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特征方程法求数列的通项公式(1)


特征方程法求数列的通项公式
求数列通项公式的方法很多,利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径. 1.已知数列 {an } 满足 an +1 = 定义 1:方程 x =

a an + b ......① 其中 c ≠ 0, ad ≠ bc, n ∈ N * . c an + d

ax + b 为①的特征方程,该方程的根称为数列 {an } 的特征根,记为 α , β . cx + d an +1 α a cα an α = . an +1 β a cβ an β

定理 1:若 α , β ≠ a1 且 α ≠ β ,则 若 则 证明: x =

ax + b ad b cx 2 + (d a ) x b = 0 α + β = , αβ = cx + d c c

∴ d = a (α + β )c, b = αβ c aan + b α an +1 α can + d (aan + b) α (can + d ) (a cα )an + (b dα ) ∴ = = = an +1 β aan + b β (aan + b) β (can + d ) (a cβ )an + (b d β ) can + d =

(a cα )an + [αβ c (a cα cβ )α ] (a cα )an (a cα )α = (a cβ )an + [αβ c (a cα cβ ) β ] (a cβ )an (a cβ ) β
证毕

=

a cα an α a c β an β

定理 2: 若 α = β ≠ a1 且 a + d ≠ 0 ,则 则 证明: Q d = a 2α c, b = α 2 c

1 2c 1 = + . an +1 α a + d an α



can + d can + d 1 1 = = = an +1 α aan + b α (aan + b) α (can + d ) (a α c)an + b α d can + d
can + a 2α c can + a 2α c ca + a 2α c = = n 2 2 (a α c)an (α c + aα 2α c) (a α c)(an α ) a + d (a α ) n 2

=

=

2can + 2a 4α c 2can + (a 2α c) + d 2c(an α ) + (a + d ) = = (a + d )(an α ) (a + d )(an α ) (a + d )(an α ) 2c 1 + a + d an α
证毕

=

例 (09江西理22)各项均为正数的数列 {an } , a1 = a, a2 = b ,且对满足 m + n = p + q 的正数 m, n, p, q 都有

1

a p + aq am + an = . (1 + am )(1 + an ) (1 + a p )(1 + aq )
(1)当 a = 解:由

1 4 , b = 时,求通项 an ;(2)略. 2 5

a p + aq am + an a1 + an a2 + an 1 = 得 = (1 + am )(1 + an ) (1 + a p )(1 + aq ) (1 + a1 )(1 + an ) (1 + a2 )(1 + an 1 )
2a + 1 1 4 , b = 代入上式化简得 an = n 1 2 5 an 1 + 2 2x + 1 得特征根 x = ±1 x+2

将a =

考虑特征方程 x =

2an 1 + 1 1 an 1 an 1 + 2 1 a 1 = = n 1 所以 an + 1 2an 1 + 1 + 1 3 an 1 + 1 an 1 + 2
所以数列

an 1 a1 1 1 1 = 为首项,公比为 的等比数列 是以 a1 + 1 3 3 an + 1
即 an =



an 1 1 1 1 = ( ) n 1 = ( ) n an + 1 3 3 3

3n 1 3n + 1

例 已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an = 2 解: 考虑特征方程 x = 2

1 , n ∈ N * ,求通项 an . an 1

1 得特征根 x = 1 x

a 1 1 1 1 = = = n 1 = 1 + an 1 (2 1 ) 1 1 1 an 1 1 an 1 1 an 1 an 1
所以数列

1 1 = 1 为首项,公差为 1 的等差数列 是以 a1 1 an 1
即 an =



1 =n an 1

n +1 n an 1 + 2 (n ≥ 2) ,求数列 {an } 的通项 an 2an 1 + 1

例 已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an =

解:其特征方程为 x =

a 1 a 1 x+2 2 ,化简得 2 x 2 = 0 ,解得 x1 = 1, x2 = 1 ,令 n +1 = c n 2x + 1 an +1 + 1 an + 1

2

由 a1 = 2, 得 a2 =

4 1 ,可得 c = , 5 3
n 1

a 1 a 1 1 1 1 3n (1) n a 1 1 = ,∴ an = n ∴ 数列 n 是以 1 = 为首项,以 为公比的等比数列,∴ n an + 1 3 3 3 3 + (1) n a1 +1 3 an + 1
例已知数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 = 解:其特征方程为 x =

2 an 1 (n ∈ N * ) ,求数列 {an } 的通项 an 4 an + 6

1 2x 1 1 1 2 ,即 4 x + 4 x + 1 = 0 ,解得 x1 = x2 = ,令 = +c 1 1 4x + 6 2 an+1 + an + 2 2 3 ,求得 c = 1 , 由 a1 = 2, 得 a2 = 14 1 1 2 1 2 3 ∴ 数列 = 为首项,以 1 为公差的等差数列,∴ = + (n 1) 1 = n , 是以 1 5 1 5 5 an + 1 a1 + an + 2 2 2 13 5n ∴ an = 10n 6
*

2.已知数列 {an } 满足 an + 2 = c1an +1 + c2 an ② 其中 c1 , c2 为常数,且 c2 ≠ 0, n ∈ N . 的特征方程, 的特征根,记为 定义 2:方程 x = c1 x + c2 为②的特征方程,该方程的根称为数列 {an } 的特征根 记为 λ1 , λ2 . 方程
2

常数,且满足 定理 3:若 λ1 ≠ λ2 ,则 an = b1λ1 + b2 λ2 ,其中 b1 , b2 常数 且满足 若 则 其中
n n

a1 = b1λ1 + b2 λ2 . 2 2 a2 = b1λ1 + b2 λ2 a1 = (b1 + b2 )λ . 2 a2 = (b1 + 2b2 )λ

常数,且满足 定理 4: 若 λ1 = λ2 = λ ,则 an = (b1 + b2 n)λ ,其中 b1 , b2 常数 且满足 则 其中
n

设 a n +1 ta n = s ( a n ta n 1 ) ,则 a n +1 = ( s + t ) a n sta n 1 , 令

s + t = p st = q

(*)

(1) 若方程组(*)有两组不同的解 ( s1 , t1 ), ( s 2 , t 2 ) , 则 a n +1 t1 a n = s1 (a n t1 a n 1 ) ,

a n+1 t 2 a n = s 2 (a n t 2 a n1 ) ,
由等比数列性质可得 a n +1 t1 a n = ( a 2 t1 a1 ) s1
n 1

, ,

a n+1 t 2 a n = (a 2 t 21 a1 ) s 2

n 1

Q t1 ≠ t 2 , 由上两式消去 a n+1 可得
3

an =

(a 2 t1a1 ) .s n a 2 t 2 a1 .s n . 1 2 s1 (t 2 t1 ) s 2 (t 2 t1 )
s1 = s 2 ,易证此时 s1 = t1 ,则 t1 = t 2
n 1

(2) 若方程组(*)有两组相等的解
2

a n+1 t1 a n = s1 (a n t1 a n 1 ) = s1 (a n1 t1 a n 2 ) = K = s1
∴ a n+1 s1
n +1

(a2 t1a1 ) ,



an s1
n

=

a 2 t1 a 1 s1
2

,即

an 是等差数列, n s1

由等差数列性质可知

an s1
n

=

a1 a t a + (n 1). 2 2 1 1 , s1 s1

所以 a n = a 1 a 2 t 1 a 1 2 s1 s1

a 2 t1 a1 n + .n s 1 . 2 s1

例已知数列 {an } 满足 a1 = 2, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 2an ( n ∈ N ) ,求数列 {an } 的通项 an
*

解:其特征方程为 x = 3 x 2 ,解得 x1 = 1, x2 = 2 ,令 an = c1 1 + c2 2 ,
2

n

n

c1 = 1 a1 = c1 + 2c2 = 2 由 ,得 1, a2 = c1 + 4c2 = 3 c2 = 2

∴ an = 1 + 2n 1

例已知数列 {an } 满足 a1 = 1, a2 = 2, 4an + 2 = 4an +1 an ( n ∈ N ) ,求数列 {an } 的通项 an
*

1 1 解:其特征方程为 4 x = 4 x 1 ,解得 x1 = x2 = ,令 an = ( c1 + nc2 ) , 2 2
2

n

1 a1 = (c1 + c2 ) × = 1 c1 = 4 2 由 ,得 , 1 c2 = 6 a = ( c + 2c ) × = 2 1 2 2 4

∴ an =

3n 2 2n 1

例:已知数列 {an } 满足 a1 = 2, a2 = 8, an + 2 = 4an +1 4an ,求通项 an . 解: 考虑特征方程 x = 4 x 4 得特征根 λ = 2
2

则 an = (b1 + b2 n)2 其中

n

2(b1 + b2 ) = 2 b = 0 1 an = n2n 4(b1 + 2b2 ) = 8 b2 = 1

4

常见递推数列通项的求解方法
高考中的递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深 度,是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理,找到数列的通项公式,为此介 绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。 可以求和) 类型一: 类型一: an +1 = an + f ( n) ( f ( n ) 可以求和)

解决方法 累加法 →

f(n)为常数 为常数, 此时数列为等差数列, (1)若 f(n)为常数,即: a n +1 a n = d ,此时数列为等差数列,则 a n = a1 + ( n 1) d . f(n)为 的函数时,用累加法. (2)若 f(n)为 n 的函数时,用累加 方法如下: 由 a n +1 a n = f ( n) 得:

n ≥ 2 时, a n a n 1 = f (n 1) , a n 1 a n 2 = f (n 2) , KK a 3 a 2 = f ( 2)

a 2 a1 = f (1)
所以各式相加得 a n a1 = f ( n 1) + f ( n 2) + L + f ( 2) + f (1) 即: a n = a1 +

∑ f (k ) .
k =1

n 1

为了书写方便,也可用横式来写:

Q n ≥ 2 时, a n a n 1 = f (n 1) , ∴ a n = (a n a n 1 ) + (a n 1 a n 2 ) + L + (a 2 a1 ) + a1
= f ( n 1) + f ( n 2) + L + f ( 2) + f (1) + a1 .
5

例、在数列 {an } 中,已知 a1 =1,当 n ≥ 2 时,有 an = an 1 + 2n 1 ( n ≥ 2 ) ,求数列的通项公式。 解析:Q an an 1 = 2n 1( n ≥ 2)

a2 a1 = 1 a a =3 3 2 ∴ a4 a3 = 5 M an an 1 = 2n 1
an a1 = n 2 1

上述 n 1 个等式相加可得:

∴ an = n 2
n 1

评注:一般情况下,累加法里只有 n-1 个等式相加。 例 . (2003 天津文) 已知数列{an}满足 a1 = 1, a n = 3 证明 a n =

+ a n 1 (n ≥ 2) ,

3n 1 2
n 1

证明:由已知得: a n a n 1 = 3

,故

a n = (a n a n 1 ) + (a n 1 a n 2 ) + L + (a 2 a1 ) + a1
=3
n 1

+ 3 n2 + L + 3 + 1 =

3n 1 . 2

∴ an =

3n 1 . 2
*

例 . 已 知 数 列 答案: n n + 1
2

{an }

的 首 项 为

1 , 且 an +1 = an + 2n( n ∈ N ) 写 出 数 列

{an }

的 通 项 公 式 .

例.已知数列 {a n } 满足 a1 = 3 , a n = a n 1 + 答案: a n = 2

1 (n ≥ 2) ,求此数列的通项公式. n(n 1)

1 n

评注:已知 a1 = a , a n +1 a n = f ( n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项

an .
f(n)是关于 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; f(n)是关于 的二次函数,累加后可分组求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; f(n)是关于 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; f(n)是关于 的分式函数,累加后可裂项求和。 ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 类型一专项练习题: 类型一专项练习题: ,求 an 。 1、已知 a1 = 1 , an = an 1 + n ( n ≥ 2 )
6

an =

n( n + 1 ) 2

2、已知数列 {an } , a1 =2, an +1 = an +3 n +2,求 an 。

an =

n(3n + 1) 2
2

3、已知数列 {a n } 满足 a n +1 = a n + 2n + 1,a 1 = 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an = n + 1 4、已知 {a n } 中, a1 = 3, a n +1 = a n + 2 ,求 an 。
n
n

an = 2 n + 1
n 1

1 3 1 1 5、已知 a1 = , an +1 = an + ( n ∈ N * ) ,求数列 {a n } 通项公式. an = 2 2 2 2
6、 已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an = 3
n 1

3n 1 + an 1 ( n ≥ 2 ) , 求通项公式 an ?( an = ) 2
n +1

7、若数列的递推公式为 a1 = 3, an +1 = an 2 3

(n ∈ N * ) ,则求这个数列的通项公式 an = 12 3n+1
n

8、 已知数列 {a n } 满足 a n +1 = a n + 2 3 n + 1,a 1 = 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an = 3 + n 1 9、已知数列 {a n } 满足 a1 =

1 1 , a n +1 = a n + 2 ,求 a n 。 2 n +n

an =

3 1 2 n

10、数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = an + cn ( c 是常数, n = 1, 3, ) 2, L ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 {an } 的通项公式. c=2

an = n 2 n + 2

类型二: 可以求积) 类型二: an +1 = f ( n) an ( f ( n) 可以求积) f(n)为常数 为常数, (1)当 f(n)为常数,即:

解决方法 累积法 →

a n +1 = q (其中 q 是不为 0 的常数) 此时数列为等比数列, a n = a1 q n 1 . 的常数) 此时数列为等比数列 ,此时数列为等比数列, , an

f(n)为 的函数时,用累乘法. (2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 由

a n +1 = f ( n) 得 an

n ≥ 2 时,

an = f (n 1) , a n 1

∴ an =

a n a n 1 a L 2 a1 =f(n)f(n-1) L f (1) a1 . a n 1 a n 2 a1
2 2

且 ( 2, …)则它的通项公式是 a n =________. 例.设 {a n }是首项为 1 的正项数列, (n + 1)a n +1 na n + a n +1 a n = 0 n =1, 3, , 解:已知等式可化为: ( a n +1 + a n )[( n + 1) a n +1 na n ] = 0

Q a n > 0 ( n ∈ N * )∴ (n+1) a n +1 na n = 0 ,



a n +1 n = an n +1

7

∴ n ≥ 2 时,

an n 1 = a n 1 n

∴ an =

a n a n 1 a n 1 n 2 1 1 L 1= . L 2 a1 = n n 1 2 n a n 1 a n 2 a1

可以通过因式分解 (一般情况时用求根公式) 得到 a n 与 a n +1 的更为明显的关系式, 本题是关于 a n 和 a n +1 的二次齐次式, 从而求出 a n . 例.已知 a n +1 = na n + n 1, a1 > 1 ,求数列{an}的通项公式. 解:因为 a n +1 = na n + n 1, 所以 a n +1 + 1 = na n + n, 故 a n +1 + 1 = n( a n + 1), 又因为 a1 > 1 ,即 a1 + 1 > 0 , 所以由上式可知 a n + 1 > 0 ,所以

a n +1 + 1 = n ,故由累乘法得 an + 1

an + 1 =

a n + 1 a n 1 + 1 a + 1 a2 + 1 L 3 (a1 + 1) a n 1 + 1 a n 2 + 1 a 2 + 1 a1 + 1

= (n 1) (n 2) L 2 1 (a1 + 1) = (n 1)!(a1 + 1) 所以 a n = ( n 1)!( a1 + 1) -1. 评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式 a n +1 = na n + n 1, 转化为

a n +1 + 1 = n(a n + 1), 若令 bn = a n + 1 ,则问题进一步转化为 bn +1 = nbn 形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.
例在数列 {an } 中,已知 a1 = 1, 有 nan 1 = ( n + 1) an ,( n ≥ 2 )求数列 {an } 的通项公式。 解析: an =

an an 1 an 2 a3 a2 L a1 an 1 an 2 an 3 a2 a1

n n 1 n 2 3 2 2 L 1 = n + 1 n n 1 4 3 n +1 2 又Q a1 也满足上式;∴ an = n +1 =
类型二专项练习题: 类型二专项练习题: 1、 已知 a1 = 1 , an =

(n ∈ N * ) 2 n +n 2 an = 3n
2

n 1 an 1 ( n ≥ 2 ),求 an 。 n +1 2 n 2、已知数列 {a n } 满足 a1 = , a n +1 = a n ,求 a n 。 3 n +1
3、已知 {a n } 中, an +1 =

an =

4 n an ,且 a1 = 2 ,求数列 {a n } 的通项公式. an = n+2 n ( n + 1)
8

4、已知 a1 = 3 , a n +1 =

3n 1 a n (n ≥ 1) ,求 a n 。 3n + 2

an =

6 3n 1

5、已知 a1 = 1 , an = n( an +1 an ) ( n ∈ N * ) ,求数列 {a n } 通项公式. 6、已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2 an ,求通项公式 an ?
n

an = n
n2 n 2

( an = 2


n 1

7、已知数列 {a n } 满足 a n +1 = 2(n + 1)5 a n,a 1 = 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an = 3 × n !× 2
n

×5

n2 n 2

8、已知数列{an},满足 a1=1, a n = a1 + 2a 2 + 3a3 + + ( n 1) a n 1 (n≥2),则{an}的通项 an = n !

1

n =1 n≥2

2

9、设{an}是首项为 1 的正项数列, 且(n + 1)a 2 +1 - na 2 +an+1an = 0 (n = 1, 2, 3, …),求它的通项公式. n n

an =

1 n
2

10、数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 = 1 , S n = n a n ( n ∈ N *) ,求数列 {a n } 的通项公式.

an =

2 n +n
2

类型三: 类型三: a n +1 + a n = f (n)
为常数) 则数列{ ,则数列 等和数列” 它是一个周期数列, (1)若 a n +1 + a n = d (d 为常数) 则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其通项分奇数项和 , 偶数项来讨论; 偶数项来讨论; f(n)为 的函数(非常数) 通过累加来求出通项;或用逐差法( (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 a n +1 a n = f ( n) 型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两 式相减) ,,分奇偶项来分求通项 分奇偶项来分求通项. 式相减)得 a n +1 a n 1 = f ( n) f ( n 1) ,,分奇偶项来分求通项. 例. 数列{ a n }满足 a1 = 0 , a n +1 + a n = 2n ,求数列{an}的通项公式. 解法 2:Q a n +1 + a n = 2n

∴ n ≥ 2 时, a n + a n 1 = 2(n 1) ,
两式相减得: a n +1 a n 1 = 2 .

∴ a1 , a 3 , a 5 , L , 构成以 a1 ,为首项,以 2 为公差的等差数列; a 2 , a 4 , a 6 , L , 构成以 a 2 ,为首项,以 2 为公差的等差数列 ∴ a 2 k 1 = a1 + (k 1)d = 2k 2 a 2 k = a 2 + (k 1)d = 2k .
9

n 1, n为奇数, ∴ an = n, n为偶数.
评注:结果要还原成 n 的表达式. 例.(2005 江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 ( ) n 1 ( n ≥ 3), 且S 1 = 1, S 2 = 解:方法一:因为 S n S n 2 以下同例 1,略

1 2

3 , 求数列{an}的通项公式. 2 1 = a n + a n 1所以a n + a n 1 = 3 ( ) n 1 ( n ≥ 3), 2

答案

1 n 1 4 3 ( 2 ) , n为奇数, an = 4 + 3 ( 1 ) n1 , n为偶数. 2
类型四 a n +1 a n = f ( n) 型

为常数) 则数列{ 等积数列” 它是一个周期数列, (1)若 a n +1 a n = p (p 为常数),则数列{ a n }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其通项分奇数项和偶 数项来讨论; 数项来讨论; f(n)为 的函数(非常数) 可通过逐差法得 两式相除后,分奇偶项来分求通项. (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得 a n a n 1 = f ( n 1) ,两式相除后,分奇偶项来分求通项. 例 1. 已知数列 {a n }满足 a1 = 3, a n a n +1 = ( ) , ( n ∈ N ) ,求此数列的通项公式.
n *

1 2

注:同上例类似,略.

类型五: 类型五: an +1 = Aan + B (其中A,B为常数A ≠ 0,1) 可将其转化为 an +1 + t = A( an + t ) ,其中 t = 数列{ 为等差数列; (1)若 c=1 时,数列{ a n }为等差数列; 数列{ 为等比数列; (2)若 d=0 时,数列{ a n }为等比数列;

解方 决 法 待定常数法 →

B 的等比数列, 即可。 ,则数列 {an + t} 为公比等于 A 的等比数列,然后求 an 即可。 A 1

数列{ 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 辅助数列来求. (3)若 c ≠ 1且d ≠ 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下:设 a n +1 + λ = c ( a n + λ ) , 得 a n +1 = ca n + (c 1)λ ,与题设 a n +1 = ca n + d , 比较系数得

d , ( c ≠ 0) c 1 d d = c(a n 1 + ) 所以有: a n + c 1 c 1 (c 1)λ = d ,所以 λ =
10

因此数列 a n + 所以 a n +



d d 为首项,以 c 为公比的等比数列, 构成以 a1 + c 1 c 1

d d = (a1 + ) c n 1 c 1 c 1 d d 即: a n = ( a1 + ) c n 1 . c 1 c 1
规律: 将递推关系 a n +1 = ca n + d 化为 a n +1 + 通项公式 a n +1 =

d d d = c( a n + ) ,构造成公比为 c 的等比数列 {a n + } 从而求得 c 1 c 1 c 1

d d + c n 1 (a1 + ) 1 c c 1

有时我们从递推关系 a n +1 = ca n + d 中把 n 换成 n-1 有 a n = ca n 1 + d ,两式相减有 a n +1 a n = c( a n a n 1 ) 从而 化为公比为 c 的等比数列 {a n +1 a n } ,进而求得通项公式. a n +1 a n = c ( a 2 a1 ) ,再利用类型(1)即可求得通项公式.
n

我们看到此方法比较复杂. 例 在数列 {an } 中, a1 = 1 ,当 n ≥ 2 时,有 an = 3an 1 + 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 解析:设 an + t = 3 ( an 1 + t ) ,则 an = 3an 1 + 2t

∴ t = 1 ,于是 an + 1 = 3 ( an 1 + 1)

∴{an + 1} 是以 a1 + 1 = 2 为首项,以 3 为公比的等比数列。
∴ an = 2 3n 1 1
例.已知数列 {a n } 中, a1 = 2, a n +1 = 分析:两边直接加上

1 1 a n + , 求通项 a n . 2 2

d ,构造新的等比数列。 c 1 1 1 1 解:由 a n +1 = a n + , 得 a n +1 1 = ( a n 1) , 2 2 2 1 所以数列 {a n 1} 构成以 a1 1 = 1 为首项,以 为公比的等比数列 2 1 n 1 1 n 1 所以 a n 1 = ( ) ,即 a n = ( ) +1. 2 2
方法二:迭代法 由 递推式 a n +1 = ca n + d , 直接迭代得 a n = ca n 1 + d = c(ca n 2 + d ) + d = c a n 2 + d (c + 1)
2

= c a n 3 + d (1 + c + c ) = L = c n 1 a1 + d (1 + c + c 2 + L + c n 2 )
3 2

= (a +

d d )c n 1 . c 1 c 1
11

类型五专项练习题: 类型五专项练习题:

1、 在数列 {an } 中, a1 = 1 , an +1 = 2an + 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ( an = 3 2)
n

2、若数列的递推公式为 a1 = 1, an +1 = 2an 2( n ∈ 3、已知数列{a n }中,a 1 =1,a n =

*

) ,则求这个数列的通项公式 an = 2 2n 1

1 a n 1 + 1 ( n ≥ 2) 求通项 a n . an = 2 21 n 2 1 1 11 1 n 4、在数列 {an } (不是常数数列)中, an +1 = an + 2 且 a1 = ,求数列 {an } 的通项公式. an = 4 2 2 3 3
5、在数列{an}中, a1 = 1, a n +1 = 3 a n 1, 求 a n .

an =

1 + 3n 1 2

6、已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2an + 1( n ∈ N ). 求数列 {an } 的通项公式. an = 2 1
*

n

7、设二次方程 a n x 2 - a n+1. x+1=0(n∈N)有两根α和β,且满足 6α-2αβ+6β=3. (1)试用 a n 表示 a n +1 ;

an +1 =

1 1 an + 2 3

(2)求证:数列 an 是等比数列;



2 3

7 (3)当 a1 = 时,求数列 {an } 的通项公式 6
8、在数列 {an } 中, Sn 为其前 n 项和,若 a1 = 不是等比数列? 是

2 1 an = + 3 2

n

3 ,a2 = 2 ,并且 Sn +1 3S n + 2Sn 1 + 1 = 0(n ≥ 2) ,试判断 {an 1} (n ∈ N ) 是 2

类型六: 类型六: a n +1 = pa n + f ( n) (1)若 f ( n) = kn + b (其中 k,b 是常数,且 k ≠ 0 ) (1)若 是常数, 方法: 方法:相减法 例1. 在数列 {a n } 中, a1 = 1, a n +1 = 3a n + 2n, 求通项 a n . ①

解:Q , a n +1 = 3a n + 2n,

∴ n ≥ 2 时, a n = 3a n 1 + 2(n 1) ,
两式相减得

a n +1 a n = 3(a n a n 1 ) + 2 .令 bn = a n +1 a n ,则 bn = 3bn 1 + 2
利用知 bn = 5 3 即
n 1

+2


a n +1 a n = 5 3 n 1 1

12

5 n 1 1 3 n . 2 2 5 n 1 1 亦可联立 ① ②解出 a n = 3 n . 2 2 3 例 2. 在数列 { an } 中, a1 = ,2a n a n 1 = 6n 3 ,求通项 a n . 2
再由累加法可得 a n = 解:原递推式可化为 2( a n + xn + y ) = a n 1 + x( n 1) + + y 比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为 2bn = bn 1 所以 {bn }是一个等比数列,首项 b1 = a1 6n + 9 =

9 1 ,公比为 . 2 2

9 1 n 1 1 n ( ) 即: a n 6n + 9 = 9 ( ) 2 2 2 1 n 故 a n = 9 ( ) + 6n 9 . 2 ∴ bn =
(2)若 f ( n) = q n (其中 q 是常数,且 n ≠ 0,1) ①若 p=1 时,即: a n +1 = a n + q ,累加即可.
n

②若 p ≠ 1 时,即: a n +1 = p a n + q ,
n

求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 p n +1 . 即:

a n +1 a n 1 p n a 1 p = n + ( ) ,令 bn = nn ,则 bn +1 bn = ( ) n , n +1 p q p q p q p

然后类型 1,累加求通项. ii.两边同除以 q n +1 . 即:

a n +1 p a n 1 = + , q n +1 q q n q

令 bn =

an p 1 ,则可化为 bn +1 = bn + .然后转化为类型 5 来解, n q q q

iii.待定系数法: 设 a n +1 + λ q
n +1

= p (a n + λ p n ) .通过比较系数,求出 λ ,转化为等比数列求通项.

例 1.(2003 天津理) 设 a 0 为常数,且 a n = 3 n 1 2a n 1 (n ∈ N ) .

1 证明对任意 n ≥1, a n = [3 n + (1) n 1 2 n ] + (1) n 2 n a 0 ; 5
n 证法 1:两边同除以(-2) ,得

an a 1 1 3 = n n 1 + ( ) n n 3 2 (2) (2)

13

令 bn =

an 1 3 n ,则 bn bn 1 = ( ) n 3 2 (2)

∴ bn = (bn bn 1 ) + (bn 1 bn 2 ) + L + (b2 b1 ) + b1
=

1 3 n 3 n 1 3 2 a1 ( 2 ) + ( 2 ) + L + ( 2 ) + 2 3

3 3 ( ) 2 [1 ( ) n 1 ] 1 1 2 2 (1 2a 0 ) = 3 2 3 1 ( ) 2 1 3 n = L = [( ) 1] + a 0 5 2 1 ∴ a n = (2) n bn = L = [3 n + (1) n 1 2 n ] + (1) n 2 n a 0 . 5
证法 2:由 a n = 3 n 1 2a n 1 (n ∈ N ) 得

an 3
n

=

1 2 a n 1 . 3 3 3 n 1

设 bn =

an 3
n

,则 b n =

2 1 1 2 1 bn 1 + . 即: bn = (bn 1 ) , 3 3 5 3 5 1 2 1 2 = ( a 0 ) 为首项, 为公比的等比数列. 5 3 5 3

所以 bn 是以 b1 则 bn 即:



1 5

1 2 1 2 1 2 = ( a 0 )( ) n 1 = ( a 0 )(1) n 1 ( ) n , 5 3 5 3 5 3

1 2 1 = bn = ( a 0 )(1) n 1 ( ) n + , 5 3 5 3
n

an

1 故 a n = [3 n + (1) n 1 2 n ] + (1) n 2 n a 0 . 5
评注:本题的关键是两边同除以 3 n ,进而转化为类型 5,构造出新的等比数列,从而将求一般数列的通项问题转化为 求等比数列的通项问题. 证法 3:用待定系数法 设 a n + λ 3 = 2( a n 1 + λ 3
n n 1

) , 即: a n = 2a n 1 5λ 3 n 1 ,
1 5
所以 a n

比较系数得: 5λ = 1 ,所以 λ =

1 n 1 3 = 2(a n 1 3 n 1 ) , 5 5

n 所以数列 a n 3 是公比为-2,首项为 a1 3 的等比数列. 5 5

∴ an

3n 3 = (1 2a0 )(2) n 1 ( n ∈ N ). 5 5

1 即 a n = [3 n + (1) n 1 2 n ] + (1) n 2 n a 0 . 5

14



设在数列 {an } 中, a1 = 1 , an =

1 an 1 + 2n 1( n ≥ 2 ) 求数列 {an } 的通项公式。 2

解析:设 bn = an + An + b

∴ an + An + B =

1 an 1 + A ( n 1) + B 2

A +2=0 A = 4 2 展开后比较得 A + B 1 = 0 B = 6 2 2
这时 bn =

1 bn 1 ( n ≥ 2 ) 且bn = an 4n + 6 2 1 ∴{bn } 是以 3 为首项,以 为公比的等比数列 2

1 ∴ bn = 3 2 1 即 3 2
n 1

n 1

1 = an 4n + 6 ,∴ an = 3 2

n 1

+ 4n 6

例 在数列 {an } 中, a1 = 2 , an = 2an 1 + 2 解析:Q an = 2an 1 + 2
n +1

n +1

( n ≥ 2 ) 求数列 {an } 的通项公式。

( n ≥ 2)
an an 1 a a n 1 = 2 ∴ n 是以 1 =1 为首项,2 为公差的等差数列。 n n 2 2 2 2
n

∴ an 2an 1 = 2n +1 ,两边同除以 2n 得



an = 1 + ( n 1) × 2 = 2n 1 2n

即 an = 2
n

( 2n 1)

例 在数列 {an } 中, a1 = 5 , an = 2an 1 + 2 1 n ≥ 2, n ∈
n

(

N

*

) 求数列 {a } 的通项公式。
n

解析:在 an = 2an 1 + 2 1 中,先取掉 2n ,得 an = 2an 1 1 令 an + λ = 2 ( an 1 + λ ) ,得 λ = 1 ,即 an 1 = 2( an 1 1) ; 然后再加上 2n 得 ( an 1) = 2 ( an 1 1) + 2
n



( an 1) 2 ( an1 1) = 2n
两边同除以 2n ,得

an 1 an 1 1 n 1 = 1; 2n 2

a 1 a 1 ∴ n n 是以 1 = 2 为首项,1 为公差的等差数列。 2 2

15



an 1 = 2 + ( n 1) = n + 1 , 2n

∴ an = 2n ( n + 1) + 1

评注:若 f ( n) 中含有常数,则先待定常数。然后加上 n 的其它式子,再构造或待定。 例 已知数列 {a n } 满足 a n + 1 = 3a n + 5 2 n + 4,a 1 = 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解析:在 an +1 = 3an + 5 2 + 4 中取掉 5 2 待定
n
n

令 an +1 + t = 3 ( an + t ) ,则 an +1 = 3an + 2t

∴ 2t = 4 ,

t = 2 ;∴ an+1 + 2 = 3 ( an + 2 ) , 再加上 5 2n 得, an +1 + 2 3 an + 2 5 = , 2n +1 2 2n 2

∴ an+1 + 2 = 3 ( an + 2 ) + 5 2n ,整理得:


an + 2 3 5 = bn ,则 bn +1 bn = n 2 2 2 3 3 t 令 bn +1 + t = ( bn + t ) , bn +1 = bn + ; 2 2 2 t 5 ∴ = , t = 5; 2 2 3 a +2 13 3 即 bn +1 + 5 = ( bn + 5 ) ;∴ 数列 {bn + 5} 是以 b1 + 5 = 1 + 5 = 为首项, 为公比的等比数列。 2 2 2 2

∴ bn + 5 =

13 3 2 2

n 1

,即

an + 2 13 3 +5 = n 2 2 2

n 1

;整理得 an = 13 3

n 1

5 2n 2

专项练习题: 类型 5 专项练习题: 1、设数列 {an } 的前 n 项和 S n =

4 1 2 an 2 n +1 + ( n ≥ 1, n ∈ N * ) ,求数列 {an } 的通项公式。 3 3 3

(a

n

= 4n 2n ) 1 , 点 ( n, 2an +1 an ) 在直线 y = x 上,其中 n = 1, 2, 3LL. 2

2、已知数列 {an } 中, a1 =

(1) 令 bn = an +1 an 1, 求证:数列 {bn } 是等比数列; (2) 求数列 {an } 的通项 ; 3、已知 a1 = 2 , an +1 = 4an + 2
n +1

3 an = n + n 2 2 an = 4 n 2 n
n 1

,求 an 。

4、设数列 {a n } : a1 = 4, a n = 3a n 1 + 2n 1, ( n ≥ 2) ,求 a n . an = 4 3

n 1 2n 1

5、已知数列 {a n } 满足 a1 = 2, an +1 = 2an + (2n 1) ,求通项 a n an = 5 2 6、在数列 {a n } 中, a1 =

n 1

3 9 , 2a n a n 1 = 6n 3 ,求通项公式 a n 。 an = n 2 2
16

5 1 1 n+1 2 7、已知数列 {a n } 中, a1 = , a n +1 = a n + ( ) ,求 a n 。 an = 2 6 3 2 3
8、已知数列{a n } a 1 =1, n∈N + ,a n +1 = 2a n +3 ,
n

n

,求通项公式 a n . an = 3 2
n

n

9、已知数列 {a n } 满足 a n +1 = 3a n + 2 3 n + 1,a 1 = 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an = (2n ) 3
n

5 6

1 2

10、若数列的递推公式为 a1 = 1, an +1 = 3an 2 3

n +1

(n ∈ ) ,则求这个数列的通项公式

7 an = 3n ( 2n) 3
11、已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 3an + 2
n +1

,求 an .

an = 5 3n 1 2n +1
n 1

12、 已知数列 {a n } 满足 a n +1 = 2a n + 3 2 n , a 1 = 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an = (3n 1) 2 13、已知数列 {a n } 满足 a n +1 = 2a n + 3 5 n ,a 1 = 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an = 5 + 2
n n 1

14、 已知 a1 = 1 , an = an 1 + 2

n 1

,求 an 。

an =

2n + 1 3
1 an = 2 n n 2

15、 已知 {an } 中, a1 = 1 , an = 2an 1 + 2 ( n …2) ,求 an .
n

16、已知数列 {a n } 中, S n 是其前 n 项和,并且 S n +1 = 4an + 2( n = 1, 2,L), a1 = 1 , ⑴设数列 bn = a n +1 2a n ( n = 1,2, LL) ,求证:数列 {bn } 是等比数列; ⑵设数列 c n =

an , (n = 1,2, LL) ,求证:数列 {c n }是等差数列; 2n
n 1

⑶求数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和。 an = 2

+ 3(n 1) 2 n 2 ; sn = 3n 1) 2n + 2 (

类型七: 类型七: Aan +1 + Ban + Can 1 = 0; ( 其中A,B,C为常数,且A B C ≠ 0 )
1、已知数列 {a n } 中, a1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2
n 1 2 1 3 1 = a n+1 + a n ,求 a n 。 an = 1 + 1 3 3 4 3

5 5 2 2 2、 已知 a1=1,a2= , an + 2 = an +1 - an ,求数列{ an }的通项公式 an . an = 3 3 3 3 3 3
3、已知数列 {a n } 中, S n 是其前 n 项和,并且 S n +1 = 4an + 2( n = 1, 2,L), a1 = 1 , ⑴设数列 bn = a n +1 2a n ( n = 1,2, LL) ,求证:数列 {bn } 是等比数列;

n

17

⑵设数列 c n =

an , (n = 1,2, LL) ,求证:数列 {c n }是等差数列; 2n
n 1

⑶求数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和。 an = 2

+ 3(n 1) 2 n 2 ; sn = 3n 1) 2n + 2 (

4、数列 {a n } : 3an + 2 5an +1 + 2an = 0( n ≥ 1, n ∈ N ) , a1 = a, a 2 = b ,求数列 {a n } 的通项公式

2 an = 3b 2a + 3(a b) 3

n 1

类型八: 类型八: an +1 =
1、若数列的递推公式为 a1 = 3,

c an (c pd ≠ 0) pan + d

1 1 3 = 2(n ∈ ) ,则求这个数列的通项公式。 an = 7 6n an +1 an
1 2n 1

2、已知数列{ a n }满足 a1 = 1, n ≥ 2 时, a n 1 a n = 2a n 1 a n ,求通项公式 a n 。 an = 3、已知数列{an}满足: a n =

a n 1 1 , a1 = 1 ,求数列{an}的通项公式。 an = 3 a n1 + 1 3n 2
an 2 , 求 a n . an = n 1 an + 3 2 3 1

4、设数列 {a n } 满足 a1 = 2, an +1 =

5、已知数列{ a n }满足 a1=1, a n +1 =

3a n 1 ,求 a n an = n 3a n + 6 2 1
3an 6 ,求数列 {an } 的通项公式. an = an + 3 2n + 1

6、 在数列 {an } 中, a1 = 2, an +1 =

7、若数列{a n }中,a 1 =1,a n +1 =

2a n an + 2

n∈N + ,求通项 a n . an =

2 n +1

类型九: 类型九: S n = f ( an ) 例 已知数列 {a n } 前 n 项和 S n = 4 a n

解 决 方法→
. (2)求通项公式 a n .

(n = 1) s an = 1 sn sn 1 (n ≥ 2)

1 2 n2

(1) 求 a n+1 与 an 的关系;

解析: (1) 1) n = 1 时, a1 = s1 = 4 a1 2 ,得 a1 = 1 ;

2 ) n ≥ 2 时, an = sn sn 1 = 4 an
得 an +1 =

1 2
n2

4 + an 1 +

1 2 n 3



1 1 an + n 。 2 2
18

(2)在上式中两边同乘以 2

n+1

得2

n +1

an +1 2n an = 2 ;

∴数列 2 n an 是以 21 a1 = 2 为首项,2 为公差的等差数列; ∴ 2n an = 2 + 2n 2 = 2n ;得 an =
类型九专项练习题: 类型九专项练习题: 专项练习题 1、数列{an}的前 N 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn ( n ∈ N * ) .求数列{an}的通项 an。 an = 3 2、已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和 Sn 满足 S n =
n 1

{

}

n 。 2n 1

1 (an + 2) 2 ,求数列 {an } 的通项公式. 8

an = 4 n 2
3、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn = 3 – 2, 求数列{an}的通项公式. an =
n

(n = 1) 1 n 1 2 3 (n ≥ 2)
n 1

4、设正整数{an}的前 n 项和 Sn = (a n + 1) 2 ,求数列{an}的通项公式. an = 3
3 2

1 4

5、如果数列{an}的前 n 项的和 Sn = a n 3 , 那么这个数列的通项公式是 an = 23
*

n

6、已知无穷数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,并且 an + S n = 1( n ∈ N ) ,求 {a n } 的通项公式?

an = 2 n 类型十:周期型
例 1、若数列 {a n } 满足 a n +1

1 2 a n , (0 ≤ a n ≤ 2 ) 6 = ,若 a1 = ,则 a 20 的值为___________。 7 2a 1, ( 1 ≤ a < 1) n n 2

解析:根据数列 {a n } 的递推关系得它的前几项依次为:

6 5 3 6 5 3 6 , , , , , , LL ;我们看出这个数列是一个周期数列,三项为一个周期; 7 7 7 7 7 7 7 5 ∴ a20 = a2 = . 7
评注:有些题目,表面看起来无从下手,但你归纳出它的前几项后,就会发现规律,出现周期性,问题就迎刃而解。 类型八专项练习题: 1、已知数列 {a n } 满足 a1 = 0, a n +1 =

an 3 3a n + 1

(n ∈ N * ) ,则 a 20 = ( B
3 2
-4



A.0

B. 3

C. 3

D.

2、在数列 {a n } 中, a1 = 1, a 2 = 5, a n + 2 = a n+1 a n , 求a1998.
19

类型十一、 类型十一、利用数学归纳法求通项公式 十一
例1 已知数列 {a n } 满足 a n +1 = a n +

(2n + 1) 1 8(n + 1) 8 ,a 1 = ,求数列 {a n } 的通项公式。 an = 2 2 9 (2n + 1) 2 (2n + 1) (2n + 3)
2

解析:根据递推关系和 a1 =

8 24 48 得, a2 = , a3 = ,LL 9 25 49

(2n + 1)2 1 所以猜测 an = ,下面用数学归纳法证明它; (2n + 1) 2

1) n = 1 时成立(已证明) 2 ) 假设 n = k (k ≥ 2) 时,命题成立,即 ak = (2k + 1) 2 1 , (2k + 1) 2

则 n = k + 1 时, ak +1 = ak +

8 ( k + 1) 8(k + 1) (2k + 1) 2 1 = + 2 2 2 2 2 (2k + 1) (2k + 3) (2k + 1) ( 2k + 1) ( 2k + 3)

=

16k 4 + 64k 3 + 84k 2 + 44k + 8

( 2k + 1) ( 2k + 3)
2

2

( 2k + 1) ( 2k + 3) 1 ( 2k + 3) 1 = 。 = 2 2 2 ( 2k + 1) ( 2k + 3) ( 2k + 3)
2 2 2

∴ n = k + 1 时命题成立;
由 1) 2 ) 可知命题对所有的 n ∈ N 均成立。
*

评注:归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。 类型九专项练习题: 1. 设数列 {a n } 满足: a n +1 = a n na n + 1 ,且 a1 = 2 ,则 a n 的一个通项公式为
2

an = n + 1 ,

2、已知 {a n } 是由非负整数组成的数列,满足 a1 = 0 , a 2 = 3 , a n +1 a n = ( a n 1 + 2)(a n 2 + 2) (n=3,4,5…) 。 (1)求 a3 ; 2 (2)证明 a n = a n 2 + 2 (n=3,4,5…) ;(数学归纳法证明)

n 1 (3)求 {a n } 的通项公式及前 n 项的和。 an = n + 1
3、已知数列 {an } 中 a1 = (1) (2)

n2 + n + 2 (n为奇数) 2 ; sn = 2 (n为偶数) n + n 2

(n为奇数) (n为偶数)

an 3 , an +1 = 。 5 2 an + 1 3 3 3 ; ; 11 17 23 3 6n 1
20

计算 a2 , a3 , a4 。

猜想通项公式 an ,并且数学归纳法证明。 an =

递推数列的通项公式的求法,虽无固定模式,但也有规律可循;主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法,或是 转化为等差或等比数列的方法解决;再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决,同学们应归纳、总结它们的 规律,通过练习,巩固掌握它。
r 类型十二 为常数) 类型十二. a n +1 = pa n (其中 p,r 为常数)型

例. 设正项数列 {a n } 满足 a1 = 1 , a n = 2a n 1 (n≥2).求数列 {a n } 的通项公式.
2

(1)p>0, a n > 0

用对数法.

解:两边取对数得:log 2n = 1 + 2 log 2n 1 ,log 2n + 1 = 2(log 2n 1 + 1) ,设 bn = log 2n + 1 ,则 bn = 2bn 1
a a a a

a

{bn }

是以 2 为公比的等比数列, b1 = log 2 + 1 = 1
1

bn = 1 × 2 n1 = 2 n1 , log + 1 = 2 n 1 , log
an 2

an 2

= 2 n1 1 ,∴
答案:

练习 数列 {a n } 中, a1 = 1 , a n = 2 a n 1 (n≥2) ,求数列 {a n } 的通项公式.

an = 22

n1

1

a n = 2 22

2n

(2)p<0 时 用迭代法. 例.(2005 江西卷) 已知数列 {a n }的各项都是正数, 且满足 : a 0 = 1, a n +1 = (1)证明 an < an +1 < 2, n ∈ N ; 解: (1)略 (2) a n +1 =

1 a n (4 a n ), n ∈ N , 2

(2)求数列 {a n } 的通项公式 an.

1 1 a n ( 4 a n ) = [ ( a n 2) 2 + 4], 2 2 所以 2( a n +1 2) = ( a n 2) 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 令bn = a n 2, 则bn = bn 1 = ( bn 2 ) 2 = ( ) 2 bn 1 = L = ( ) 1+ 2 +L+ 2 bn 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 1 2 n 1 bn = ( ) , 即 a n = 2 + bn = 2 ( ) . 2 2
2 n 1

n



b n= - 1 , 所 以

方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试. 解法 3:设 c n = bn ,则 c n =

1 2 c n 1 ,转化为上面类型(1)来解. 2

21



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