2 2

(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x ? my ? 1? m ? 0? .代入 y ? 4 x 得 y ? 4my ? 4 ? 0 .
2 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 .故 AB 的中点为 D 2m ? 1, 2m ,

?

?

AB ? m2 ? 1 y1 ? y2 ? 4 ? m2 ? 1? .又 l ? 的斜率为 ?m ,所以 l ? 的方程为 x ? ?
2 将上式代入 y ? 4 x ,并整理得 y ?

1 y ? 2m 2 ? 3 . m

2

4 y ? 4 ? 2m 2 ? 3? ? 0 .设 M ? x3 , y3 ? , N ? x4 , y4 ? , m

则 y3 ? y4 ? ?

4 2? ? 2 2 , y3 ? y4 ? ?4 ? 2m ? 3? .故 MN 的中点为 E ? 2 ? 2m2 ? 3, ? ? , m m? ?m

4 ? m2 ? 1? 2m2 ? 3 1 .由于 MN 垂直平分 AB , MN ? 1 ? 2 y3 ? y4 ? m m2
故 A , M , B , N 四点在同一圆上等价于 AE ? BE ?
2 2

1 1 1 2 2 2 MN ,从而 AB ? DE ? MN , 2 4 4

2 2 4 ? m 2 ? 1? ? 2m 2 ? 1? 2? ? 2 ? ? 2 即 4 ? m ? 1? ? ? 2m ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? .化简得 m ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? ?1 . 4 m? ?m m ? ? 2

所求直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . (2014 福建文数)21. (本小题满分 12 分)已知曲线 ? 上的点到点 F (0,1) 的距离比它到直线 y ? ?3 的距离小 2. (1)求曲线 ? 的方程; (2)曲线 ? 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A .直线 y

? 3 分别与直线 l 及 y 轴交于点

M , N ,以 MN 为直径作圆 C ,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B ,试探究:当点 P 在曲线 ? 上运动(点 P 与
2
y

原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论. 解:(1)解法一:设 S ? x, y ? 为曲线 ? 上任意一点,依题意, 点 S 到 F ? 0,1? 的距离与它到直线 y ? ?1 的距离相等, 所以曲线 ? 是以点 F ? 0,1? 为焦点,直线 y ? ?1 为准线的抛物线, 所以曲线 ? 的方程为 x ? 4 y .
2

解法二:设 S ? x, y ? 为曲线 ? 上任意一点,则 y ? ? ?3? ? 直线 y ? ?3 的上方,所以 y ? ?3 ,所以
2

? x ? 0? ? ? y ? 1?
2 2

2

? 2 ,依题意,点 S ? x, y ? 只能在

? x ? 0? ? ? y ? 1?

? y ? 1 ,化简得,曲线 ? 的方程为 x2 ? 4 y .

(2)当点 P 在曲线 ? 上运动时,线段 AB 的长度不变.证明如下: 由(1)知抛物线 ? 的方程为 y ?

k ? y?

x ? x0

1 2 1 1 x ,设 P ? x0 , y0 ?? x0 ? 0? ,则 y0 ? x02 ,由 y? ? x ,得切线 l 的斜率 4 4 2 1 1 1 1 2 ? x0 ,所以切线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ? x ? x0 ? ,即 y ? x0 x ? x0 . 2 2 2 4

1 1 2 1 1 2 ? ? ?1 6 ? ? y ? x0 x ? x0 ? y ? x0 x ? x0 ?1 ? 由? 2 4 得 A ? x0 ,0 ? .由 ? 2 4 得 M ? x0 ? ,3 ? .又 N ? 0,3? ,所以圆心 x0 ? ?2 ? ?2 ? ? ?y ? 0 ?y ? 3
?1 3 ? 1 1 3 C ? x0 ? ,3 ? ,半径 r ? MN ? x0 ? , AB ? x0 ? 2 4 x0 ?4
所以点 P 在曲线 ? 上运动是,线段 AB 的长度不变. (2014 广东文数)20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

?1 ?1 ?1 3 ?? 3? AC ? r ? ? x0 ? ? x0 ? ?? ? 32 ? ? x0 ? ? ? 6 . x0 ?? x0 ? ?4 ?4 ?2
2 2

2

2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 a 2 b2

?

5, 0 ,离心率

?



5 . (1)求椭圆 C 的标准方程; 3

(2)若动点 P ? x0 , y0 ? 为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 解: (1)由题意知 c ? 5 , e ?

x2 y 2 c 5 2 2 2 ,所以 a ? 3 ,b ? a ? c ? 4 ,故椭圆 C 的标准方程为 ? ? 1. ? 9 4 a 3

(2)当过 P 点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为 k1 , k2 ,则过 P 点的切线方程可设为

? y ? kx ? y0 ? kx0 ? 消去 y , y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ? y ? kx ? y0 ? kx0 ,由 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?9
2 2 2 2 有 9k ? 4 x ? 18 ? y0 ? kx0 ? kx ? 9 ? y0 ? kx0 ? ? 36 ? 0 , ? ? 9 ? y0 ? kx0 ? k 2 ? 9k 2 ? 4 ?? y0 ? kx0 ? ? 4? ? ? ,

?

?

2

?

??

?

2 2 2 整理得 x0 ? 9 k ? 2 x0 y0 k ? y0 ? 4 ? 0 , 所以 k1k2 ?

?

?

2 2 4 ? y0 4 ? y0 k k ? ? 1 , 由已知得 , 所以 x ? ? 3 ? ?1 , ? 1 2 2 ? 0 2 9 ? x0 9 ? x0

3

2 2 2 2 所以 x0 ? y0 ? 13 ,即此时点 P 的轨迹方程为 x0 ? y0 ? 13 .当两条切线中有一条垂直于 x 轴时,此时 P 点坐标
2 2 2 2 为 ? ?3, ?2? ,也满足方程 x0 ? y0 ? 13 . ? y0 ? 13? x0 ? ?3? .综上所述,所求 P 点的轨迹方程为 x0

(2014 湖北文数)22. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距 离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(?2, 1) . 求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 解: (I)设点 M

? x, y ? ,依题意得 MF

? x ? 1,即 ? x ? 1?2 ? y 2

? x ?1 ,

化简整理得 y 2 ? 2 ? x ? 1? .故点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? ? (II) 在点 M 的轨迹 C 中, 记 C1 :y 由方程组 ?
2

?4 x, x …0, ?0, x ? 0.

? 4x ,C2 :y ? 0 ? x ? 0? , 依题意, 可设直线 l 的方程为 y ?1 ? k ? x ? 2? .

? ? y ?1 ? k ? x ? 2? 2 可得 ky ? 4 y ? 4 ? 2k ?1? ? 0 .① 2 ? ? y ? 4x
1 . 4

(1)当 k ? 0 时,此时 y ? 1 .把 y ? 1 代入轨迹 C 的方程,得 x ?

故此时直线 l : y ? 1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 ?

?1 ? ,1? . ?4 ?

(2)当 k ? 0 时,方程① 的判别式为 ? ? ?16 2k 2 ? k ? 1 .② 设直线 l 与 x 轴的交点为

?

?

? x0 ,0? ,则由 y ?1 ? k ? x ? 2? ,令 y ? 0 ,得 x

0

??

2k ? 1 .③ k

(i)若 ?

1 ?? ? 0 由② ③ 解得 k ? ?1 或 k ? .即当 k ? ? ??, ?1? 2 ? x0 ? 0

?1 ? ? , ?? ? 时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有 ?2 ?

一个公共点,故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点. (ii)若 ?

? 1? 1 ? ? ? 0 ?? ? 0 或? 则由② ③ 解得 k ? ??1, ? 或 ? ? k ? 0 . 2 ? 2? ? x0 ? 0 ? x0 …0 ? ? 1? ? 时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 2?

即当 k ? ??1,

当 k ? ??

? 1 ? ,0 ? 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. ? 2 ? ? 1 ? ? 1? ,0 ? ??1, ? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. ? 2 ? ? 2?
1 1 ?? ? 0 则由② ③ 解得 ?1 ? k ? ? 或 0 ? k ? . 2 2 0 ? x0 ? <

故当 k ? ? ?

(iii)若 ?

即当 k ? ? ?1, ?

? ?

1? ? 1? ? ? 0, ? 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 2? ? 2?
4

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 综合(1) (2)可知,当 k ? ? ??, ?1?

?1 ? ? , ?? ? ?2 ?

?0? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点;当

? 1 ? ? 1? k ? ?? ,0 ? ??1, ? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点; ? 2 ? ? 2?
当 k ? ? ?1, ?

? ?

1? ? 1? ? ? 0, ? 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 2? ? 2?

(2014 湖南文数)20. (本小题满分 13 分)如图所示,O 为坐标原点,双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a1 ? 0,b1 ? 0) a12 b12

?2 3 ? y 2 x2 P 1? 和椭圆 C2 : 2 + 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) 均过点 ? ? 3 , ? ,且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四 ? ? a2 b2
边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2 的方程; (2)是否存在直线 l ,使得 l 与 C1 交于 A, B 两点,与 C2 只 有一个公共点,且 OA ? OB

? AB ?证明你的结论.
y

P
O

x

? 4 ? 3 1 ?a 2 ? b 2 ? 1 1 解: (1)由题意得: ? 1 ? ? 4 ? 3 ? 1 ?1 2 ? b2 2 ? a2



且 a12 ? a22 ? b22 ,又

1 2 2 ? ? 2a1 ? ? 2a12 ? 2 ,得 a1 ? 1 ,所以 b12 ? 3 . 2



4 ? ? 1 1 4 ? ? 3 ?1 ① 2 2 2 2 4 2 ? 4b2 ? 4 ? 3b2 b2 ? 1? ? 3b2 ? 3b2 ,则 , ? 2 ? 1 ,整理得 3b2 ? ? a 2 b2 2 2 2 1 ? b 3 b 2 2 ? 2 2 ② ?a2 ? 1 ? b2 ?
2 4 2 化简得 3b2 ? 4b2 ? 4 ? 0 , 即 3b2 ? 2

?

?? b22 ? 2 ? ? 0 ,即 b22 ? 2 ,故 a22 ? 3 .C1 :x 2 ?

y2 x2 y2 ? 1 ;C2 : ? ? 1. 3 3 2

(2)由 OA ? OB

? AB ? OB ? OA ,得 OA ? OB ,因为 OA ? OB ,则在 C1 中,点 O 到直线 AB 的距

5

离为 d1 ,则

1 1 1 1 2 3 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? ,故 d12 ? .在 C3 中,点 O 到 AB 的距离为 d 2 ,则 2 2 d1 a1 b1 3 3

1 1 1 6 5 2 ? . d1 ? d2 ,故不存在. ? 2 ? 2 ? ,故 d 2 2 6 d 2 a2 b2 5
(2014 江西文数)20. (本小题满分 13 分)如图所示,已知抛物线 C : x
2

? 4 y ,过点 M (0, 2) 任作一直线与 C

相交于 A, B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D ( O 为坐标原点) . (1)求证:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l (不含 x 轴) ,与直线 y 中的定直线相交于点 N 2 ,求证:

? 2 相交于点 N1 ,与(1)

MN 2 ? MN1 为定值,并求此定值.
y

2

2

M B
O

A

x

D
解: (1)设 A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , AB : y ? kx ? 2 .联立方程组 ?

? y ? kx ? 2 ?x ? 4 y
2

,消 y 得 x ? 4kx ? 8 ? 0 ,
2

故?

? x y ? ? x1 ? x2 ? 4k y y , kOA ? 1 , OA : y ? 1 x , BD : x ? x2 ,所以 D ? x2 , 2 1 ? , x1 x1 x1 ? ? x1 x2 ? ?8 ?
x2 y1 x2 ? kx1 ? 2? 2x ?8 , ? ? kx2 ? 2 , x1 ? x2 x1 x1 x1
2



2 ? x ? x ? x ? x2 ? x1 x2 ? ?2 . x 2 4kx2 ? x2 x y 2x 所以 2 1 ? kx2 ? 2 ? kx2 ? 2 ? ? 1 2 2 ?8 4 4 4 4 x1 x2

因此动点 D 在定直线 y ? ?2 上. (2)设抛物线 x ? 4 y 上任意一点 ? x0 ,
2

? ?

2 2 ? x0 x0 x 处的切线方程为: y ? ? 0 ? x ? x0 ? , ? 4 ? 4 2

?y ? 2 2 2 2 2 ? 8 ? x0 ? x0 x0 x0 x0 x0 ? 2 化简得 y ? x? ? ? x ? ,? ,2? . x0 x0 ,得 N1 ? 2 2 4 2 4 y ? x? ? 2 x0 ? ? ? 2 4

6

2 2 ? y ? ?2 2 2 2 ? 8 ? x0 ? ? x0 ? x0 ?8? ?8 ? 2 2 ? 2 ,得 N , 2 ? . MN1 ? ? ? ? , MN 2 ? ? ? ? 16 , x x 2? y ? 0 x? 0 ? 2 x0 ? ? 2 x0 ? ? 2 x0 ? ? ? 2 4

故 MN 2 ? MN1

2

2

2 2 2 ? x0 ? 8 ? x0 ? ?8? 32 x0 ?? ? 16 ? 8 ? 8 为定值. ? ? 16 ? ? ? ? 16 ? 2 4 x0 ? 2 x0 ? ? 2 x0 ?

2

2

(2014 辽宁文数)20. (本小题满分 12 分)如图所示,圆 x2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一 个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P . (1)求点 P 的坐标; (2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ,且与 直线 l : y ? x+ 3 交于 A , B 两点,若 △ PAB 的面积为 2 ,求 C 的标准方程.

y

P
O

x

解: (1)设切点坐标为 ? x0 , y0 ?? x0 ? 0, y0 ? 0? ,则切线斜率为 ?

x x0 ,切线方程为 y ? y0 ? ? 0 ? x ? x0 ? ,即 y0 y0

1 4 4 8 x0 x ? y0 y ? 4 .此时,两个坐标轴的正半轴与切线围城的三角形面积为 S ? ? ? ? , 2 x0 y0 x0 y0
2 2 由 x0 即 S 有最小值, 因此点 P 的坐标为 ? y0 ? 4 …2x0 y0 知当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时 x0 y0 有最大值,

?

2, 2 .

?

(2)设 C 的坐标方程为

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? .由点 P 在 C 上知 2 ? 2 ? 1 , 2 a b a b

? 4 3 ? x2 y 2 x1 ? x2 ? ? 2 ? ? ? 1 ? ? 2 2 2 b , 并由 ? a 2 b 2 ,得 b x ? 4 3x ? 6 ? 2b ? 0 ,又 x1 , x2 是方程的根,因此 ? 2 ?y ? x ? 3 ? x x ? 6 ? 2b ? 1 2 ? b2 ?

48 ? 24b2 ? 8b4 由 y1 ? x1 ? 3 , y2 ? x2 ? 3 ,得 AB ? 2 x1 ? x2 ? 2 ? . b2
由点 P 到直线 l 的距离为

3 1 3 及 S△PAB ? ? AB ? 2 得 b4 ? 9b2 ? 18 ? 0 ,解得 b2 ? 6 或 3, 2 2 2
2 2

x2 y 2 ? ?1. 因此 b ? 6 , a ? 3 (舍)或 b ? 3 , a ? 6 ,从而所求 C 的方程为 6 3
2 2

7

(2014 山东文数)21. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心 a 2 b2

率为

3 4 10 ,直线 y ? x 被椭圆 C 截得的线段长为 . (1)求椭圆 C 的方程; 2 5

(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点( A, B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB ,直线

BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点.
(i)设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明存在常数 ? 使得 k1 ? ? k2 ,并求出 ? 的值; (ii)求 △OMN 面积的最大值. 解: (1)由题意知

a 2 ? b2 3 2 2 2 2 2 ,可得 a ? 4b ,椭圆 C 的方程可简化为 x ? 4 y ? a .将 y ? x 代入可得 ? a 2

x2 2 5a 4 10 5a ? y2 ? 1 . ,因此 2 ? ,可得 a ? 2 .因此 b ? 1 ,所以椭圆 C 的方程为 ? x?? 4 5 5 5
(2) (i)设 A? x1 , y1 ?? x1 y1 ? 0? , D ? x2 , y2 ? ,则 B ? ? x1 , ? y1 ? ,因为直线 AB 的斜率 k AB ?

y1 ,又 AB ? AD , x1

? y ? kx ? m x1 ? 所以直线 AD 的斜率 k ? ? .设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m ,由题意知 k ? 0 , m ? 0 .由 ? x 2 可 2 y1 ? y ? 1 ? ?4
2 2 2 得 1 ? 4k x ? 8mkx ? 4m ? 4 ? 0 .所以 x1 ? x2 ? ?

?

?

8mk 2m ,因此 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2m ? .由题 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

意知 x1 ? ? x2 ,所以 k1 ?

y1 ? y2 y y 1 ?? ? 1 .所以直线 BD 的方程为 y ? y1 ? 1 ? x ? x1 ? .令 y ? 0 ,得 x1 ? x2 4k 4 x1 4 x1
1 1 1 y1 .所以 k1 ? ? k 2 ,即 ? ? ? .因此存在常数 ? ? ? 使得结论成立. 2 2 2 2 x1

x ? 3x1 ,即 M ?3x1,0 ? .可得 k2 ? ?
(ii)直线 BD 的方程为 y ? y1 ?

3 y1 3 ? 0, ? y1 ? .由(i)知 M ? 3x1,0 ? , ? x ? x1 ? ,令 x ? 0 ,得 y ? ? y1 ,即 N ? ? 4 4 ? 4 x1 ?

x x12 1 3 9 2 △ OMN S = ? 3 x ? y ? x y x y ? ? y12 ? 1 ,当且仅当 1 ? y1 ? 可得 的面积 时等 1 1 1 1 .因为 1 1 2 4 8 4 2 2
号成立,此时 S 取得最大值

9 9 ,所以 △OMN 面积的最大值为 . 8 8

(2014 陕西文数)20. (本小题满分 13 分)已知椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 经过点 (0, 3 ) ,离心率为 ,左、 2 2 a b
1 x ? m 与椭圆交于 A,B 两点, 2

, 0? , F2 ? c, 右焦点分别为 F (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l : y ? ? 0? . 1 ? ?c

8

与以 F1F2 为直径的圆交于 C , D 两点,且满足

AB CD

?

5 3 , 求直线 l 的方程. 4
y A C D F1 O F2 B x

?b ? 3 ? x2 y 2 ?c 1 ? ?1. 解: (1)由题设知 ? ? ,解得 a ? 2 , b ? 3 , c ? 1 ,所以椭圆的方程为 4 3 a 2 ? ?b 2 ? a 2 ? c 2 ?
(2)由(1)知,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x ? y ? 1 ,所以圆心到直线 l 的距离 d ?
2 2

2m 5

,由 d ? 1 得

m?

4 2 5 . ?*? 所以 CD ? 2 1 ? d 2 ? 2 1 ? m2 ? 5 ? 4m2 .设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 2 5 5

1 ? y ?? x?m ? ? 2 2 2 ,由 ? 2 得 x ? mx ? m ? 3 ? 0 ,由根与系数关系可得 x1 ? x2 ? m , x1 ? x2 ? m2 ? 3 . 2 ?x ? y ?1 ? 3 ?4
所以 AB ?

? ? 1 ?2 ? 2 AB 5 3 15 4 ? m2 2 2 ? ? .由 得 1 ? ? m ? 4 m ? 3 ? 4 ? m ? 1, ? ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 2 5 ? 4 m CD 4 ? ? ? ? ? ?
3 1 3 1 3 ,满足 ?*? .所以直线 l 的方程为 y ? ? x ? 或 y ? ? x? . 3 2 3 2 3

解得 m ? ?

(2014 四川文数)20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 率为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点为 F ? ?2,0? ,离心 a 2 b2

6 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 O 为坐标原点, T 为直线 x ? ?3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭 3 圆于 P , Q .当四边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积.
解:(1)因为 F (?2, 0) ,所以 c ? 2 ,又 e ?

6 2 2 2 , 所以 a ? 6 , b ? a ? c ? 2 , 3

即椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 2

(2)如图所示,由题意可设直线 PQ 的方程为 x ? my ? 2 .当 m ? 0 时, x ? ?2 ,此时 T ? ?3,0? , P , Q 关 于点 F 对称,但 DF ? TF ,故四边形 OPTQ 不是平行四边形,与题意不符,故 m ? 0 .
9

直线 TF : y ? ?m ? x ? 2? , 令 x ? ?3 , 得y ?m, 即 T ? ?3, m? , 连接 OT , 设 OT

? 3 m? PQ ? E ,则 E ? ? , ? , ? 2 2?

? x ? my ? 2 2 ? 2 2 2 联立方程 ? x 2 y 2 ,消去 x 整理得 ? my ? 2 ? ? 3 y ? 6 ,即 ? m ? 3? y ? 4my ? 2 ? 0 , ? ?1 ? 2 ?6
2 2 显然 ? ? 16m ? 8 m ? 3 ? 0 ,令 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? .

?

?

则 y1 ? y2 ? 此时 PQ ?

4m ?2 y ? y2 2m m ? 2 ? ,解得 m2 ? 1 . , y1 y2 ? 2 ,则 y E ? 1 2 m ?3 m ?3 2 m ?3 2

? x1 ? x2 ?

2

? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? m2
2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ? 2 1 ? 2 ? 6 , TF ? 1 ? 1 ? 2 .

所以四边形 OPTQ 的面积 S ? 2 ?

1 ? PQ ? TF ? 6 ? 2 ? 2 3 . 2

(2014 天津文数)18. (本小题满分 13 分)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,右顶点 a 2 b2

为 A ,上顶点为 B .已知 AB ?

3 (1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线 F1 F2 . 2

段 PB 为直径的圆经过点 F 1 ,经过点 F2 的直线 l 与该圆相切于点 M , MF2 ? 2 2 .求椭圆的方程. 解: (1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为 ? c, 0 ? .由 AB ?

3 F1 F2 ,可得 a 2 ? b2 ? 3c 2 ,又 b2 ? a 2 ? c2 , 2



c2 1 2 ? .所以,椭圆的离心率 e ? . 2 a 2 2
2 2 2 2

(2)由(1)知 a ? 2c , b ? c .故椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 .设 P ? x0 , y0 ? . 2c 2 c 2

由F , B ? 0, c ? ,有 F1 P ? ? x0 ? c, y0 ? , F1 B ? ? c, c ? . 1 ? ?c,0? 由已知,有 F1 P ? F1 B ? 0 ,即 ? x0 ? c ? c ? y0c ? 0 .又 c ? 0 ,故有 x0 ? y0 ? c ? 0 .① 因为点 P 在椭圆上,故
2 2 x0 y0 ? ? 1② 2c 2 c 2

uuu r

uuu r

uuu r uuu r

2 由① 和② 可得 3x0 ? 4cx0 ? 0 .而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0 ? ?

4 c c ,代入① 得 y0 ? ,即点 P 的坐标为 3 3

? 4 c? ? ? c, ? .该圆的圆心为 T ? x1 , y1 ? ,则 x1 ? ? 3 3? r?

4 c ? c?0 ?c 2 2 3 ? ? c , y1 ? 3 ? c ,进而圆的半径 2 3 2 3

? x1 ? 0 ? ? ? y1 ? c ?
2

2

?

2 2 5 c .由已知,有 TF2 ? MF2 ? r 2 ,又 MF2 ? 2 2 , 3

10

x2 y 2 2 ? ? 2 ? 5 ? 2 ? ?1. 故有 ? c ? c ? ? ? 0 ? c ? ? 8 ? c 2 ,解得 c ? 3 .所以,所求椭圆的方程为 6 3 3 ? ? 3 ? 9 ?
(2014 新课标 1 文数)20. (本小题满分 12 分)已知点 P(2,2) ,圆 C : x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与 圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积.
2 解: (1)圆 C 的方程可化为 x ? ? y ? 4 ? ? 16 ,所以圆心为 C ? 0,4? ,半径为 4 .设 M ? x, y ? , 2

2

2

CM ? ? x, y ? 4 ? , MP ? ? 2 ? x, 2 ? y ? .由题设知 CM ? MP ? 0 ,故 x ? 2 ? x ? ? ? y ? 4?? 2 ? y ? ? 0 ,
即 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2 由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2 .
2 2 2 2

(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N ?1,3? 为圆心, 2 为半径的圆.由于 OP ? OM ,故 O 在线段 PM 的垂 直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ON ? PM .因为 ON 的斜率为 3 ,所以 l 得斜率为 ?

1 ,故 l 的方程为 3

1 8 16 4 10 4 10 y ? ? x ? .又 OM ? OP ? 2 2 , O 到 l 的距离为 , PM ? ,所以 △POM 的面积为 . 3 3 5 5 5
(2014 新课标 2 文数)20. (本小题满分 12 分)设 F1 , F2 分别是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的左、右焦点, a 2 b2

M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N .
(1) 若直线 MN 的斜率为 解: (1)根据 c ?
2 2 2

3 , 求 C 的离心率; (2) 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 , 且M N ?5 FN 1 4

, 求 a, b .

? b2 ? a2 ? b2 及题设知 M ? c, ? , 2b2 ? 3ac . ? a?
2

将 b ? a ? c 代入 2b ? 3ac ,解得

c 1 c 1 ? 或 ? ?2 (舍去) .故 C 的离心率为 . 2 a 2 a

(2)由题意,知原点 O 为 F1F2 的中点, MF2 //y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D ? 0, 2? 是线段 MF1 的中点,



b2 ? 4 ,即 b2 ? 4a ,① a

由 MN ? 5 F 得 DF .设 N ? x1 , y1 ? ,由题意知 y1 ? 0 , 1N 1 ?2 F 1N

3 ? ?2 ? ?c ? x1 ? ? c 9c 2 1 ? x1 ? ? c ? 则? ,即 ? 2 ,代入 C 的方程为,得 2 ? 2 ? 1 .② 4a b ? ??2 y1 ? 2 ? ? y1 ? ?1
将①及 c ?

a ? b 代入②得
2 2

9 ? a 2 ? 4a ? 4a
2

?

1 ? 1.解得 a ? 7 , b2 ? 4a ? 28 .故 a ? 7 , b ? 2 7 . 4a

(2014 浙江文数)22.已知 △ ABP 的三个顶点都在抛物线 C : x 2 ? 4 y 上, F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的
11

中点, PF ? 3FM ; (1)若 PF ? 3 ,求点 M 的坐标; (2)求 △ ABP 面积的最大值.
y

B M O

F A P x

解: (1) 由题意知焦点 F ? 0,1? , 准线方程为 y ? ?1 .设 P ? x0 , y0 ? ,由抛物线定义知 PF ? y0 ? 1 ,得到 y0 ? 2 , 所以 P 2 2, 2 或 P ?2 2, 2 .由 PF ? 3FM ,分别得 M ? ?

?

?

?

?

? 2 2 2? ?2 2 2? 或M ? , ? ? ? 3 ,3? ?. 3 3? ? ? ? ?

(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,点 A ? x1 , y1 ? ,点 B ? x2 , y2 ? , P ? x0 , y0 ? .由 ?

? y ? kx ? m,
2 ?x ? 4 y



x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 ,于是 ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4m ,所以 AB 的中点 M 的坐标为

? 2k , 2k

2

? ? x0 ? ?6k , 2 ? m ? .由 PF ? 3FM 得 ? ? x0 ,1 ? y0 ? ? 3 ? 2k , 2k 2 ? m ? 1? ,所以 ? 由 x0 ? 4 y0 2 y ? 4 ? 6 k ? 3 m , ? ? 0
1 5 4 1 4 2 2 2 .由 ? ? 0 , k …0 ,得 ? ? m ? .又因为 AB ? 4 1 ? k ? k ? m ,点 F ? 0,1? 到直 15 3 3

2 得k ? ? m?

线 AB 的距离为 d ?

m ?1 1? k
2

,所以 S△ ABP ? 4S△ ABF ? 8 m ? 1 k 2 ? m ?

16 3m3 ? 5m2 ? m ? 1 . 15

记 f ? m ? ? 3m3 ? 5m2 ? m ? 1? ?

1 4? ? 1 ? m ? ? .令 f ? ? m? ? 9m2 ?10m ? 1 ? 0 ,解得 m1 ? , m2 ? 1 . 9 3? ? 3

可得 f ? m? 在 ? ? , ? 上是增函数,在 ? ,1? 上是减函数,在 ?1, ? 上是增函数.

? 1 1? ? 3 9?

?1 ? ?9 ?

? 4? ? 3?

又 f ? ??

?1? ?9?

256 ? 243

256 1 55 ?4? ,此时 k ? ? . f ? ? ,所以当 m ? 时, f ? m? 取到最大值 243 9 15 ? 3?

所以 △ ABP 面积的最大值为

256 5 . 135

21. (2014 重庆文数) (本小题满分 12 分) 如图所示, 设椭圆

x2 y 2 右焦点分别为 F1,F2 , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

点 D 在椭圆上, DF1 ? F1 F2 ,

| F1 F2 | ? 2 2 , △DF1 F2 的面积为 2 . (1)求该椭圆的标准方程; | DF1 | 2

(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互 垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.

12

y

F1 D
解:(1)设 F , F2 ? c,0? ,其中 c ? a ? b .由 1 ? ?c,0?
2 2 2

O F2 x

F1 F2 DF1

? 2 2 得 DF1 ?

F1F2 2 2

?

2 c .从而 2

S△DF F ?
1 2

9 1 2 2 2 2 2 2 2 ,故 c ? 1 .从而 DF1 ? ,由 DF1 ?FF , DF1 F1F2 ? c ? 1 ? F 1 F2 ? 1 2 得 DF2 ? DF 2 2 2 2 2

DF2 ?

x2 3 2 ? y2 ? 1 . b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 . . 故a ? 2, 所求椭圆的标准方程为 ? 2a ? DF1 ? DF2 ? 2 2 , 2 2 x2 ? y 2 ? 1 相交, P ,P 1 ? ? x1 , y1 , ? 2 ? ? x2 , y2 , ? 2
y

(2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

C 的切线,且 F1P 是两个交点, y1 ? 0 , y2 ? 0 , F1 P 1 , F2 P 2 是圆 1 ?F 2P 2 .
由圆和椭圆的对称性,易知 x2 ? ? x1 , y1 ? y2 .由(1)知 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0? ,
C

? x ? 1? ? y12 ? 0 . 所以 F1P , F2 P .再由 F 1P 1 ?F 2P 2 得 ? 1 1 ? ? x1 ? 1, y1 ? 2 ? ? ? x1 ? 1, y1 ?
2

P1 F2 D

O F1

P2 x

x12 4 2 1 ? ? ? x1 ? 1? ,即 3x12 ? 4x1 ? 0 ,解得 x1 ? ? 或 x1 ? 0 . 由椭圆方程得 3 2
当 x1 ? 0 时, P1 , P 2 重合,此时题设要求的圆不存在. 当 x1 ? ?

4 C. 时,过 P1 , P 2 分别与 F 1P 1 , F2 P 2 垂直的直线的交点即为圆心 3 1 5 y1 ? y0 y1 ? ? ?1 .而 y1 ? x1 ? 1 ? ,故 y0 ? .故圆 C 的半径 3 3 x1 x1 ? 1
2

设 C ? 0, y0 ? ,由 CP 1 ?F 1P 1 ,得

2 4 2 5 ? 32 ? .综上,存在满足题设条件的圆,其方程为 x 2 ? ? y ? ? ? . CP PP 2 x1 ? 1 ? 1 2 ? 2 3 3? 9 ?

13



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