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2014届高考数学一轮复习 第3章《三角函数、解三角形》(第8课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 3 章《三角函数、 解三角形》 (第 8 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 1.在某次测量中,在 A 处测得同一平面方向的 B 点的仰角是 50°,且到 A 的距离为 2, C 点 的俯角为 70°,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

答案:D 2.在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是( ) 6 6 A. B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2

c b csinB sin45° 6 解析:选 A.由 = ,得 b= = = , sinC sinB sinC sin60° 3 ∵角 B 最小,∴最短边是 b. 3.(2013·济南质检)在△ABC 中,角 A、B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 π π π π π 解析:选 C.cosA=sin( -A)>sinB, -A,B 都是锐角,则 -A>B,A+B< ,C> . 2 2 2 2 2 4. 已知 A 、 两地间的距离为 10 km, 、 两地间的距离为 20 km, B B C 现测得∠ABC=120°, 则 A、C 两地间的距离为( ) A.10 km B. 3 km C.10 5 km D.10 7 km 2 2 2 2 2 解 析 : 选 D. 利 用 余 弦 定 理 AC = AB + BC - 2AB·BCcos120° = 10 + 20 - 1 2×10×20×(- )=700, 2
∴AC=10 7(km). 5.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为( ) 17 6 A. 海里/时 B.34 6 海里/时 2 17 2 海里/时 2 解析:选 A. C. D .34 2 海里/时

如图,由题意知 ∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°. 在△PMN 中,

1

由正弦定理,得 3 2

= , sin120° sin45°

MN

PM

=34 6(海里). 2 2 又由 M 到 N 所用时间为 14-10=4(小时), 34 6 17 ∴船的航行速度 v= = 6(海里/时). 4 2 二、填空题 6. 地上画了一个角∠BDA=60°, 某人从角的顶点 D 出发, 沿角的一边 DA 行走 10 米后, 拐弯往另一方向行走 14 米正好到达∠BDA 的另一 边 BD 上的一点,我们将该点记为点 B,则 B 与 D 之间的距离为________米. 解析:

∴MN=68×

如图,设 BD=x m, 2 2 2 则 14 =10 +x -2×10×xcos60°, 2 ∴x -10x-96=0, ∴(x-16)(x+6)=0, ∴x=16 或 x=-6(舍). 答案:16 7.在直径为 30 m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且 其轴截面顶角为 120°,若要光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为________ m. 15 解析:轴截面如图,则光源高度 h= =5 3 (m). tan60°

答案:5 3 8.(2011·高考上海卷)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°, ∠CBA=60°,则 A、C 两点之间的距离为________千米. 解析:

如图所示,由题意知∠C=45°, AC 2 由正弦定理得 = , sin 60° sin 45° ∴AC= 2 3 · = 6. 2 2 2

答案: 6 三、解答题 9.某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 米后,望见塔在东北方向,若沿途
2

测得塔的最大仰角为 30°,求塔高. 解:

依题意画出图,某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD=40 米,此时∠DBF=45°, 从 C 到 D 沿途测塔的仰角, 只有 B 到测试点的距离最短时, 仰角才最大, 这是因为 tan∠AEB

AB BE 求 BD(或 BC). 在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°. CD BD 由正弦定理,得 = , sin∠DBC sin∠BCD

= ,AB 为定值,BE 最小时,仰角最大.要求出塔高 AB,必须先求 BE,而要求 BE,需先

40sin30° ∴BD= =20 2. sin135° 在 Rt△BED 中,∠BDE=180°-135°-30°=15°, 6- 2 BE=BDsin15°=20 2× =10( 3-1)(米). 4 在 Rt△ABE 中,∠AEB=30°, 10 ∴AB=BEtan30°= (3- 3)(米). 3 10 ∴所求的塔高为 (3- 3)米. 3 10.

如图,南山上原有一条笔直的山路 BC,现在又 新架了一条索道 AC,小李在山脚 B 处看 索道,发现张角∠ABC=120°,从 B 处攀登 400 米到达 D 处,回头看索道,发现张角∠ADC =160°,从 D 处再攀登 800 米到达 C 处,问索道 AC 长多少?(精确到米,使用计算器计算) 解:在△ABD 中,BD=400 米,∠ABD=120°. ∵∠ADC=160°,∴∠ADB=20°,∴∠DAB=40°. ∵ = , sin∠DAB sin∠ABD 400 AD ∴ = ,∴AD≈538.9 米. sin40° sin120° 在△ADC 中,DC=800, ∠ADC=160°, 2 2 2 ∴AC =AD +DC -2AD·DC·cos∠ADC 2 2 =53 8.9 +800 -2×538.9×800·cos160° ≈1740653.8, ∴AC≈1319(米).∴索道 AC 长约 1319 米.

BD

AD

一、选择题 1.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B
3

行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则几小时后,两车的距离最小( 69 A. B.1 43 70 C. D.2 43

)

解 析:选 C.如图所示,设过 x h 后两车距离为 y,则 BD=200-80x,BE=50x, 2 2 2 ∴y =(200-80x) +(50x) -2×(200-80x)·50x·cos60°, 2 2 整理得 y =12900x -42000x+40000(0≤x≤2.5), 70 2 ∴当 x= 时 y 最小,即 y 最小. 43 2.

(2013·陕西西北九校联考)如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救, 甲船立即前往营救, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 θ +30°角的方向沿直线前往 B 处营救, 则 sinθ 的值为( ) 21 2 A. B. 7 2 C. 3 2 D. 5 7 14

解析:选 A.连接 BC.在△ABC 中,AC=10,AB=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得 BC =AC +AB -2AB·AC·cos120°=7 00,∴BC=10 7,再由正弦定理,得 ∴sinθ =
2 2

2

= , sin∠BAC sinθ

BC

AB

21 . 7 二、填空题 3.(2013·广东四校联考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-5,0)和 x2 y2 sinA+sinC C(5,0),顶点 B 在椭圆 + =1 上,则 =________. 36 9 sinB sinA+sinC a+c 解析:由正弦定理知 = ,其中 a,b,c 是△ABC 的三边长,由题易知, sinB b sinA+sinC a+c 12 6 b=10,a+c=12,所以 = = = . sinB b 10 5 6 答案: 5 4.

4

(2013·南通调研)“温馨花园”为了美化小区, 给居民提供更好的生活环境, 在小区内 2 如图的一块三角形空地上种植草皮(单位:m),已知这种草皮的价格是 120 元/m ,则购买这 种草皮需要________元. 1 解析:三角形空地的面积 S = ×12 3×25×sin120°=225,故共需 225×120= 2 27000(元). 答案: 27000 三、解答题 5.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位于 A 点 北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到 达 D 点需要多长时间?

解:由题意知 AB=5(3+ 3)(海里), ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°, ∴∠ADB =180°-(45°+30°)=105°. 在△DAB 中,由正弦定理得

DB
∴DB= =

sin∠DAB



, sin∠ADB

AB

AB·sin∠DAB 5? 3+ 3? ·sin45° = sin∠ADB sin105°

5? 3+ 3? ·sin45° 5 3? 3+1? = sin45°cos60°+cos45°sin60° 3+1 2

=10 3(海里). 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°, BC=20 3(海里), 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC 1 =300+1 200-2×10 3×20 3× =900, 2 30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 30 即该救援船到达 D 点需要 1 小时.

5


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