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贵州省贞丰三中2012-2013学年高二下学期3月月考卷数学(理科)


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贵州省贞丰三中 2012-2013 学年高二下学期 3 月月考卷数学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 要求的) 1.函数 为( 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

f ( x) 满足 f (0) ? 0 ,其导函数 f '( x) 的图象如下图,则 f ( x) 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积
)

A.

1 3

B.

4 3

C.2

D.

8 3

【答案】B 2.若函数 y ? f ( x ) 是奇函数,则 A. 0 【答案】A 3.函数 y ? cos 2 x在点( A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 C. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 【答案】D 4.下列计算错误的是( A. ? sin xdx ? 0

π

?

1

?1

f ( x)dx =(

) C. 2

B.2

?

0

?1

f ( x)dx

?
)

1

0

f ( x)dx

D.2

?
4

,0) 处的切线方程是(

B. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0

) B. ?
π
1 0

π

xdx ?

2 3

C. ? 2π cos xdx ? 2? 2 cos xdx
? 2 0

D. ? sin 2 xdx ? 0


π

【答案】D 5.函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?(x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( )

A. 4 个 C. 2 个 【答案】D

B. 3 个 D. 1 个

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6. 一物体在力 F ( x)

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?0,0 ? x ? 2 N)的作用下沿与力 F 相同的方向, x=0 处运动到 x=4(单位: 从 ?? , (单位: ?3 x ? 4, x ? 2
) C.48 D.50

m)处,则力 F(x)作的功为( A.44 B.46 【答案】B 7.设 f ( x) 在点 x ? A. 0 【答案】C 8.若

x0 处可导,且 f '( x) ? ?2 ,则 lim
B. 2 C. - 2

?x ? 0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ?( ?x
D.不存在

)

f ? x ? , g ? x ? 满足 f ?( x) ? g ?( x) ,则 f ? x ? 与 g ? x ? 满足( f ? x? ? g ? x? f ? x ? ? g ? x ? =0
B. D.

)

A. C. 【答案】B

f ? x ? ? g ? x ? 为常数 f ? x ? ? g ? x ? 为常数
b

9.已知 b>a,下列值: A.| B. C. D.

?
b a

b

a

f ( x)dx , ? | f ( x) | dx ,| ? f ( x)dx |的大小关系为
a a b a

b

?
b a b

b

a

f ( x)dx |≥ ? | f ( x) | dx ≥ ? f ( x)dx
b b a a

? ? ?

| f ( x) | dx ≥| ? f ( x)dx |≥ ? f ( x)dx | f ( x) | dx = | ? f ( x)dx |= ? f ( x)dx
a a b b

a b

a

| f ( x) | dx = | ? f ( x)dx |≥ ? f ( x)dx
a a

b

b

【答案】B 10.若 f ' ( x 0 ) ? 2 ,则 A.-2 【答案】C 11.如下图,阴影部分面积为 ( )

lim
lk ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 的值为( 2k
C.-1

) D. 1

B. 2

A. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a

b

B. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a c

c

b

C. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a c

c

b

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D. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a b

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【答案】B 12.函数 y= A. cosx 的导数是( 1-x ) cosx-sinx+xsinx B. ?1-x?2 cosx+sinx-xsinx D. ?1-x?2 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

cosx+sinx+xsinx ?1-x?2 cosx-sinx+xsinx C. 1-x 【答案】B

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.右图为矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撤 300 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我 们可以估计出阴影部分的面积为 【答案】 4.6 14.函数 【答案】 .

f ? x ? ? ? x ? 3?e x 的单调递增区间是

?2,?? ?
x dx = 2
1 2
.

15.

?

?
2 0

sin 2

【答案】

?
4

?

16.一物体沿直线以 v(t ) ? 2t ? 3(t 的单位:秒,v 的单位:米/秒)的速度做变速直线运动,则该物体从时刻 t=0 到 5 秒运动的路程 s 为 【答案】 米。

29 2

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知函数

f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? b, g ( x) ? a ln x .
3 ? 1 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ?

(Ⅰ)若 f (x) 在 x ? ?? (Ⅱ)若对任意 x ?

?1, e? ,都有 g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
? f ? x ?, x ? 1 ?? , 对任意给定的正实数 a , 曲线 y ? F (x) 上是否存在两点 P, Q , ? g ? x ?, x ? 1

(Ⅲ) (Ⅰ) 在 的条件下, F ( x) 设

使得 ?POQ 是以( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)由 f ? x ? ? ? x3 ? x 2 ? b ,得 f ? ? x ? ? ?3x 2 ? 2 x ? ? x ? 3x ? 2 ? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 或
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2 . 3
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列表如下:

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1 3 2 4 由 f (? ) ? ? b , f ( ) ? ?b, 2 8 3 27 1 2 1 3 3 ∴ f (? ) ? f ( ) ,即最大值为 f (? ) ? ? b ? ,∴ b ? 0 . 2 3 2 8 8
(Ⅱ)由 g ? x ? ? ? x 2 ? ? a ? 2 ? x ,得 ? x ? ln x ? a ? x 2 ? 2 x .

? x ? ?1, e? ,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,∴ ln x ? x,即x ? ln x ? 0 ,
∴a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x 恒成立,即 a ? ( ) min . x ? ln x x ? ln x

令 t ? x? ?

? x ? 1?? x ? 2 ? ln x ? x2 ? 2 x , , x ??1, e ?? ,求导得, t ? ? x ? ? 2 x ? ln x ? x ? ln x ?

当 x ? ?1, e ? 时, x ? 1 ? 0,ln x ? 1, x ? 2 ? ln x ? 0 ,从而 t ? ? x ? ? 0 , ∴ t ? x ? 在 ?1,e ? 上为增函数,∴ tmin ? x ? ? t ?1? ? ?1 ,∴ a ? ?1 .

?? x3 ? x 2 , x ? 1 (Ⅲ)由条件, F ? x ? ? ? , ?a ln x, x ? 1
假设曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧, 不妨设 P ? t , F ? t ? ? ? t ? 0 ? ,则 Q ?t , t 3 ? t 2 ,且 t ? 1 .

?

?

? ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形, ??? ???? ? ∴ OP ? OQ ? 0 ,∴ ?t 2 ? f ? t ? ? t 3 ? t 2 ? ? 0 ? ?*? ,是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 时是否有解.
①若 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t 2 ? ?t 3 ? t 2 此方程无解; ②若 t ? 1 时, ?*? 方程为 ?t 2 ? a ln t ? t 3 ? t 2 ? 0 ,即

?

?? t

3

? t 2 ? ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,

?

?

1 ? ? t ? 1? ln t , a

1 设 h ? t ? ? ? t ? 1? ln t ? t ? 1? ,则 h? ? t ? ? ln t ? ? 1 , t
显然,当 t ? 1 时, h? ? t ? ? 0 ,即 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, ∴ h ? t ? 的值域为 ? h ?1? , ?? ? ,即 ? 0, ?? ? ,∴当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解.
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∴对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上总存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶 点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上. 18.设函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2 x ? k ln x, 其中k ? 0 。 2

(1)当 k>0 时,判断

f ( x)在(0, ??) 上的单调性;

(2)讨论 f ( x) 的极值点。

k x 2 ? 2 x ? k ( x ? 1) 2 ? k ? 1 ? ? x x x k ' (Ⅰ)当 k ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 ? ? 0 在 (0 , ?) 恒成立, ? x 所以 f ( x) 在 (0 , ?) 上单调递增. ? (Ⅱ)函数的定义域是 (0 , ?) . ?
【答案】

f ' ( x) ? x ? 2 ?

( x ? 1) 2 ? k ? 1 ? 0 ,得 ( x ? 1) 2 ? 1 ? k ? (0 ? 1) 2 ? 1 ,所以 x ' 当 k ? 0 时, f ( x) ? 0 在 (0 , ?) 没有根, f ( x) 没有极值点; ?


f ' ( x) ?

当k

? 0 时, f ' ( x) ? 0 在 (0 , ?) 有唯一根 x0 ? 1 ? k ? 1 , ?
f ' ( x) ? 0 ,在 ( x0 , ??) 上 f ' ( x) ? 0 ,

因为在 (0, x0 ) 上

所以 x0 是 f ( x) 唯一的极小值点. 19.定义 F ( x, y ) ? (1 ? x) , x, y ? (0,??)
y

(1)令函数 f ( x) ? F (1, log 2 ( x ? 4 x ? 9)) 的图象为曲线 c1,曲线 c1 与 y 轴交于点 A(0,m) ,过坐标原点 O
2

作曲线 c1 的切线,切点为 B(n,t) (n>0)设曲线 c1 在点 A、B 之间的曲线段与 OA、OB 所围成图形的面积为 S, 求 S 的值; (2)当 x, y ? N 且x ? y时, 证明F ( x, y ) ? F ( y, x).
*

【答案】 (1)? F ( x, y ) ? (1 ? x)

y

? f ( x) ? F (1, log 2 ( x 2 ? 4 x ? 9)) ? 2 log 2 ( x

2

? 4 x ?9)

? x 2 ? 4 x ? 9 故 A(0,9)

f ' ( x) ? 2 x ? 4 ,过 O 作 C1 的发线,切点为 B(n, t )(n ? 0) ,

?t ? n 2 ? 4n ? 9 ? 解得 B(3,6) ?? t ? ? 2n ? 4 ?n
3 1 ? S ? ? ( x 2 ? 4 x ? 9 ? 2 x)dx ? ( x 3 ? 3 x 2 ? 9 x) |3 ? 9 0 0 3

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x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) 1? x (2)令 h( x) ? ( x ? 1) h' ( x) ? x x2 x 令 P( x) ? ? ln(1 ? x)( x ? 0) 1? x
? P' ( x) ? 1 1 ?x ? ? ?0 2 1 ? x (1 ? x) 2 (1 ? x)

? P( x)在?0,?? ? 单调递减。 ?当x ? 0时, 有P( x) ? P(0),?当x ? 1时有h' ( x) ? 0 ? h( x)在?1,?? ? 上单调递减。
?1 ? x ? y时, 有 ln(1 ? x) ln(1 ? y ) ? x y

y ln(1 ? x) ? x ln(1 ? y ) ? (1 ? x) y ? (1 ? y ) x
?当x, y ? N *且x ? y时, F ( x, y ) ? F ( y, x)
20.如图,从点 P (0, 0) 做 x 轴的垂线交曲线 1

y ? e x 于点 Q1 (0,1), 曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P2 ,再从

P2 做 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一系列点: P 1 , Q1 ; P 2 , Q2 ......; Pn , Qn , 记 P k 点的
坐标为 ( xk , 0)( k ? 1, 2,..., n) .

(Ⅰ)试求 x1 与 xk ?1 的关系 (2 ? k ? n) (Ⅱ)求

PQ1 ? P2Q2 ? P3Q3 ? ... ? PnQn 1
y? ? e x 得 Qk ?1 ( xk ?1 , e xk ?1 ) 点处切线方程为

【答案】 (Ⅰ)设 Pk ?1 ( xk ?1 , 0) ,由

y ? e xk ?1 ? e xk ?1 ( x ? xk ?1 )
由 y ? 0 得 xk ? xk ?1 ? 1(2 ? k ? n) 。
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( Ⅱ)由 x1 ? 0, xk ? xk ?1 ? ?1 ,得 xk ? ?(k ? 1) ,

Pk Qk ? e xk ? e ? ( k ?1) 于是 S n ? PQ1 ? P2Q2 ? P3Q3 ? ... ? PnQn 1
? 1 ? e ?1 ? e ?2 ? ... ? e ? ( n ?1) ?
3 2

1 ? e ? n e ? e1? n ? 1 ? e ?1 e ?1
2

21.设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? m(a ? 0) (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x∈[-1,1]内没有极值点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意的 a∈[3,6],不等式 f ( x) ? 1 在 x∈[-2,2]上恒成立,求 m 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)∵f′(x)=3x +2ax-a =3(x- 又 a>0,∴当 x<-a 或 x> 当-a<x<
a 时 f′(x)>0; 3
2 2

a )(x+a), 3

a 时,f′(x)<0. 3 a ,+∞),单调递减区间为 3

∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-a) ,( (-a,
a ). 3
2 2

(Ⅱ)由题设可知,方程 f′(x)=3x +2ax-a =0 在[-1,1]上没有实根
? f ?(?1) ? 0 ? ∴ ? f ?(1) ? 0 ,解得 a>3. ?a ? 0 ?

(Ⅲ)∵a∈[3,6],∴由(Ⅰ)知 又 x∈[-2,2] ∴f(x)max=max{f(-2),f(2)} 而 f(2)-f(-2)=16-4a <0
2

a ∈[1,2],-a≤-3 3

f(x)max=f(-2)= -8+4a+2a +m (10 分) 又∵f(x)≤1 在[-2,2]上恒成立 ∴f(x)max≤1 即-8+4a+2a +m≤1 即 m≤9-4a-2a ,在 a∈[3,6]上恒成立 ∵9-4a-2a 的最小值为-87 ∴m≤-87. 22.已知函数 f ( x) ? (I)若 a ?
2 2 2

2

1 ( x ? 1) 2 ? ln x ? ax ? a . 2

3 ,求函数 f (x) 的极值; 2 (II)若对任意的 x ? (1,3) ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.
【答案】 (I) f ??x ? ? x ?
第 7 页(共 8 页)

1 5 2x 2 ? 5x ? 2 ? ? , x 2 2x
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f ??x ? ? 0 ,得 x1 ?

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1 ,或 x 2 ? 2 ,列表: 2

1 1 7 处取得极大值 f ( ) ? ? ln 2 , 2 2 8 函数 f (x) 在 x ? 2 处取得极小值 f ( 2) ? ln 2 ? 1 ; 1 1 10 (II) f ??x ? ? x ? ? (1 ? a ) , x ? ?1,3? 时, x ? ? ( 2, ) , x x 3 (i)当 1 ? a ? 2 ,即 a ? 1 时, x ? ?1,3? 时, f ??x ? ? 0 ,函数 f (x) 在 ?1,3? 是增函数
函数 f (x) 在 x ?

?x ? ?1,3? , f ? x ? ? f ?1? ? 0 恒成立; 10 7 (ii)当 1 ? a ? ,即 a ? 时, 3 3 x ? ?1,3? 时, f ??x ? ? 0 ,函数 f (x) 在 ?1,3? 是减函数 ?x ? ?1,3? , f ? x ? ? f ?1? ? 0 恒成立,不合题意 10 7 (iii)当 2 ? 1 ? a ? ,即 1 ? a ? 时, 3 3 x ? ?1,3? 时, f ?? x ? 先取负,再取,最后取正,函数 f (x) 在 ?1,3? 先递减,再递增,
而 f ?1? ? 0 ,∴ ?x ? ?1,3? , 综上, a 的取值范围是 a

f ? x ? ? f ?1? ? 0 不能恒成立;

? 1.

第 8 页(共 8 页)

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