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等差数列综合9份 (2)


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数列的概念
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、数列的分类:有穷数列:项数有限的数列. 无穷数列:项数无限的数列. 递增数列:从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列. 递减数列:从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列. 常数列:各项相等的数列. 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 4、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式.

等差数列
一、定义: 通项公式: 或
a?b 或 2A ? 2

如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ? 前 n 项和: 二、等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定方法: (1)定义法:若 (3)数列 ?an ? 是等差数列 ? (4)数列 ?an ? 是等差数列 ? 2、等差数列的证明方法: 定义法:寻找 3、性质: ?an ? 是等差数列,则 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2) (3) 4、前 n 项和 Sn 具有的性质: (1) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数列,公差为 n d ;
2

a?b



或 ; .

(2)等差中项:数列 ?an ? 是等差数列 ?

(常数 n ? N ) ? ?an ? 是等差数列;
?





(常数 n ? N ) ? ?an ? 是等差数列
?

(2)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
(3)项数为偶数 2 n 的等差数列 ?an ? 有 ,
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am S2 m ?1 ? bm T2 m ?1

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S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1
有 S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项 ), ,

(4)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1


1.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13 等于( A.120 B.105 C.90 D.75 ( ) ) 2.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于 A.4 B.5 C.6 D.7 A. 8 B. 7 C. 6

3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? ( D. 5

4.设函数 f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ?1 ,数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则

a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? (
A.0

) B.7 C.14 D.21 )

5.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于( A.13 B.35 C.49 D. 63

6.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 7.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ? 8.设{ an }为等差数列,公差 d = -2, Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A.18 B.20 C.22

. . )

D.24 )

9.在等差数列 ?an ? 中,若 a4+a6=12,Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S9 的值为( A.48 B.54 C.60 D.66 )

10.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.-1

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
C.2

D.

1 2

11.设数列 ?a n ?的首项 a 1 ? ?7, 且满足a n ?1 ? a n ? 2 (n ? N) ,则 a 1 ? a 2 ? ? ? a 17 ? _____________. 12.已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = __________. 13.已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1 ?

1 ,S2=a3,则 a2=______,Sn=_______. 2

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例题: 1.等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 ? 30, a20 ? 50. (Ⅰ)求通项 an ; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.

2 已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1, a5 ? ?5 .(1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的 最大值.

3.已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

4.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?

2 an

1 * (n? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . ?1

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5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= 2n 2 ? n ,n∈N ,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N .
﹡ ﹡

(1)求 an,bn; (2)求数列{an ? bn}的前 n 项和 Tn.

6.已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 2 , a3 ? 18; ?bn ?也是等差数列, a 2 ? b2 ? 4 ,

b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? a1 ? a2 ? a3 . (1)求数列 ?bn ?的通项公式及前 n 项和 S n 的公式; (2)数列 ?an ? 与 ?bn ?是否有相同的项? 若有,在 100 以内有几个相同项?若没有,请说明理由.

7.设 ?a n ?为等差数列, S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,已知 S 7 ? 7 , S15 ? 75 , T n 为数列 ? 求 Tn .

?Sn ? ? 的前 n 项和, ?n ?

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等比数列
1. 等比数列的定义: 2. 通项公式: , q 称为公比 ,首项: a1 ;公比: q

推广: 3. 等比中项 (1)如果 a, A, b 成等比数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: 或 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? 4. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1) 当 q ? 1 时, (2) 当 q ? 1 时, 5. 等比数列的判定方法 (1)用定义:对任意的 n,都有 (2) 等比中项: (3) 通项公式: (4) 前 n 项和公式: 6. 等比数列的证明方法 依据定义:寻找 或

? {an } 为等比数列 ? {an } 为等比数列 ? {an } 为等比数列 ? {an } 为等比数列 ? {an } 为等比数列

7. 等比数列的性质 (1) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ? N * ),则 .特别的,当 n+m=2k 时,得

k (2) 数列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 { } , {k ? an } , {an k }, (k 为非零常数) 均为等比数列. an
(3) 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列, (4) 若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (5)在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n ? N * )时,

S奇 1 ? , S偶 q

(6)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 Sn?m ? Sn ? qn ? Sm
例 1、 (1)等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128,前 n 项和 Sn=126,求 n 和公比 q.

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(2)等比数列中,q=2,S99=77,求 a3+a6+…+a99;

12.设数列

?an ?的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, Sn+1 = 3Sn + 2 ? n= 1, 2, 3 ?.

(Ⅰ)求证数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ)求通项公式 an ;

{

}

例 2 .已知数列 {an } 为正项等比数列, a3

? 8, a5 ? 32, bn ? log2 an

(1)求 an 的通项公式; (2)设 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求 S n

例 3 .设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1

? 1, Sn?1 ? 4an ? 2

(I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式.

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3 .已知等比数列 {an } 中, a1 ? 3, a4 ? 81 (n ? N* ) .

(Ⅰ)若 {bn } 为等差数列,且满足 b2 ? a1 , b5 ? a2 ,求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? log3 an ,求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

4 .设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn

? tSn?1 ? n ( n ? 2 , n ? N* ,t 为常数) ,且 a1 ? 1 .

(Ⅰ)当 t ? 2 时,求 a2 和 a 3 ;

(Ⅱ)若 {an ? 1} 是等比数列,求 t 的值;

5 .已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

且满足 Sn ? 2an ? n , (n ? 1, 2,3,.....)

( I ) 求 a1, a2 , a3 的值; (II) 求证数列 {an ? 1 } 是等比数列; ( III ) 若 bn ? nan , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

求和的三种方法
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一.分组求和 1.数列{(-1) (2n-1)}的前 2 012 项的和 S2 012=________
n

2.数列 1 ,3 ,5 ,7

1 2

1 4

1 8

1 1 ,…,(2n-1)+ n ,…的前 n 项和 Sn 的值等于 16 2

二.错位相减法 求和:Sn=
1 2 3 n + + +… + n . a a 2 a3 a

1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an=n· 2n,则 Sn=______________

2.数列{an}中a1=3,已知点(an,an+1)在直线y=x+2上; (1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an· 3n,求数 列{bn}的前n项和Tn.

3.已知等差数列{an}和正项等比数列{bn},a1=b1=1,a3+a5+a7=9,a7 是 b3 和 b7 的等比中项.
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(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn=2anb2 n,求数列{cn}的前 n 项和 Tn;

三.裂项求和 已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S 2 n =an(Sn- ). (1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn=
Sn ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n ? 1

1 2

1 2 n 2 2.在数列{an}中,an= + +…+ ,又 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和. n+1 n+1 n+1 an· an+1

1.已知数列{an}是首项 a1=1 的等比数列,且 an>0,{bn}是首项为 1 的等差数列,又 a5+b3=21,a3+b5= 13.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和 Sn. 2an

bn

1 2.已知等比数列{an}的首项为 a1= ,公比 q 满足 q>0 且 q≠1.又已知 a1,5a3,9a5 成等差数列. 3
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(1)求数列{an}的通项; 1 1 1 1 (2)令 bn=log3 ,求 + +…+ 的值. an b1b2 b2b3 bnbn+1

1.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn an-1

1 1 1 1 1 2.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=2( + ),a3+a4+a5=64( + + ). a1 a2 a3 a4 a5 (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=(an+ )2,求数列{bn}的前 n 项和 Tn an

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