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2-8函数零点


课时作业(十一) 1.函数 f(x)=-x2+5x-6 的零点是( A.-2,3 B.2,3 ) C.2,-3 D.-2,-3. ) C.仅有一个零点 D.无零点 )

2.函数 f(x)=x3-x2-x+1 在[0,2]上( A.有两个零点 B.有三个零点

3.下列函数图像与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求函数零点的是(
<

br />4.设 f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是( A.[0,1] B.[1,2] ) C.[-2,-1]

) D.[-1,0]

5.方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)内( A.没有根 B.有且仅有一个根 6.函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内

C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根 ( )

A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 1 7.函数 f(x)=lnx- 的零点的个数是( x-1 )

A.0

B.1

C.2

D.3

? ?a,a-b≤1, 8.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 f(x)=(x2-2)?(x-x2),x ?b,a-b>1. ?

∈R.若函数 y=f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( 3 A.(-∞,-2]∪(-1, ) 2 1 1 C.(-1, )∪( ,+∞) 4 4 3 B.(-∞,-2]∪(-1,- ) 4 3 1 D.(-1,- )∪[ ,+∞) 4 4

)

9.已知函数 f(x)=x2+(a2-1)x+a-2 的一个零点比 1 大,另一个零点比 1 小,则( A.-1<a<1 B.a>1 或 a<-2 C.-2<a<1 D.a>2 或 a<-1

)

10.已知 x0 是函数 f(x)=2x+ A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0

1 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( 1-x B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

)

1

11.如图是二次函数 f(x)=x2-bx+a 的部分图像,则函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区 间是( )

1 1 A.( , ) 4 2

1 B.( ,1) 2

C.(1,2)

D.(2,3)

12.已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x2-3x+2)· g(x)+3x-4,其中函数 y=g(x)的图像是一条 连续曲线,则方程 f(x)=0 在下面哪个范围内必有实数根( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) ) D.(3,4) )

13.函数 f(x)=mx2-2x+1 有且仅有一个正实数的零点,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,1] B.(-∞,0]∪{1} C.(-∞,0)∪(0,1] D.(-∞,1) )

14.若 a>1 时,方程 ax=x 有且仅有一个根,则该根( A.一定比 e 大 B.一定比 e 小

C.一定等于 e D.一定不等于 e

15.若 f(x)的图像关于 y 轴对称,且 f(x)=0 有三个零点,则这三个零点之和等于________. 16.函数 f(x)=3x-7+lnx 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 17.已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n, n+1),n∈N*,则 n=________. 1 1 18.对于函数①f(x)=4x+ -5,②f(x)=|log2x|-( )x,③f(x)=cos(x+2)-cosx,判断如下两 x 2 个命题的真假:命题甲:f(x)在区间(1,2)上是增函数; 命题乙:f(x)在区间(0,+∞)上恰有两个零点 x1,x2,且 x1x2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是________. 19.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出零点.

20.已知函数 f(x)=x2+ax+3-a,当 x∈[-2,2]时,函数至少有一个零点,求 a 的范围.

2

21.(1)m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. ①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围.

23.已知函数 f(x)=x3,g(x)=x+ x.

求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由.

3

1.函数 f(x)=-x2+5x-6 的零点是(

)A.-2,3 B.2,3

C.2,-3 D.-2,-3

答案 B 解析 由 f(x)=-x2+5x-6=0,得 x=2,3.即函数 f(x)的零点. 2.函数 f(x)=x3-x2-x+1 在[0,2]上( A.有两个零点 B.有三个零点 ) C.仅有一个零点 D.无零点

答案 C 解析 由于 f(x)=x3-x=(x2-1)(x-1) 令 f(x)=0 得 x=-1,1,因此 f(x)在[0,2]上仅有一个零点. 3.下列函数图像与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求函数零点的是( )

答案 B 解析 用二分法只能求变号零点的近似值,而 B 中的零点左右值同号. 4.设 f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是( A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] ) D.[-1,0]

答案 D 解析 函数 f(x)在区间[a,b]上有零点,需要 f(x)在此区间上的图像连续且两端 点函数值异号,即 f(a)f(b)≤0,把选择项中的各端点值代入验证可得答案 D. 5.方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)内( A.没有根 B.有且仅有一个根 答案 C 解析 ) C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根

求解方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)内根的个数问题,可转化为求解函数 f(x) =|x|和 g(x)=cosx 在(-∞, +∞)内的交点个数问题. f(x)=|x|和 g(x)=cosx 的图像如图所示. 显 然有两交点,即原方程有且仅有两个根. 6.函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内 ( )

A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 1 答案 B 解析 原函数 f(x)= x-cosx 可理解为幂函数 x 与余弦函数的差, 其中幂函数在区 2 间[0,+∞)上单调递增、余弦函数的最大值为 1,在同一坐标系内构建两个函数的图像,注 意到余弦从左到右的第 2 个最高点是 x=2π,且 2π>1=cos2π,不难发现交点仅有一个.正 确选项为 B.

1 7.函数 f(x)=lnx- 的零点的个数是( x-1 A.0 B.1 C.2

) D.3

1 答案 C 解析 如图可知,y= 与 y=lnx 的图像有两个交点. x-1
4

? ?a,a-b≤1, 8.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 f(x)=(x2-2)?(x-x2),x ?b,a-b>1. ?

∈R.若函数 y=f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( 3 A.(-∞,-2]∪(-1, ) 2 1 1 C.(-1, )∪( ,+∞) 4 4 3 B.(-∞,-2]∪(-1,- ) 4 3 1 D.(-1,- )∪[ ,+∞) 4 4

)

答案 B 解析

2 2 2 ? ?x -2,x -2-x+x ≤1 ? 由题意可知 f(x)= = 2 2 2 ?x-x ,x -2-x+x >1 ?

?x -2,-1≤x≤2 ? 3 ?x-x ,x<-1或x>2
2 2

3

, 作出

3 图像,由图像可知 y=f(x)与 y=c 有两个交点时,c≤-2 或-1<c<- ,即函数 y=f(x)-c 4 3 的图像与 x 轴恰有两个公共点时实数 c 的取值范围是(-∞,-2]∪(-1,- ). 4 9.已知函数 f(x)=x2+(a2-1)x+a-2 的一个零点比 1 大,另一个零点比 1 小,则( A.-1<a<1 B.a>1 或 a<-2 C.-2<a<1 D.a>2 或 a<-1 )

答案 C 解析 由条件知 f(1)<0,即 a2+a-2<0,∴-2<a<1. 10.已知 x0 是函数 f(x)=2x+ A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 答案 B 解析 由于函数 g(x)= 1 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( 1-x B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 1 1 =- 在(1,+∞)上单调递增,函数 h(x)=2x 在 1-x x-1 )

(1,+∞)上单调递增,故函数 f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)在(1, +∞)上只有唯一的零点 x0,且在(1,x0)上 f(x1)<0,在(x0,+∞)上 f(x2)>0,故选 B. 11.如图是二次函数 f(x)=x2-bx+a 的部分图像,则函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区 间是( )

1 1 A.( , ) 4 2

1 B.( ,1) 2

C.(1,2)

D.(2,3)

b 答案 B 解析 因为 f(1)=0, 即 b=a+1, 又 f(0)=a>0, 所以 b>1, 又对称轴为 ∈(0,1), 2 1 所以 0<b<2,即 1<b<2,又 f′(x)=2x-b,所以 g(x)=lnx+2x-b,又 g(1)=2-b>0,g( ) 2 1 1 =ln +1-b<0,所以函数 g(x)的零点在区间( ,1)上,故选 B. 2 2
5

12.已知定义在 R 上的函数 f(x)=(x2-3x+2)· g(x)+3x-4,其中函数 y=g(x)的图像是一条 连续曲线,则方程 f(x)=0 在下面哪个范围内必有实数根( A.(0,1) 答案 B.(1,2) C.(2,3) ) D.(3,4)

B 解析 f(x)=(x2-3x+2)· g(x)+3x-4=(x-1)(x-2)· g(x)+3x-4,故 f(1)=-

1<0,f(2)=2>0.故选 B. 13.函数 f(x)=mx2-2x+1 有且仅有一个正实数的零点,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,1] B.(-∞,0]∪{1} C.(-∞,0)∪(0,1] D.(-∞,1) )

答案 B 思路 函数中的二次项系数是个参数,先要对其分类讨论,再结合一次函数、 二次函数的图像列不等式解决. 1 解析 当 m=0 时,x= 为函数的零点;当 m≠0 时,若 Δ=0,即 m=1 时,x=1 是函 2 数唯一的零点,若 Δ≠0,显然函数 x=0 不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实数零 点等价于方程 mx2-2x+1=0 有一个正根和一个负根,即 mf(0)<0,即 m<0.故选 B. 14.若 a>1 时,方程 ax=x 有且仅有一个根,则该根( A.一定比 e 大 B.一定比 e 小 )

C.一定等于 e D.一定不等于 e

答案 C 解析 a>1 时方程 ax=x 有且仅有一个根,即 y=ax(a>1)与 y=x 的图像有且仅 有一个公共点,即直线 y=x 与曲线 y=ax(a>1)相切.由导数的几何意义,设切点为(x0,ax0), 则切线方程为 y-a
x x 0=a x 0lna(x - x0) , y - a x x 0 = a 0lna(x - x0) 与

y=x 重合,得

?a 0lna=1, e 则 x0=e,且 a=e ,故选 C. ? x x ?0-a 0=a 0lna?0-x0?,
15.若 f(x)的图像关于 y 轴对称,且 f(x)=0 有三个零点,则这三个零点之和等于________. 答案 0 解析 由于方程 f(x)=0 有三个根,且 f(x)为偶函数,则一根为零,而另二根为互为 相反数. 16.函数 f(x)=3x-7+lnx 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 答案 2 解析 求函数 f(x)=3x-7+lnx 的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数 值, 如 f(2)=-1+ln2, 由于 ln2<ln e=1, 所以 f(2)<0, f(3)=2+ln3, 由于 ln3>1, 所以 f(3)>0, 所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2. 17.已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n, n+1),n∈N*,则 n=________. 答案 2 解析 令 y1=logax,y2=b-x,函数 f(x)的零点就是这两个函数图像交点的横

1

坐标,由于直线 y=b-x 在 x 轴上的截距 b 满足 3<b<4,函数 f(x)只有一个零点,且 n 只能 是 1 或者 2.f(1)=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<1+2-3=0,f(3)=loga3+3-b>1+3-4=0. 根据函数零点定理可得函数 f(x)的零点在区间(2,3)内,故 n=2.
6

1 1 18.对于函数①f(x)=4x+ -5,②f(x)=|log2x|-( )x,③f(x)=cos(x+2)-cosx,判断如下两 x 2 个命题的真假:命题甲:f(x)在区间(1,2)上是增函数; 命题乙:f(x)在区间(0,+∞)上恰有两个零点 x1,x2,且 x1x2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是________. 1 1 ?2x-1??2x+1? 答案 ①② 解析 ①f(x)=4x+ -5,f′(x)=4- 2= , x x x 1 1 由 f′(x)>0,得 x> 或 x<- ,当 x∈(1,2)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;设 n 为函数 f(x)在区 2 2 1 间(0,+∞)上的零点,则 4n+ -5=0,即 4n2-5n+1=0(*),∵Δ=52-4×4>0,∴方程(*) n 1 1 有两个不等实根 x1、x2,且 x1x2= <1,∴f(x)=4x+ -5 使得命题甲、乙均为真命题; 4 x 1 1 ②f(x)=|log2x|-( )x,当 x∈(1,2)时,0<log2x<1,f(x)=log2x-( )x 为增函数; 2 2

1 1 设 y1=|log2x|,y2=( )x,在同一直角坐标系中作出 y1=|log2x|、y2=( )x 的图像,如图, 2 2 1 y1=|log2x|、y2=( )x 的图像有两个交点,所以 f(x)在区间(0,+∞)上有两个零点, 2 1 1 设 0<x1<1<x2 ,则 f(x1) = f(x2) = 0 ,即- log2x1 - ( )x1 = log2x2 - ( )x2 , log2x2 + log2x1 = 2 2 1 1 1 log2(x1x2)=( )x2-( )x1<0=log21, 所以 x1x2<1, f(x)=|log2x|-( )x 使得命题甲、 乙均为真命题; 2 2 2 ③f(x)=cos(x+2)-cosx 为周期函数,周期为 2π,函数 f(x)在(0,+∞)上有无穷多个零 点,命题乙为假命题. 19.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出零点. 答案 m=-2,零点是 x=0 解析 解法一 令 2x=t,则 t>0,则 g(t)=t2+mt+1=0 Δ=m -4=0 ? ? 仅有一正根,而 g(0)=1>0,故? m ∴m=-2. ? ?- 2 >0. 解法二 令 2x=t,则 t>0.原函数零点,即方程 t2+mt+1=0 的根. t2+1 1 ∴t2+1=-mt,∴-m= =t+ (t>0),有一个零点,即方程只有一根. t t 1 1 ∵t+ ≥2(当且仅当 t= 即 t=1 时),∴-m=2 即 m=-2 时,只有一根. t t 注:解法一侧重二次函数,解法二侧重于分离参数.
7
2

20.已知函数 f(x)=x2+ax+3-a,当 x∈[-2,2]时,函数至少有一个零点,求 a 的范围. 答案 a≤-7 或 a≥2 解析 7 (1)有一个零点,则 f(-2)f(2)<0 或 f(-2)=0 或 f(2)=0,∴a≤-7 或 a> . 3

(2)有两个零点

? 2?≥0 ?ff??- 2?>0 ?Δ≥0

a -2≤- ≤2 2 7 ,∴2≤a≤ . 3 综合以上:a≤-7 或 a≥2.

21.(1)m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. ①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)①f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点?方程 f(x)=0 有两个相等实根?

Δ=0,即 4m2-4(3m+4)=0,即 m2-3m-4=0,∴m=4 或 m=-1. ②方法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2,则 x1+x2=-2m,x1· x2=3m+4. Δ=4m -4?3m+4?>0 ? ? 由题意,知??x1+1??x2+1?>0 ? ??x1+1?+?x2+1?>0
2

m -3m-4>0 ? ? ??3m+4-2m+1>0 ? ?-2m+2>0

2

m>4或m<-1 ? ? ??m>-5, ? ?m<1,

∴-5<m<-1.故 m 的取值范围为(-5,-1). Δ>0, ? ? 方法二 由题意,知?-m>-1, ? ?f?-1?>0, m -3m-4>0, ? ? 即?m<1, ? ?1-2m+3m+4>0.
2

∴-5<m<-1.∴m 的取值范围为(-5,-1).

(2)令 f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出 g(x)、h(x)的图像.由图像可知,当 0<-a<4, 即-4<a<0 时, g(x)与 h(x)的图像有 4 个交点, 即 f(x)有 4 个零点. 故 a 的取值范围为(-4,0). 22.已知 f(x)=ex k-x,其中 x∈R,当 k>1 时,判断函数 f(x)在[k,2k]内有无零点.


解 f(k)· f(2k)=(ek k-k)· (e2k k-2k)=(1-k)· (ek-2k).∵k>1,∴1-k<0.
- -

令 g(k)=ek-2k,g(1)=e1-2>0,又 g′(k)=ek-2, 当 k>1 时,g′(k)>e-2>0,∴k∈(1,+∞),g(k)为增函数. ∴g(k)>g(1)>0.∴k>1 时,ek-2k>0.∴f(k)· f(2k)<0.∴即函数 f(x)当 k>1 时在[k,2k]内存在零点.
8

23.已知函数 f(x)=x3,g(x)=x+ x.

求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由.

解析 由 h(x)=x3-x- x知, x∈[0, +∞), 而 h(0)=0, 且 h(1)=-1<0, h(2)=6- 2>0, 则 x=0 为 h(x)的一个零点,且 h(x)在(1,2)内有零点.因此,h(x)至少有两个零点. 1 1 3 - - - 2 2 2 1 1 1 解法一 h′(x)=3x2-1- x , 记 φ(x)=3x2-1- x , 则 φ′(x)=6x+ x . 2 2 4 当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,因此 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则 φ(x)在(0,+∞) 内至多只有一个零点.又因为 φ(1)>0,φ( 3 3 )<0,则 φ(x)在( ,1)内有零点.所以 φ(x)在(0, 3 3

+∞)内有且只有一个零点.记此零点为 x1,则当 x∈(0,x1)时 φ(x)<φ(x1)=0;当 x∈(x1,+ ∞)时,φ(x)>φ(x1)=0.所以,当 x∈(0,x1)时,h(x)单调递减.而 h(0)=0,则 h(x)在(0,x1] 内无零点;当 x∈(x1,+∞)时,h(x)单调递增,则 h(x)在(x1,+∞)内至多只有一个零点. 从而 h(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点.综上所述,h(x)有且只有两个零点. 1 1 3 - - - 2 2 2 1 解法二 由 h(x)=x(x2-1-x ),记 φ(x)=x2-1-x ,则 φ′(x)=2x+ x . 2 当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,从而 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则 φ(x)在(0,+∞)内至多 只有一个零点.因此 h(x)在(0,+∞)内也至多只有一个零点. 综上所述,h(x)有且只有两个零点.

9


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