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南通市2[教改先锋网]010届高三数学第一次调研测试


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南通市 2010 届高三第一次调研测试
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 U={1, 2, 3, 4},M={1, 2},N={2, 3},则 ?U (M∪N) = ▲ .

2.复数

1? i (i 是虚数单位)的虚部为 ▲ . (1 ? i) 2

3.设向量 a,b 满足: | a |? 1, a ? b ?

3 , a ? b ? 2 2 ,则 | b |? 2





4.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? ( m ? 1) y ? 2 ? m 与直线 mx ? 2 y ? ?8 互相垂直的充要条件是 m= . ▲ .
2 k

5.函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x)( x ? R) 的最小正周期是 6.在数列{an}中,若对于 n∈ N*,总有

?a
k ?1

n

k

=2n-1,则

?a
k ?1

n

=





7.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面,记所得的数字 分别为 x,y,则 x 为整数的概率是 ▲ .

y

8.为了解高中生用电脑输入汉字的水平,随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试,下图是根据 抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图,其中每分钟输入汉字个数的范围是[50,150],样本数据分 组为[50,70) ,[70,90) [90,110) , ,[110,130) ,[130,150],已知样本中每分钟输入汉字个数小于 90 的人数是 36,则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于 70 个并且小于 130 个的人数是 ▲ 9.运行如图所示程序框图后,输出的结果是 频率 组距 0.015 0.012 0 0.010 5 0.007 0 0.005 5 0 50 70 90 110 130 150字 数 / 分 (第 8 题 钟 图) n 和平面 ? , ? ,有以下四个命题: ▲ . 开始 k?1 S?0 k≥-3 Y ? S ? S – 2k N 输出 S 结束 .

/

k ? k -1 (第 9 题图)

10.关于直线 m,

① m // ? , n // ? , 若

? // ? ,则 m // n ;②若 m // n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? ;
? ? ? ? m ,则 n ? ? 或 n ? ? .

③ ? ? ? ? m, m // n ,则 n // ? 且 n // ? ;④ m ? n, 若 若 其中假命题的序号是 ▲ .

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11.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x,x ? 0, ? 2 若 f (2 ? a ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 2 x ? x 2,x ? 0, ? ?

12.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的 四边形是一个面积为 4 的正方形, P 为该椭圆上的动点, D 的坐标分别是 ? 2, 0 , 设 C、 则 PC·PD 的最大值为 ▲ .

?

? ?

2, 0 ,

?

13.设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4) 是该四边形内任意一点,P 点 ,P 到第 i 条边的距离记为 hi,若
4 a1 a2 a3 a4 ? ? ? ? k , 则 ? (ihi ) ? 2S .类比上述结论,体积为 V 的 k 1 2 3 4 i ?1

三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4) ,Q 是该三棱锥内的任意一点,Q 点到第 i 个面的距 离记为 Hi,则相应的正确命题是:若

S1 S2 S3 S4 ? ? ? ? k ,则 ▲ . 1 2 3 4
m

14 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 直 线 y ? 3x ? 2

和圆 x ? y ? n相切,其中 m,
2 2 2

n ? N*, ?| m ? n |? 1 ,若函数 f ( x) ? mx ?1 ? n 的零点 x0 ? (k , k ? 1), k ? Z ,则 k= ▲ . 0
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.本小题满分 14 分) ( 在△ABC 中, b, 分别是角 A、 C 所对的边, b2=ac, a, c B、 且 向量 m ? ? cos( A ? C ), ? 1

, 和 n ? (1 cos B) 满足 m ? n ?

3 .(1)求 sin A sin C 的值; (2)求证:三角形 ABC 为等边三角形. 2

16. (本小题满分 14 分)如图,已知 AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD,AC=AD, DE=2AB,F 为 CD 的中点. (1) 求证:AF∥ 平面 BCE; (2) 求证:平面 BCE⊥ 平面 CDE.

B A C
( 第 16 题图)

E

F

D

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17. (本小题满分 15 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n, a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 . 且 (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ?

an ,问: 是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm an ? t

(m ? 3,m ? N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.

18. (本小题满分 15 分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处, 已知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个 变电站. 记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1)设 ?PBO ? ? ,把 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?

A

P

B

O
(第 18 题图)

C

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19. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C: 2 +

y 2 x2 =1? a>b>0? 的离心率为 6 ,过右顶点 A 的直线 l 与椭圆 2 3 a b

, C 相交于 A、B 两点,且 B(?1 ? 3) .
(1)求椭圆 C 和直线 l 的方程; (2)记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.若 曲线 x ? 2mx ? y ? 4 y ? m ? 4 ? 0 与 D 有公共点,试求实数 m 的最小值.
2 2 2

20. (本小题满分 16 分) 已知二次函数 g(x)对任意实数 x 都满足 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? x ? 2x ? 1 ,且 g ?1? ? ?1 .令
2

f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 (m ? R, x ? 0) . 2 8
(1)求 g(x)的表达式; (2)若 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围; (3)设 1 ? m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x , 证明:对 ?x1,x2 ?[1 m] ,恒有 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1. ,

? ?

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【填空题答案】 1. {4} ; 2. ?

1; 2

3.2;

4. ?

2; 3

5. π ; 10.① ④ ; ③

6.

1 4n ? 1 ; ? ? 3

7.

1; 2

8.90;
4

9.10;

1) 11. (?2, ;

12.4;

13.

V ? (iH ) ? 3k ;
i ?1 i

14.0. ……………………2 分 ……………………4 分

15.【解】 (1)由 m ? n ?

3 3 得, cos( A ? C ) ? cos B ? , 2 2 3 , 2

又 B=π ? (A+C),得 cos(A ? C) ? cos(A+C)= 即 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)=
2

3 3 ,所以 sinAsinC= . ……………6 分 2 4 3 . ……………8 分 4

【证明】 (2)由 b2=ac 及正弦定理得 sin B ? sin A sin C ,故 sin 2 B ? 于是 cos2 B ? 1 ? 故B?

3 3 1 1 1 1 ? cos(A ? C)>0, 所以 cos B ? , 所以 cos B ? 或 ? . 因为 cosB = ? , 4 4 2 2 2 2

π . 3

………………… 11 分
2 2 2 2 2 2

a c a 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B , b ? ? ?c 即
a=c. 因为 B ?

, b2=ac, 又 所以 ac ? a ? c ? ac, 得
2 2

π ,所以三角形 ABC 为等边三角形. 3

………………… 14 分

16.【证明】 (1)因为 AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD,所以 AB∥ DE. 取 CE 的中点 G,连结 BG、GF,因为 F 为 CD 的中点,所以 GF∥ ED∥ BA, GF= 从而 ABGF 是平行四边形,于是 AF∥ BG. 因为 AF ? 平面 BCE,BG ? 平面 BCE,所以 AF∥ 平面 BCE. (2)因为 AB⊥ 平面 ACD,AF ? 平面 ACD, 所以 AB⊥ AF,即 ABGF 是矩形,所以 AF⊥ GF. 又 AC=AD,所以 AF⊥ CD. ……………………9 分 ………………… 11 分

1 ED=BA, 2

……………………4 分 ……………………7 分

而 CD∩GF=F,所以 AF⊥ 平面 GCD,即 AF⊥ 平面 CDE. 因为 AF∥ BG,所以 BG⊥ 平面 CDE. 因为 BG ? 平面 BCE,所以平面 BCE⊥ 平面 CDE. ………………… 14 分

17.【解】 (1)设等差数列 {an } 的公差为 d. 由已知得 ?

? a5 ? a13 ? 34, ……………………2 分 ?3a2 ? 9,

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即?

?a1 ? 8d ? 17, ? a1 ? 1, 2 解得 ? ……………………4 分.故 an ? 2n ? 1 Sn ? n . , a1 ? d ? 3, d ? 2. ? ?
( 2 ) 由 ( 1 ) 知 bn ?

………6 分

2n ? 1 . 要 使 b1 ,b2,bm 成 等 差 数 列 , 必 须 2b2 ? b1 ? bm , 即 2n ? 1 ? t
…………… 11 分

2?

3 1 2m ? 1 4 ,……8 分.整理得 m ? 3 ? , ? ? 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t t ?1

因为 m, 为正整数, t 所以 t 只能取 2, 5.当 t ? 2 时,m ? 7 ; t ? 3 时,m ? 5 ; t ? 5 时,m ? 4 . 3, 当 当 故存在正整数 t,使得 b1 ,b2,bm 成等差数列. ………………… 15 分

18.【解】 (1)在 Rt?AOB 中, AB ? 6,所以 OB =OA= 3 2 . 所以 ?ABC ?

π 由题意知 0 ? ? ? π . 4 4

……………………2 分

所以点 P 到 A、B、C 的距离之和为

y ? 2 PB ? PA ? 2 ?

3 2 2 ? sin ? ? (3 2 ? 3 2 tan ? ) ? 3 2 ? 3 2 ? . cos ? cos ?

……………………6 分

故所求函数关系式为 y ? 3 2 ? 3 2 ? 2 ? sin ? 0 ? ? ? π .

cos ?

?

4

?

……………………7 分

( 2 ) 由 ( 1 ) 得 y? ? 3 2 ?

2 s i? ? n 2 cos ?

, 令 y ? ? 0 即 sin ? ?

1

1 π ,从而 , 又 0 ?? ? 4 2

??

π . 6

……………………9 分.当 0 ? ? ?

π π π 时, y ? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y ? ? 0 . 6 6 4
………………… 13 分

所以当 ? ?

π 2 ? sin ? 时, y ? 4 ? 3 2 ? 取得最小值, 6 cos ?

此时 OP ? 3 2 tan

π ,即点 P 在 OA 上距 O 点 6 km 处. ? 6 (km) 6

【答】变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小. ………… 15 分

19.【解】 (1)由离心率 e ?

6 a 2 ? b2 6 2 2 ? ,得 ,即 a ? 3b . 3 a 3

① ………………2 分

, 又点 B(?1 ? 3) 在椭圆 C :

y 2 x2 (?3)2 (?1)2 + 2 ? 1 上,即 2 + 2 ? 1 . a2 b a b
② ………………4 分

解 ① 得 a ? 12,b ? 4 , ②
2 2

故所求椭圆方程为

y 2 x2 ? ?1. 12 4

…………………6 分

0) , 由 A(2, ,B(?1 ? 3) 得直线 l 的方程为 y ? x ? 2 . ………8 分
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(2)曲线 x ? 2mx ? y ? 4 y ? m ? 4 ? 0 ,
2 2 2

? 即圆 ( x ? m) ? ( y ? 2) ? 8 ,其圆心坐标为 G(m, 2) ,半径 r ? 2 2 ,表示圆心在直线
2 2

y ? ?2 上,半径为 2 2 的动圆.
由于要求实数 m 的最小值,由图可知,只须考虑 m ? 0 的情形. 设 ? G 与直线 l 相切于点 T,则由

………………… 10 分

| a ? 2?2| 2

? 2 2 ,得 m ? ?4 ,………………… 12 分

? 当 m ? ?4 时,过点 G (?4, 2) 与直线 l 垂直的直线 l ? 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,
解方程组 ?

? x ? y ? 6 ? 0, ? 得 T (?2, 4) . ?x ? y ? 2 ? 0

………………… 14 分

因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为 ?1,2 ,
2 2 所以切点 T ? D ,由图可知当 ? G 过点 B 时,m 取得最小值,即 (?1 ? m) ? (?3 ? 2) ? 8 ,

解得 mmin ? ? 7 ? 1 .

………………… 16 分

(说明:若不说理由,直接由圆过点 B 时,求得 m 的最小值,扣 4 分) 20.【解】 (1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,于是
2

?a ? 1, 2 2 ? 2 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? 2a ? x ? 1? ? 2c ? 2 ? x ? 1? ? 2, ? 所以 ?c ? ?1. ?
又 g ?1? ? ?1 ,则 b ? ?

1 .所以 g x ? 1 x 2 ? 1 x ? 1 . ? ? 2 2 2
8 2

……………………4 分

(2) f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 ? 1 x2 ? m ln x(m ? R,x ? 0). 当 m>0 时,由对数函数性质,f(x)的值域为 R; 当 m=0 时, f ( x) ? 当 m<0 时,由 f ?( x) ? x ?

? 2?

x2 ? 0 对 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立; 2

……………………6 分

m ? 0 ? x ? ?m ,列表: x
(0, ?m )
- 减

x

?m
0 极小

( ?m, ?) ?
+ 增

f ?( x) f ( x)

这时, f ( x)?min ? f ( ?m ) ? ? m ? m ln ?m. ? 2

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? f ( x)?min ? 0 ? ? ?

? m ? ? m ln ?m ? 0, ? ?e<m ? 0. 2 ?m ? 0 ?

……………………8 分

0] 所以若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 (?e, .

? 故 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,实数 m 的取值范围 (??, ?e] ? ? 0, ? ?
, (3)因为对 ?x ? [1 m] , H ?( x) ?



……………… 10 分

( x ? 1)( x ? m) ? 0,所以 H ( x) 在 [1, m] 内单调递减. x 1 2 1 m ? m ln m ? . 2 2

于是 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? H (1) ? H (m) ?

1 1 1 3 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 ? m2 ? m ln m ? ? 1 ? m ? ln m ? ? 0. ………………… 12 分 2 2 2 2m
记 h(m) ?

1 3 m ? ln m ? (1 ? m ? e) , 2 2m

则 h' (m) ? 1 ? 1 ? 3 ? 3 1 ? 1 2

2

m

2m

2 m

?

3

? ? 1 ? 0, 3
2

1 3 在 ?1,e] 是单调增函数, m ? ln m ? 2 2m e 3 ? e ? 3?? e ? 1? 所以 h(m) ? h(e) ? ? 1 ? ? ? 0 ,故命题成立. 2 2e 2e
所以函数 h(m) ?

………………… 14 分

………………… 16 分

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