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高三一轮复习资料(4)-Nike函数的图象和性质


专题:Nike 函数的图象和性质
【复习要求】
1、掌握耐克函数的图像与性质; 2、会用耐克函数处理函数最值等问题; 3、会解含参数的耐克函数的最值问题

【知识板块】
函数 y ? x ?

1 你还记得吗?我们都研究了这个函数的哪些性质? x

(1) 定义域是____________

(2) 值域是____________ (3) 奇偶性是___________ (4) 单调性是___________ (5) 最值是_____________

函数 y ? x ?

a ?a ? 0? 你还记得吗?我们都研究了这个函数的哪些性质?请画出图像再回答: x

(6) 定义域是___________
y
y= x

(7) 值域是___________ (8) 奇偶性是___________ (9) 单调性是___________ (10) 最值是_____________ 思考: y ? x ?
O
y =x+

a
x

x

a ?a ? 0? 时,函数的以上性质有哪些变化? x

1

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【例题板块】

【例题】求函数

y ? 2x ?

3 x

的单调区间,并用函数单调性定义证明之。

?

函数 y ? 4 x ?

9 , x ? [3,5] 的最大、最小值? x

【例题】 f ( x) ?

4x 2 ? 2x ? 2 1 ( x ? ? ) 的值域. 2x ? 1 2

?

已知 t ? 0 ,求函数 y ?

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为. t

?

求 f ( x) ?

x ?1 ( x ? 1) 的值域。 x ?x?2
2

?

求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域

【例题】若 x, y ? R? , xy ? y ? 3, 求 x ? y 的最小值是;

?

? 若 x, y ? R , x ? y ? xy ? 2 求 x ? y 的最小值是;

2

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a 【例题】已知函数 f ( x) ? 2 x ? 的定义域为 ? 0, 2? ( a 为常数). x

(1)证明:当 a ≥ 8 时,函数 y ? f ( x) 在定义域上是减函数; (2)求函数 y ? f ( x) 在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.

?

已知 f ( x ) ? x ?

b ? 3, x ? [1,2] x

(1) b ? 2 时,求 f ( x) 的值域; (2) b ? 2 时, f ( x) 的最大值为 M ,最小值为 m,且满足: M ? m ? 4 ,求 b 的取值范围.

?

已知函数 y ? x ? 是增函数.

a 有如下性质:如果常数 a ? 0 ,那么该函数在 (0, a ] 上是减函数,在 [ a ,??) 上 x

(1)如果函数 y ? x ?
2

3m , ( x ? 0) 的值域是 [6,??) ,求实数 m 的值; x
a ( a ? 0 ) 在 x ? [1,2] 上的最小值 g (a ) 的表达式. x2

(2)求函数 f ( x) = x +

3

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?

已知函数 y ? x ? ∞ ) 上是增函数.

a 有如下性质:如果常数 a >0,那么该函数在 ( 0, a ] 上是减函数,在 [ x

a ,+

2b ( x >0)的值域为 [ 6,+∞ ) ,求 b 的值; x c 2 (2)研究函数 y = x + 2 (常数 c >0)在定义域内的单调性,并说明理由; x a a 2 (3)对函数 y = x + 和 y = x + 2 (常数 a >0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研 x x 1 n 1 2 n 究推广后的函数的单调性 (只须写出结论, 不必证明) , 并求函数 F ( x) = ( x ? ) + ( 2 ? x) ( n x x 1 是正整数)在区间[ ,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) . 2
(1)如果函数 y = x +

? (10 奉贤一模)设 h? x ? ? x ? (1)写出 h?4 x ? 的定义域;

m ?1 ? , x ? ? ,5? , 其中 m 是不等于零的常数, x ?4 ?

(2)求 h?x ? 的单调递增区间; (3)已知函数 f ( x) ( x ?[a, b]) ,定义: f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) ,
f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) . 其 中 , min{ f ( x) | x ? D} 表 示 函 数 f ( x) 在 D 上 的 最 小 值 , max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值. x ? [0, ? ] , () c o ? s , xx 0 , [] ? ? , 例如:f ( x) ? cos x , 则 f1 x f 2 ( x) ? 1, x ?[0, ? ] , 当 m ? 1 时, 设 M ?x ? ?

h?x ? ? h?4 x ? h?x ? ? h?4 x ? , 不等式 t ? M1 ?x? ? M 2 ?x? ? n ? 2 2

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【例题】若方程 2 x ? ax ? 1 ? 0 在 [3,??) 有解,求实数 a 的取值范围.
2

?

已知函数 f ( x) ? 2x?1 定义在 R 上. (1)若存在 x ,使得 f ( x) ? f (? x) ? a 成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 f ( x ) 可以表示为一个偶函数 g ( x) 与一个奇函数 h( x) 之和,设 h( x) ? t ,

p(t ) ? g (2 x) ? 2mh( x) ? m2 ? m ?1(m ? R) ,求出 p(t ) 的解析式;
(3)若对任意 x ? [1, 2] 都有 p(t ) ? m2 ? m ?1 成立,求实数 m 的取值范围.

【例题】某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场。如图,运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其他地方均铺设草皮。 已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为 30 元 (1) 设半圆的半径 OA=r (米),试建立跑道面积 S 与 r 的函数关系 S( r )。 (2) 由于条件限制 r ??30,40? ,问当 r 取何值时,运动场造价最低?(精确到元)

?

某隧道长 a m m,最高限速为 v0 m/s。一个匀速进行的车队有 10 辆车,每辆车长为 l m,相邻两车之 间距离 m m 与车速 v m/s 的平方成正比,比例系数为 k 。自第 1 辆车车头进隧道至第 10 辆车车尾离开 隧道,所用时间为 t ? s ? 。

(1)求出函数 t ? f ? v ? 的解析式,并求出其定义域; (2)求车队通过隧道时间 t 的最小值,并求出 t 取得最小值时 v 的大小。

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回顾总结:
1、通过 Nike 函数的图象,其性质都掌握了吗? 2、求 Nike 函数的最值,步骤是____________________________________ 3、 能转化为 Nike 函数的类型,具有的特点是____________________________________, 求解最值所用的方法是____________________________________, 用此种方法需要特别强调____________________________________ 4、含参数的 Nike 函数的最值,需要注意____________________________________ 5、 含参数恒成立和有解问题,常用的方法是________________________________ 6、复合函数的单调性判断的方法是________________________________________

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【巩固板块】

4 ?x ? 0?, a ? R ? . x (1) 、 (理)当 a ? 2 时,用函数单调性定义求 f ?x ? 的单调递减区间(6 分) (文)当 a ? 2 ,解不等式 f ?x ? ? 9 (6 分)
24、 (11 奉贤二模)设函数 f ? x ? ? ax ? (2) 、若连续掷两次骰子(骰子六个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6)得到的点数分别作为 a 和 b , 求 f ?x ? ? b 2 恒成立的概率; 设函数 f ( x) ? x ? (8 分) 16、 (11 徐汇一模) (本题满分 12 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分。

a , x ? ? 0, ?? ? 。 x ?1

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的最小值; (2)当 0 ? a ? 1 时,试判断函数 f ( x ) 的单调性,并证明。 13、 (2012 崇明一模 21) (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 ? a (a ? R) . x ?1

(1)用定义证明:当 a ? 3 时,函数 y ? f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数; (2)若函数 y ? f ( x) 在 ?1, 2? 上有最小值 ?1 ,求实数 a 的值. 25、 (2012 虹口区二模理 22) (本题满分 18 分) 已 知 : 函 数 g ? x ? ? ax ? 2ax ?1 ? b ? a ? 0, b ? 1? 在 区 间 ? 2, 3 ? 上的最大值 4,最小值 1,设函数
2

f ? x? ?

g ? x? , x

(1)求 a 、 b 的值及函数 f ? x ? 的解析式;
x x (2)若不等式 f 2 ? k ? 2 ? 0 在 x ?? ?1,1? 时上恒成立,求实数 k 的取值范围;

? ?

? 4 ? ?1 ? l ? ? x ? 3 ? ? 0 有三个相异的实数根,求实数 l 的取值范围. ? 2 ?1 ? ? ? 5 a 7、 (2013 年上海奉贤区一模 23) 【理】设函数 f ( x) ? x ? 定义域为 ( 0 , ? ? ) ,且 f (2) ? .设点 P 是 2 x
(3)如果关于 x 的方程 f

?2

x

?

N. 函数图像上的任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、
(1)写出 f ?x ? 的单调递减区间(不必证明) ; (4 分)

(2)问: PM ? PN 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由; (7 分) (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.(7 分) 18、 (2013 长宁、嘉定二模理 21) (本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? a ? (k ? 1)a
x ?x

(a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.
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7

(1)求 k 的值; 4、( (2014 杨浦一模理 20 文 20) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2) 小题满分 7 分 . 已知向量 m ? x 2 , 1 , n ? ?a , 1? 2ax ? ,其中 a ? 0 .函数 g ?x? ? m ? n 在区间 x ? ?2 , 3? 上有最大值为 4,设 f ? x ? ?

?

?

g ?x ? . x

(1)求实数 a 的值; (2)若不等式 f 3 x ? k 3 x ? 0 在 x ? ?? 1 , 1?上恒成立,求实数 k 的取值范围. 2)若 f (1) ?

? ?

3 2x ?2 x ,且 g ( x) ? a ? a ? 2m ? f ( x) 在 [1 , ? ?) 上的最小值为 ? 2 ,求 m 的值. 2

7、 (2014 浦东一模理 22) (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)

1 ? x2 1 ? x2 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? . ?a 1 ? x2 1 ? x2
(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x) 的单调性,并说明理由; (3)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ?

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在 5 5 ? ?

以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形. 9、 (2014 嘉定一模理 22) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? x ?

m ? 2 ( m 为实常数) . x

(1)若函数 y ? f ( x) 图像上动点 P 到定点 Q(0 , 2) 的距离的最小值为 2 ,求实数 m 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 在区间 [2 , ? ?) 上是增函数,试用函数单调性的定义求实数 m 的取值范围; (3)设 m ? 0 ,若不等式 f ( x) ? kx 在 x ? ?

?1 ? , 1 有解,求 k 的取值范围. ?2 ? ?

17、 (2014 闵行一模理 23) (本题满分 18 分,第(1)小题满分 3 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小 题满分 9 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 , x

8

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(1)指出 y ? f ( x) 的值域; (2)若函数 y ? f ( x) 对任意 x ?? ?2, ?1? ,不等式 f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意的正数 a ,在区间 ?1, a ?

? ?

2014 ? 内存在 k ? 1 个实数 a1 , a2 ,?ak ?1 , 使得不等式 a ? ?

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ?? f (ak ) ? f (ak ?1 ) 成立,求 k 得最大值.
? 在某种产品的制造过程中,次品率 p 依赖于日产量 x ,已知 p ? 1? x ? 100? , p ?

1 101 ? x A

?0 ? x ? 100? .其中 x 为正整数,又该厂每生产一件正品可盈利 A 元,但每生产一件次品就要损失 3 元,
为了获得最大盈利,该厂日产量应为多少个?

9

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