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【金版教程】2015-2016高中数学 1.1.2集合间的基本关系课件 新人教A版必修1


人教A版· 必 修1

第一章

集合与函数概念

1.1 集合

1.1.2

集合间的基本关系

[问题提出]
1.什么是子集、真子集?如何用符号和 Venn 图表示集合的关系? 2.如何用子集的概念描述集合的相等关系? 3.空集是什么样的

集合? 它与其他集合有什么关系?

01课前自主学习

[基础自学] 1.子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 对于两个集合 A, B, 如果集合 A 中 任意一个 元 对任意元素 x∈A,必有 x∈B, 素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有 则 A?B(或 B?A) ,读作 包含 关系,称集合 A 为集合 B 的子集. A 包含于 B 或 B 包含 A . 2.集合相等 文字语言 符号语言 图形语言

如果集合 A 是集合 B 的 子集 ,且集合 B 是集合 A 若 A?B 且B?A ,则 A=B 子集 的 ,那么称集合 A 与集合 B 是相等的.

3.真子集的概念 文字语言 B 中 至少存在 一个元素不是集合 A 的元 素,我们称集合 A 是集合 B 的真子集. 4.空集 (1)定义: 不含任何元素 (2)符号表示: ? . (3)规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集. 5.集合的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即 A?A; (2)对于集合 A,B,C, ①若 A?B,B?C,则 A?C ;
C. ②若 A? B,B? C,则 A?

符号语言 B(或 B? A)(读作“A x?A ,则 A? 真包含于 B”或“B 真包含 A”)

图形语言

如果集合 A 是集合 B 的 子集 ,且在集合 若集合 A?B,但 存在 x∈B ,且

的集合,叫做空集.

[自我小测] 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)集合{0}是空集.( × ) (2)正整数集是自然数集的子集.( √ ) (3)空集是任何集合的真子集.( × ) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) ?, {0}, {3}, {0,3} . (1)集合{0,3}的子集有________________
相等 . (2)集合{1,-1}与集合{x|x2-1=0}的关系是________

(3)已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当符号填空:
= B,A______ A______ ? C,{2}______ ? C,2______ ∈ C.

02课堂合作探究

知识点一 有限集合的子集、真子集的确定 [核心解读] 1.集合 A 是集合 B 的子集的含义是:集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A 能推 出 x∈B.例如{0,1}?{-1,0,1},则 0∈{0,1},0∈{-1,0,1}. 2.如果集合 A 中存在着不是集合 B 的元素,那么集合 A 不包含于 B 或 B 不包含 A.此时记作 A?B 或 B ?A. 3.注意符号“∈”与“?”的区别:“?”只用于集合与集合之间,如{0}?N.而不能写成{0}∈N, “∈”只能用于元素与集合之间.如 0∈N,而不能写成 0?N.

思考 1 观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗? (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; (2)设 A 为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B 为这个班全体学生组成的集合; (3)A=N,B=R; (4)A={x|x 为中国人},B={x|x 为亚洲人}.
提示:(1)、(2)、(3)、(4)中,集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素.所以 A?B.

思考 2 类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的符号之间有什么相似之处?

提示:在实数中如果 a 大于或等于 b,则 a,b 的关系可表示为 a≥b 或 b≤a;在集合中如果集合 A 是 集合 B 的子集,则 A,B 的关系可表示为 A?B(或 B?A).这就是它们的相似之处.

[典例示法] 例 1 (1)写出集合 A={1,2,3}的所有子集和真子集. (2)已知集合 A={0,1,2},且 B? A,求集合 B. 1.题目(1)中这些子集写的时候应按怎 样的顺序来写不易重复和遗漏?2.题目(2)中的 B 可以等 于空集吗?B 可以等于 A 吗?
提示:1.A 的子集在写的时候应按元素由少到多的顺

[解] (1)由 0 个元素构成的子集:?; 由 1 个元素构成的子集:{1},{2},{3}; 由 2 个元素构成的子集:{1,2},{1,3},{2,3}; 由 3 个元素构成的子集:{1,2,3}. 由此得集合 A 的所有子集为?,{1},{2},{3},{1,2}, 在上述子集中,除去集合 A 本身,即{1,2,3},剩下的

{1,3},{2,3},{1,2,3}.

序来写不易重复和遗漏.2.B 可以等于空集,不可以等于 都是 A 的真子集. A. (2)∵B? A,∴B 是 A 的真子集,
又 A={0,1,2},∴集合 B 为?,{0},{1},{2},{0,1}, {0,2},{1,2}.

书写子集、真子集的规律 (1)写有限集合的所有子集,首先要注意两个特殊的子集:?和自身;其次按含一个元素的子集,含两个 元素的子集??依次写出,以免重复或遗漏. (2)若集合 A 含 n 个元素,那么它的子集个数为 2n,真子集个数为 2n-1,非空真子集个数为 2n-2.

【跟踪训练 1】 已知集合 M 满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5},求所有满足条件的集合 M.
[解] 由题意可知,集合 M 至少且必须含有元素 1,2,至多含有元素 1,2,3,4,5,故可以按集合 M 所含元素的个 数分类写出集合 M. 当集合 M 含有 2 个元素时,M 可为{1,2}; 当集合 M 含有 3 个元素时,M 可为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}; 当集合 M 含有 4 个元素时,M 可为{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}; 当集合 M 含有 5 个元素时,M 可为{1,2,3,4,5}. 故满足条件的集合 M 为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

知识点二 集合间关系的判断 [核心解读] 1.从集合关系的定义入手,对两个集合进行分析,确定集合是用列举法还是描述法表示的. 2.对于用列举法表示的集合,可以直接比较它们的元素;对于用描述法表示的集合,可以对元素性质的 表达式进行比较,若表达式不统一,要先将表达式统一,然后再进行判断.

思考 1 集合 A 是集体 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别?

提示:区别在于集合 A 是集合 B 的子集存在着 A=B 的可能,但集合 A 是集合 B 的真子集就不存在 A =B 的可能.
思考 2 包含关系{a}?A 与属于关系 a∈A 的意义有什么区别?

提示:{a}?A 表示的是两个集合之间的关系;a∈A 表示的是元素与集合之间的关系.

[典例示法] 例 2 指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是等腰三角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)A={x|x=2n+1,n∈Z},B={y|y=4k±1,k∈Z}. 题目(1)中 A、B 集合中的代表元素是否相同?题目(2)(3)(4)中两个集合代表元素的特征是什 么?
提示:题目(1)中 A 是数集,B 是点集.题目(2)A 中 x 是等边三角形,B 中 x 是等腰三角形.题目(3)A 中代表元素是-1 到 4 之间的数,B 中代表元素是小于 5 的数.题目(4)A 中 x 是奇数,B 中 x 也是奇数.

[解] (1)集合 A 的代表元素是数,集合 B 的代表元素是实数对,故 A 与 B 之间无包含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故 A? B. (3)集合 B={x|x<5},用数轴表示集合 A,B 如下图所示,由图可知 A? B.

(4)当 k、n 取整数时,A={?,-5,-3,-1,1,3,5,?}, B={?,-5,-3,-1,1,3,5,?},故 A=B.

两集合间关系的判断 (1)用定义判断. 首先,判断一个集合 A 中的任意元素是否属于另一集合 B,若是,则 A?B,否则 A 不是 B 的子集; 其次,判断另一个集合 B 中的任意元素是否属于第一个集合 A,若是,则 B?A,否则 B 不是 A 的子集; 若既有 A?B,又有 B?A,则 A=B. (2)数形结合判断. 对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.

[解]

【跟踪训练 2】 判断下列各对集合之间的 关系: (1)M={x∈Z|-1≤x<3},N={x|x=|y|,y∈ M}; (2)M={x|x2-2x-3=0},N={x|x+1≥0}. (3)设集合 A={a|a=3n+2,n∈Z},集合 B ={b|b=3k-1,k∈Z},证明:A=B.

(1)∵M={x∈Z|-1≤x<3}={-1,0,1,2}, N={x|x=|y|,y∈M}={0,1,2}, ∴N? M. (2)M={x|x2-2x-3=0}={-1,3}, N={x|x+1≥0}={x|x≥-1}, ∵-1∈N,3∈N,{-1,3}≠{x|x≥-1}, ∴M? N. (3)证明:任设 a∈A, 则 a=3n+2=3(n+1)-1(n∈Z), ∵n∈Z,∴n+1∈Z,∴a∈B,故 A?B.① 又任设 b∈B,则 b=3k-1=3(k-1)+2(k∈Z), ∵k∈Z,∴k-1∈Z. ∴b∈A,故 B?A.② 由①②知,A=B.

知识点三 由集合间的关系求参数范围 [核心解读] 由集合间关系求解参数的三个解题步骤 步骤一:弄清两个集合之间的关系,谁是谁的子集; 步骤二:看集合中是否含有参数,若含参数应考虑参数使该集合为空集时的情形; 步骤三:将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组),求出相关的参数的值或取值范围.

思考 1 A、B 两个集合间的子集关系是怎样表示的?它们与 A=B 有怎样的关系?

提示:A?B 或 B?A;若 A?B 且 B?A,则 A=B,反之也成立.
思考 2 空集是怎么定义的?空集用什么符号表示?空集有怎样的性质?当给出集合关系时, 空集有怎 样的重要性?

提示:不含任何元素的集合称为空集;空集用?表示;空集的性质:空集是一切集合的子集,所以任何 子集也包含了空集本身,空集是任何非空集合的真子集;当给出 A?B 时,要注意 A=?时的情况.

[典例示法] 例 3 已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B?A.求实数 m 的取值范围. 题目中的集合 B=??当在数轴上画出两集合关系时要注意什么?
提示:B 可以等于空集.B≠?时画在数轴上需注意端点处是实点还是空点.

[解] ∵B?A, (1)当 B=?时,m+1≤2m-1, 解得 m≥2. -3≤2m-1, ? ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4, ? ?2m-1<m+1, 解得-1≤m<2, 综上得 m≥-1.

[互动探究] 若本例中 B 改为{x|m+1<x<2m-1},其他条件不变,求实数 m 的取值范围.
[解] ∵B?A, ①当 B=?时,m+1≥2m-1,解得 m≤2. -3≤m+1, ? ? ②当 B≠?时,有?2m-1≤4, ? ?m+1<2m-1, 5 5 解得 2<m≤ .综上得:m≤ . 2 2

分类讨论在集合中的重要性 (1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合. (2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验 证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,初学者会想当然认为是 非空集合而丢解,因此分类讨论思想是必须的.

【跟踪训练 3】 已知集合 A={x|x<-1 或 x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若 B?A,求实数 a 的取值范 围.
[解] 当 B=?时,只需 2a>a+3,即 a>3;
?a+3≥2a ?a+3≥2a 当 B≠?时,根据题意作出如图所示的数轴,可得? 或? ,① a + 3 <- 1 2 a > 4 ? ?

解得 a<-4 或 2<a≤3.

综上可得,实数 a 的取值范围为 a<-4 或 a>2.

[规律小结] 1.子集和真子集 (1)A?B 包含两种情况:A=B 和 A? B.当 A 是 B 的子集时,不要漏掉 A=B 的情况. (2)在真子集的定义中,A? B 首先要满足 A?B,其次至少有一个 x∈B,但 x?A. (3)集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系,其中包含关系有:包含于(?)、包含(?),真包含于 (? )、真包含(? )等,用这些符号时要注意方向. 2.空集 (1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. (2)若利用“A?B”或“A? B”解题,要讨论 A=?和 A≠?两种情况. 3.涉及字母参数的集合关系时,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.

[走出误区] 易错点?因忽视空集而出错 [典例] 已知 M={x|x2-3x+2=0},N={x|x2-2x+a=0},若 N?M,求实数 a 的取值范围. [错解档案] ∵M={x|x2-3x+2=0}={1,2},
?1+1=2, (1)当 N={1}时,有? ∴a=1. ?1×1=a, ?2+2=2, (2)当 N={2}时,有? 不成立. 2 × 2 = a , ? ?1+2=2, (3)当 N={1,2}时,有? 不成立. 1 × 2 = a , ?

所以,a=1.

[误区警示] 空集是一个特殊的集合,是任何集合的子集,在解决集合关系问题时极易忽略?,错解中 没有考虑集合 N 为?的情况.
[规范解答] ∵M={x|x2-3x+2=0}={1,2}, 又 N?M,∴N=?,或 N={1},或 N={2},或 N={1,2}. (1)当 N=?时,方程 x2-2x+a=0 的判别式 Δ=4-4a<0,即 a>1.
?1+1=2, (2)当 N={1}时,有? ∴a=1. 1 × 1 = a , ? ?2+2=2, (3)当 N={2}时,有? 不成立. ?2×2=a, ?1+2=2, (4)当 N={1,2}时,有? 不成立. 1 × 2 = a , ?

综上可知实数 a 的取值范围是 a≥1.

[名师点评] 1.解答诸如含有集合包含关系的题目时,一定要警惕“?”这一陷阱,考虑不周而漏掉对 空集的讨论,往往造成不应有的失分,初学者要切记. 2.在方程或不等式中,当一次项或二次项系数含参数时,在参数取值范围不确定的情况下要注意分类讨 论.


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