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抛物线的性质第一节课


抛物线的几何性质

一、温故知新
定义:在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等 的点的轨迹叫 抛物线.
图 l y
O

抛物线的定义及标准方程
形 标准方程
焦点坐标 准线方程

F

x

y2

=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2

p x?? 2
p x? 2

y
F

l
O

x

p (? ,0) 2
p ( 0, ) 2

y
F
O

l

x

p y?? 2
p y? 2

y
l
O F

x

p x2=-2py (0, ? ) (p>0) 2

二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1、

范围

y

由抛物线y2 =2px(p>0) 有 2 px ? y 2 ? 0

所以抛物线的范围为 x ? 0
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也 增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

x?0 ?

p?0

o

p F ( ,0 ) 2

x

2、

对称性
关于x轴

y

( x, y)

对称

( x, ? y )
2

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点
y

定义:抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。

?

o

y2

= 2px (p>0)中,

F(

p ,0 ) 2

x

令y=0,则x=0. 即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0). 注:这与椭圆有四个顶点不同。

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比,叫做 抛物线的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。

(二)归纳:抛物线的几何性质
图 形
y
l
O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈ R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( , 0 ) x ? ? x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0 ) x ? 2 x(p>0) 2
p x2 = 2py p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0)

y∈R
(0,0) 1

y
O

F

y≥0
x∈R y轴 y≤0

l

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2 x2

l

x∈R

特点:
y2=4x 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=2x y 限延伸,但它没有渐近线; y2=x 1 2 y = x 2.抛物线只有一条对称轴,没有
4 3 2 1

2

P(x,y)

-2

2

4

6

8

10

对称中心;

-1

-2

3.抛物线只有一个顶点、
-3 -4

o

F(

p ,0 ) 2

x

一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔

-5

补充(1)通径: (标准方程中2p的几何意义)
y

通过焦点且垂直对称轴的直线, 与抛物线相交于两点,连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
O

P ( x0 , y0 )
F
x

通径的长度:2P

P越大,开口越开阔

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 (2)焦半径: 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫

做抛物线的焦半径。
焦半径公式:|PF|=x0+p/2

(三)应用一:由方程确定性质,由性质确 定方程
x 轴对称,它的顶点在坐标 例1 已知抛物线关于 原点,并且经过点 M ?2,?2 2 ? ,求它的标准方程,并 用描点法画出图形.
解:由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0) 则将M点代入得:(?2 2 ) 2 = 2p×2 因此所求方程为:y2=4x 列表:
o

解得:p=2

x y

0 0.25 1 2.25 4 0 1 2 3 4

6.25 … 5 … 描点及连线:

例2:已知抛物线 x ? ?8 y上一点M到准线的 y 距离为4,求点M的坐标。
2

L

变式:已知抛物线 y ? 8x上一点M 到焦点的距离为6,求点M的坐标。
2


y
O

分析:如图所示可设 M点的坐标为M(x,-2), 则将该点坐标代入抛物 线标准方程即可求得点 M的横坐标x。

L

4

.. .
x (x,-2)O M(-4,-2) F(0,-2) M(4,-2)
M(x,4) F(2, 0)



.x
(2,y) M(x,-4)

6

例3:抛物线以椭圆 以椭圆的右焦点为焦点,求抛物线的标准方程。

x2 y2 ? ? 1 的中心为顶点, 12 8

分析:
1、椭圆的中心在 原点(0,0) 2、椭圆的焦点在

x

轴上,且右焦点坐标为 F2(2,0)

3、故抛物线的焦点坐标为 F(2,0) ,焦点在X轴正半轴 上 4、故抛物线的标准方程为

y ? 8x
2



(四)应用二:抛物线内接三角形问题
例1、正三角形的一个顶点 位于坐标原点,另外 两个顶点在抛物线 y ? 2 px(p ? 0)上,求这个
2

正三角形的边长 .

y A

O B

x

解:如图,设正三角形 OAB的顶点A、B在抛物 线上,且坐标分别为( x1,y1 )、(x2,y2 ),则 y ? 2 px1,
2 1

y ? 2 px2 .
2 2 2 1 2 1 2 2 2 2

又 | OA |?| OB | ,所以:x ? y ? x ? y , 2 即:x12 ? x2 ? 2 px1 ? 2 px2 ? 0, y A ? (x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 2 p) ? 0. ? x1 ? 0,x2 ? 0, 2 p ? 0, ? x1 ? x2 .
O

x

B 由此可得 | y1 |?| y2 | ,即线段AB关于x轴对称.

因为x轴垂直于AB,且?AOx ? 30o,所以 y1 3 o ? t an30 ? . x1 3 y ? x1 ? , 2p ? y1 ? 2 3 p. ? | AB |? 2 y1 ? 4 3 p.
2 1

y

A x B

O

课堂练习
1.一个正三角形的三个顶点,都在抛物线 y ? 4 x 上,其中一个顶点为坐标原点,则这个三角形的面积 为 48 3 。
2

2.等腰直角三角形AOB内接于抛物y2=2px(P>0),O 为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为

A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2

例2、已知直线 l: x=2p 与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A 、 B 两点, y 求证:OA⊥OB. y2=2px A 证明:由题意得,A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1,KOB =-1 因此OA⊥OB 推广1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 两点,求证:OA⊥OB. 证明:设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p 代入y2=2px得, k 2 x 2 ? (4 pk2 ? 2 p) x ? 4 p 2k 2 ? 0 2 x ? x ? 4 p 可知 A B 2 2 又 yA ? yB ? 4 p 2 xA xB ? 16 p 2
O

C(2p,0) B
L:x=2p

x

y 2 =2px(p>0)交于A、B
y

A

y2=2px

O

C(2p,0)

x

? y A ? yB ? ?4 p 2 ? xA xB ? y A yB ? 0
所以OA⊥OB.

B
l

2 y 推广 2 : 若直线 l 与抛物线 =2px(p>0) 交于 A 、 B 两点,且 OA⊥OB ,则__________ 直线l过定点(2p,0)

验证:由

?

y2 A ? 2 px A 2 yB ? 2 px B



k AB ?

y A ? yB 2p ? x A ? xB y A ? yB

2p 2p y A yB ( x ? xA ) 即 y ? (x ? ) 所以直线l的方程为 y ? y A ? y A ? yB y A ? yB 2p 2 y y ? ? 4 p 而因为OA⊥OB ,可知 x A xB ? y A yB ? 0 推出 A B ,代入

2p ( x ? 2 p) 得到直线l 的方程为 y ? y A ? yB
所以直线过定点(2p,0).

y

A y2=2px
C(2p,0)
x

O

B
l

(六)课堂小结:
抛物线是一种常见的圆锥曲线,我们要 掌握它的定义、标准方程及几何性质,并能 灵活运用它们解决生活中实际的问题。

(七)作业布置:
课本P139 课堂练习2;课后练习3 。


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