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2006年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题及详解(WORD版)


2006 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷 B) ( ) 数学
本试卷分选择题和非选择题两部分..共 4 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用 2B 铅笔将答题卡试卷类型(B)涂黑. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦 干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回. 第一部分选择题(共 50 分) 一,选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的
新疆 王新敞
奎屯

1,函数 f ( x) =

3x 2 + lg(3x + 1) 的定义域是 1 x

1 1 1 1 1 A. ( , +∞) B. ( ,1) C. ( , ) D. (∞, ) 3 3 3 3 3 2 3 2,若复数 z 满足方程 z + 2 = 0 ,则 z =
A. ±2 2 B. 2 2 C. 2 2i D. ±2 2i

3,下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y = x 3 , x ∈ R B. y = sin x , x ∈ R C. y = x , x ∈ R

1 D. y = ( ) x , x ∈ R 2
A D

4,如图 1 所示, D 是 ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD = A. BC + C. BC

1 BA 2

B. BC

1 BA 2

C 1 1 B BA D. BC + BA 图1 2 2 5,给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交 线平行, ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行, ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 6,已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 A.5 B.4 C.3 D.2

7,函数 y = f ( x) 的反函数 y = f 1 ( x) 的图像与 y 轴交于点

y 4 2

P (0, 2) (如图 2 所示) ,则方程 f ( x) = 0 在 [1,4] 上的根是 x =
A.4 B.3 C.2 D.1

y = f 1(x)

8,已知双曲线 3x 2 y 2 = 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点 的距离与点 P 到右准线的距离之比等于 A. 2 B.

1

O
图2

3

x

2 2 3

C.2 D.4

y y + 2x = 4 x+ y=s

x ≥ 0 y ≥ 0 9,在约束条件 下,当 3≤ x ≤5 时,目标函数 y + x ≤ s y + 2x ≤ 4
z = 3 x + 2 y 的最大值的变化范围是 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8]
D. [7,8]

O
图3

x

10,对于任意的两个实数对 (a, b) 和 (c, d ) ,规定: (a, b) = (c, d ) ,当且仅当 a = c, b = d ;运 算" "为: (a, b) (c, d ) = (ac bd , bc + ad ) ;运算" ⊕ "为: (a, b) ⊕ (c, d ) = (a + c, b + d ) ,设 p, q ∈ R ,若 (1,2) ( p, q) = (5,0) ,则 (1,2) ⊕ ( p, q) = A. (4,0) B. (2,0) C. (0, 2) D. (0, 4) 第二部分非选择题(共 100 分) 二,填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.

4 1 ) = ________. 2 4 x 2+ x 12,棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______. 2 13,在 ( x )11 的展开式中, x5 的系数为________. x 14, 在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间, 某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 "正 三棱锥"形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一 个球;第 2,3, 4, 堆最底层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小 球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一 个乒乓球, f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数, 以 则 f (3) = _____ ; f (n) = _____ (答案用 n 表示).
11, lim (
x →2

三解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15,(本题 14 分)已知函数 f ( x) = sin x + sin( x + (I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 的的最大值和最小值;

π
2

), x ∈ R .

(III)若 f (α ) =

3 ,求 sin 2α 的值. 4

16,(本题 12 分)某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下: 06 7 8 9 10 X 0.2 0.3 0.3 0.2 0 P 现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ξ . (I)求该运动员两次都命中 7 环的概率 (II)求 ξ 的分布列 (III)求 ξ 的数学期望 Eξ .

17, (本题 14 分)如图 5 所示, , 分别世 ⊙O , AF DE

⊙O1 的直径, AD 与两圆所在的平面均垂直,
AD = 8 . BC 是 ⊙O 的 AB = AC = 6 , OE // AD . (I)求二面角 B AD F 的大小; (II)求直线 BD 与 EF 所成的角.
直 径 ,

D

O1

E

C A B O
图5

F

18,(本题 14 分)设函数 f ( x) = x3 + 3 x + 2 分别在

x1,x2 处取得极小值,极大值. xoy 平面上点 A,B
的坐标分别为 x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 )) ( , ,该平面上动点 P 满足 PA PB = 4 ,点 Q 是点 P 关于 直线 y = 2( x 4) 的对称点.求 (I)求点 A,B 的坐标; (II)求动点 Q 的轨迹方程. 19,(本题 14 分)已知公比为 q (0 < q < 1) 的无穷等比数列 {an } 各项的和为 9,无穷等比数列

{a } 各项的和为 81 . 5
2 n

(I)求数列 {an } 的首项 a1 和公比 q ; (II)对给定的 k (k = 1, 2,3,, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2ak 1 的等差数列,求 T (2) 的前 10 项之和; (III)设 bi 为数列 T ( k ) 的第 i 项, n = b1 + b2 + + bn , Sn , S 求 并求正整数 m(m > 1) , 使得 lim 存在且不等于零. (注:无穷等比数列各项的和即当 n → ∞ 时该无穷等比数列前 n 项和的极限)
n →∞

Sn nm

20,(本题 12 分) A 是定义在 [2,4] 上且满足如下条件的函数 ( x) 组成的集合:①对任意的

x ∈ [1, 2] ,都有 (2 x) ∈ (1, 2) ;②存在常数 L(0 < L < 1) ,使得对任意的 x1 , x2 ∈ [1, 2] ,都有
| (2 x1 ) (2 x2 ) |≤ L | x1 x2 | .
(I)设 (2 x) = 3 1 + x , x ∈ [2, 4] ,证明: ( x) ∈ A (II)设 ( x) ∈ A ,如果存在 x0 ∈ (1, 2) ,使得 x0 = (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (III)设 ( x) ∈ A ,任取 x1 ∈ (1, 2) ,令 xn 1 = (2 xn ) , n = 1, 2, ,证明:给定正整数 k ,对任 意的正整数 p ,成立不等式 | xk + p xk |≤

Lk 1 | x2 x1 | 1 L

2006 年高考广东卷(B) 第一部分选择题(50 分) 1,解:由

1 x > 0 1 < x < 1 ,故选 B. 3 3 x + 1 > 0
3

2,由 z + 2 = 0 z = ± 2i z = ±2 2i ,故选 D.
2

3, 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定 B 义域内不是奇函数,是减函数;故选 A. 4, CD = CB + BD = BC + 5,①②④正确,故选 B. 6,

1 BA ,故选 A. 2

5a1 + 20d = 15 d = 3 ,故选 C. 5a1 + 25d = 30

7, f ( x ) = 0 的根是 x = 2,故选 C 8,依题意可知 a =

3, c = a 2 + b 2 = 3 + 9 = 2 3 , e =

c 2 3 = = 2 ,故选 C. a 3

9,由

x + y = s x = 4 s 交点为 A(0,2), B ( 4 s,2 s 4), C (0, s ), C ′(0,4) , y + 2 x = 4 y = 2s 4

(1)当 3 ≤ s < 4 时可行域是四边形 OABC,此时, 7 ≤ z ≤ 8 (2)当 4 ≤ s ≤ 5 时可行域是△OA C ′ 此时, z max = 8 故选 D. 10,由 (1,2) ( p, q ) = (5,0) 得

p 2q = 5 p =1 , 2 p + q = 0 q = 2

所以 (1,2) ⊕ ( p, q ) = (1,2) ⊕ (1,2) = ( 2,0) ,故选 B. 第二部分非选择题(100 分) 二,填空题 11, lim (
x → 2

4 1 1 1 ) = lim = 2 x → 2 2 x 2+ x 4 4 x

12, d = 3 3 R =
11 r r

3 3 S = 4πR 2 = 27π 2 2 x
11 r 11 = (2)11r C11 r x 2 r 11 2r 11 = 5 r = 8

13, Tr +1 = C11 x ( )
5

11 r 11 r 3 C11 = (2) 3 C11 = 1320 所以 x 的系数为 ( 2)

14, f (3) = 10, f ( n) = 三,解答题

n(n + 1)(n + 2) 6

15 解: f ( x ) = sin x + sin( x +

π
2

) = sin x + cos x = 2 sin( x + 2π = 2π ; 1

π
4

)

(Ⅰ) f (x ) 的最小正周期为 T =

(Ⅱ) f (x ) 的最大值为 2 和最小值 (Ⅲ) 因为 f (α ) =

2;

3 3 7 7 , sin α + cos α = ① 2 sin α cos α = 即 ,即 sin 2α = 4 4 16 16

16 解:(Ⅰ)求该运动员两次都命中 7 环的概率为 P (7) = 0.2 × 0.2 = 0.04 ; (Ⅱ) ξ 的可能取值为 7,8,9,10

P (ξ = 7) = 0.04 P (ξ = 8) = 2 × 0.2 × 0.3 + 0.3 2 = 0.21
P (ξ = 9) = 2 × 0.2 × 0.3 + 2 × 0.3 × 0.3 + 0.3 2 = 0.39 P (ξ = 10) = 2 × 0.2 × 0.2 + 2 × 0.3 × 0.2 + 2 × 0.3 × 0.2 + 0.2 2 = 0.36

ξ 分布列为 ξ
P 7 0.04 8 0.21 9 0.39 10 0.36

(Ⅲ) ξ 的数学希望为 Eξ = 7 × 0.04 + 8 × 0.21 + 9 × 0.39 + 10 × 0.36 = 9.07 . 17,解:(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B—AD—F 的平面角, 依题意可知,ABCD 是正方形,所以∠BAD=450. 即二面角 B—AD—F 的大小为 450; (Ⅱ)以 O 为原点,BC,AF,OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示) ,则 O(0,0,0) ,A(0, 3 2 ,0) ,B( 3 2 ,0,0),D(0, 3 2 ,8) ,E(0,0,8) , F(0, 3 2 ,0) 所以, BD = ( 3 2 ,3 2 ,8), FE = (0,3 2 ,8)

cos < BD, EF >=

BD FE | BD || FE |
BD 与

=

0 + 18 + 64 100 × 82
EF

=

82 10

设 异 面 直 线

所 成 角 为

α , 则

cos α =| cos < BD, EF >|=

82 10 82 10
2

直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos
3

18 解:(Ⅰ)令 f ′( x ) = ( x + 3 x + 2) ′ = 3 x + 3 = 0 解得 x = 1或x = 1 当 x < 1 时, f ′( x ) < 0 ,当 1 < x < 1 时, f ′( x ) > 0 ,当 x > 1 时, f ′( x ) < 0 所 以 , 函 数 在 x = 1 处 取 得 极 小 值 , 在 x = 1 取 得 极 大 值 , 故

x1 = 1, x 2 = 1 , f (1) = 0, f (1) = 4
所以,点 A,B 的坐标为 A( 1,0), B (1,4) . (Ⅱ)设 p ( m, n) , Q ( x, y ) , PA PB = ( 1 m, n ) (1 m,4 n ) = m 1 + n 4n = 4
2 2

1 yn 1 y+m x+n k PQ = , 所以 = , PQ 的中点在 y = 2( x 4) 上, 又 所以 = 2 4 2 xm 2 2 2
消去 m, n 得 ( x 8) + ( y + 2 ) = 9
2 2

a1 a1 = 3 1 q = 9 19 解:(Ⅰ)依题意可知, 2 2 a 1 = 81 q = 3 1 q 2 5
2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, a n = 3 × 3 S10 = 10 × 2 +
n 1

,所以数列 T

( 2)

的的首项为 t1 = a 2 = 2 ,公差 d = 2a 2 1 = 3 ,

1 × 10 × 9 × 3 = 155 ,即数列 T ( 2) 的前 10 项之和为 155. 2 2 3
i 1

(Ⅲ) bi = a i + (i 1)(2a i 1) = (2i 1)ai (i 1) = 3(2i 1)
n

(i 1) ,
n

Sn 45 18n + 27 2 n(n 1) 2 n(n 1) S n = 45 (18n + 27 ) , lim m = lim m m n →∞ n n →∞ n 2 n 2n m 3 3
当 m=2 时, lim
n →∞

Sn Sn 1 =- ,当 m>2 时, lim m =0,所以 m=2 m n →∞ n 2 n

20,解:对任意 x ∈ [1,2] , ( 2 x ) = 3 1 + 2 x , x ∈ [1,2] , 3 3 ≤ ( 2 x ) ≤ 3 5 , 1 < 3 3 < 3 5 < 2 , 所以 ( 2 x ) ∈ (1,2)









x1 , x 2 ∈ [1,2]
2
,

,

| (2 x1 ) (2 x 2 ) |=| x1 x 2 |
3<
0<
3

3

(1 + 2 x1 )2

+ 3 (1 + 2 x1 )(1 + x 2 ) + 3 (1 + x 2 )
,

2

3

(1 + 2 x1 )2
2

+ 3 (1 + 2 x1 )(1 + x2 ) + 3 (1 + x2 )
2





(1 + 2 x1 )
, 令

2

+ 3 (1 + 2 x1 )(1 + x2 ) + 3 (1 + x2 ) 2
3

<

2 3

(1 + 2 x1 )2

+

3

(1 + 2 x1 )(1 + x2 ) + 3 (1 + x2 )

2

=

L

,

0 < L <1

,

| (2 x1 ) (2 x 2 ) |≤ L | x1 x 2 |
所以 ( x) ∈ A

′ ′ ′ ′ 反证法:设存在两个 x0 , x0 ∈ (1,2), x0 ≠ x0 使得 x0 = ( 2 x0 ) , x0 = ( 2 x0 ) 则
由 | ( 2 x 0 ) ( 2 x 0 ) |≤ L | x 0 x 0 | ,得 | x0 x0 |≤ L | x0 x 0 | ,所以 L ≥ 1 ,
/ /

/

/

矛盾,故结论成立.

x3 x 2 = (2 x 2 ) (2 x1 ) ≤ L x 2 x1 ,所以 x n +1 x n ≤ Ln 1 x 2 x1
| xk + p xk |= (xk + p xk + p 1 ) + (xk + p 1 xk + p 2 ) + ( xk +1 xk ) ≤

Lk 1 | x2 x1 | 1 L

≤ x k + p x k + p 1 + x k + p 1 x k + p 2 + x k +1 x k ≤ Lk + p 2 x 2 x1 + Lk + p 3 x 2 x1 +…

L

k 1

LK 1 x 2 x1 ≤ x 2 x1 1 L


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