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2013-江苏苏北四市-二模-数学


苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试 数学Ⅰ 注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色墨水的签

字笔填写 在试卷及答题纸上的规定位置。 3. 作答试题, 必须用 0.5 毫米的黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答, 在其它位置作答一律无效。 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式: 球的表面积为 S ? 4?R 2 ,其中 R 表示球的半径。 一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相 .... 应位置上. . .... 1.已知全集 U ? {0,1,2,3}, 集合 A ? {0,1}, B ? {1,2,3}, 则 (C U A) ? B ? ▲ . ▲ .

2.已知 i 是虚数单位,实数 a, b 满足 (3 ? 4i )(a ? bi) ? 10i , 则 3a ? 4b ?

3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画出 了如图所示的频率分布直方图,现要从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽 出 100 人作进一步调查, 则月收入在 [2500,3000) (元)内应抽出 ▲ 人.
开始 输入 n
S ?0

频率/组距
n?2

0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元)

输出 S
S?S ?n

结束
n?n?1

(第 4 题图

(第 3 题图)

4.如图是一个算法的流程图, 若输入 n 的值是 10,则输出 S 的值是 ▲ . ▲ . 5.若一个长方体的长、 高分别为 3 、 2 、 则它的外接球的表面积是 宽、 1,

6.从 0,1,2,3 这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重 复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是 ▲ .

第 1 页 共 15 页

7.已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a 1 的值是 ▲ .
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 右 焦 点 为 F , 若 以 F 为 圆 心 的 圆

8. 已 知 双 曲 线

x 2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 与 此 双 曲 线 的 渐 近 线 相 切 , 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为



.

9.由命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,求得实数 m 的取值范围是 (a,??) , 则实数 a 的值是 ▲ .

? x ? 0, ? 10.已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1, ( k 为常数) 若目标函数 z ? 2 x ? y 的 , ?x ? y ? k ? 0 ?

最大值是

11 ,则实数 k 的值是 3



.

? 3 x , x ? [0,1] ? 11.已知函数 f ( x ) ? ? 9 3 ,当 t ? [0,1] 时, f ( f (t )) ? [0,1] ,则实数 t 的取 ? ? x , x ? (1,3] ?2 2

值范围是



.

12. 已 知 角 ? 的 终 边 经 过 点 P(1,?1) , 点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 是 函 数 若 f ( x ) ? sin( x ? ? )(? ? 0) 图象上的任意两点, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 时,x 1 ? x 2 的 ? 最小值为
? ? ,则 f ( ) 的值是 3 2



.

13.若对满足条件 x ? y ? 3 ? xy( x ? 0, y ? 0) 的任意 x, y , ( x ? y ) 2 ? a( x ? y ) ? 1 ? 0 恒 成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

14.如图, 在等腰三角形 ABC 中, 已知 AB ? AC ? 1, A ? 120?, E , F 分别是边 AB, AC 上 的点, AE ? m AB , AF ? n AC , 其中 m, n ? (0,1), 且
A

若 EF , BC 的中点分别为 M , N , 且 m ? 4n ? 1, 则 MN 的最小值是 ▲ .
B

E

F
M
C

N
第 14 题图

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定的区域内作答,解 ...........
第 2 页 共 15 页

答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在△ ABC ,已知 (sin A ? sin B ? sinC )(sinB ? sinC ? sin A) ? 3 sin B sinC . (1) 求角 A 值; (2) 求 3 sin B ? cos C 的最大值. 16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C 1 D1 中 , 已 知 平 面 AA1C1C ? 平 面 A B C D 且 ,
AB ? BC ? CA ? 3 , AD ? CD ? 1 .

(1) 求证: BD ? AA1 ; (2) 若 E 为 棱 BC 的 中 点 , 求 证 : AE // 平 面
DCC1 D1 .

D1 A1

C1 B1

D A
第 16 题 图

C

E B

17.(本小题满分 14 分) 如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它 们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1) 求 BC 的长度; (2) 在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B, C 不重合),从点 P 看这两座建筑物的视 角分别为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点 P 在何处 时, ? ? ? 最小?
A D

?
第 3 页 共 15 页

?
P
第 17 题图

B

C

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
6 ). 2 (1) 求椭圆 E 的方程;

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过

点 ( 2,

(2) 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴, 点 P 是椭圆上异于 A , B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐 标.

y P A
O

M

B

x
l

m

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1) 求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2) 求函数 f ( x ) 单调区间; (3) 若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数),求
第 4 页 共 15 页

实数 a 的取值范围. 20. (本小题满分 16 分) 已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 0, 令 a1 ? a, b1 ? b, 且对任意正整数 k ,当 a k ? bk ? 0 时,
a k ?1 ? 1 1 3 1 1 3 a k ? bk , bk ?1 ? bk ; 当 a k ? bk ? 0 时, bk ?1 ? ? a k ? bk , a k ?1 ? a k . 2 4 4 4 2 4

(1) 求数列 {a n ? bn } 的通项公式; (2) 若对任意的正整数 n , a n ? bn ? 0 恒成立,问是否存在 a, b 使得 {bn } 为等比 数列?若存在,求出 a, b 满足的条件;若不存在,说明理由; (3) 若对任意的正整数 n, a n ? bn ? 0, 且 b2n ? b2n?1 , 求数列 {bn } 的通项公式.
3 4

徐州市 2012–––2013 学年度高三第一次质量检测 数学Ⅱ(附加题) 21.【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡 指定区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. A[选修 4—1 :几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B, 直线 ADE , CFD, CGE 都是⊙ O 的割线, 已知 AC ? AB. 求证: FG // AC
G O C

F
D A

E
B
第 21—A 题图

B. [选修 4—2 :矩阵与变换](本小题满分 10 分) 若 圆 C : x2 ? y2 ? 1 在 矩 阵 A ? ? ? (a ? 0, b ? 0) 对 应 的 变 换 下 变 成 椭 圆 ? 0 b?
E: y2 x2 ? ? 1, 求矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 . 4 3

?a 0?

第 5 页 共 15 页

C. [选修 4—4 :坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
? ?x ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ? ? ?y ? ? ? 2 ? r cos ? , 2 (? 为参数, r ? 0) , 2 ? r sin? 2

以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为
? sin( ? ? ?
4 ) ? 1, 若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值.

D. [选修 4—5 :不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 2, 求 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如 图 , 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 4x 的 焦 点 为 F , 过 F 的 直 线 l 与 抛 物 线 C 交 于
A( x1 , y1 )( y1 ? 0), B( x 2 , y 2 ) 两点, T 为抛物线的准线与 x 轴的交点.

(1) 若 TA ? TB ? 1, 求直线 l 的斜率; (2) 求 ?ATF 的最大值.
y A

T
O

F B

x

第 22 题图

23.(本小题满分 10 分)
2 已知数列 {a n } 满足 a n?1 ? a n ? na n ? 1(n ? N * ), 且 a1 ? 3.

1 2

1 2

(1) 计算 a 2 , a 3 , a 4 的值,由此猜想数列 {a n } 的通项公式,并给出证明;

第 6 页 共 15 页

n (2) 求证:当 n ? 2 时, a n ? 4n n .

徐州市 2012—2013 学年度高三第一次质量检测 数学Ⅰ试题参考答案与评分标准 一、填空题 1. {2,3} 8.
3 5 5

2. 0 9. 1

3. 25 10. 3 ?

4. 54 11. 3 ,1] [log
7 3

5. 6? 12. ?
2 2

6.

5 9
37 ] 6

7. 2 ? 14.
7 7

13.??, (

二、解答题 15.⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C)(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C , 由
(a ?


b? )










b c

,????????????????2 分 c( ? b ? ) c ?3 a

所以 b2 ? c2 ? a2 ? bc , 所以 cos A ? 4分 因
A?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ???????????? ? , 2bc 2



A? ( ?

0



,



)



? .??????????????????????6 分 3 ? 2? 2? ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3 sin B ? cos C ? 3 sin B ? cos( ? B) 3 3 3 ? 1 3 ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) ,?????????????? 2 2 6

10 分

第 7 页 共 15 页

因为 0 ? B ? 12 分 当B+

2? ? ? ?? , 所以 ? B + ? , ????????????????? 3 6 6 6

? ? ? ? ,即 B ? 时, 3 sin B ? cosC 的最大值为 1 . ???????? 6 2 3

14 分 16.⑴在四边形 ABCD 中,因为 BA ? BC , DA ? DC ,所以 BD ? AC ,????? 2分 又平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ,且平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ? AC , 所以 BD ? 平面 AAC1C , ??????????????? BD ? 平面 ABCD , 1 4分 又因为 AA1 ? 平面 AAC1C , 所以 BD ? AA1 . ??????????????? 1 7分 ⑵在三角形 ABC 中, 因为 AB ? AC , E 为 BC 中点, 且 所以 AE ? BC , ??? 9分 又因为在四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CA ? 3 , DA ? DC ? 1 , 所以 ?ACB ? 60? , ?ACD ? 30? ,所以 DC ? BC ,所以 AE ? DC ,???? 12 分 因为 DC ? 平面 DCC1 D1 , AE ? 平面 DCC1 D1 ,所以 AE ? 平面 DCC1 D1 .? 14 分 17.⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x , 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE ) ? 分
9 6 + ? x x ? 1 ,化简得 x2 ? 15x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) 9 6 1? ? x x
1

tan ?CAE + tan ?DAE ???????2 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

答 : 的 长 度 BC .????????????????????????6 分 8 m ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,



9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) tan(? + ? ) ? t 18 ? t ? 2 ? 2 .?????????8 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t



第 8 页 共 15 页

设 f (t ) ?

27 + t t 2 + 54t ? 27 ? 23 , f ?(t ) ? 2 ,令 f ?(t ) ? 0 ,因为 0 ? t ? 18 , (t ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135

得 t ? 15 6 ? 27 , 当 t ? ( 0 , 1 5 ?6
t ?( 1 5 ? 6 27,18)

时, 2 7 ) f ?(t )? 0, f (t ) 是 减 函 数 ; 当

时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函数,

所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值,??? 12 分 因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立, 所以 f (t ) ? 0 , 所以 tan(? + ? ) ? 0 , + ? ? ( , ?) , ? 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数, 所以当 t ? 15 6 ? 27 时,? + ? 取得最小值. 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值. ??????????? 14 分 18. ⑴由题意得 2c ? 2 , 所以 c ? 1 , 又 2分 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b 2 ? ? (舍去),则 a2 ? 4 , 所
2 2

? 2

? 2

2 3 ????????????? + 2 ? 1, 2 a 2b 1 2







E









x y ? ? 1.????????????????????4 分 4 3

⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

y0 y , k2 ? 1 , x1 ? 2 2

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ? 分

4 y1 y0 y1 4 y12 , 所以, k1k2 ? ,8 ? 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4) x1 ? 2

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上, 所以 y12 ? (4 ? x12 ) , k1k2 ? 故 分 (ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

3 4

4 y12 3 10 ? ? 为定值. 2 2( x1 ? 4) 2

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ? 12 分

2 ? x1 ( x ? 2) , ???????????????? y1

第 9 页 共 15 页

y?

2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 ( x1 ? 2) y1 y1 y1 y1 x1 ? 2

?

2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3 x12 2 ? x1 = = x? ( x ? 1) , x? y1 ( x1 ? 2) y1 y1 y1 y1


(?





线

m







. 1 ?????????????????????16 分 , 0 )

19.⑴因为函数 f ( x) ? a x + x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) , 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a , f ?(0) ? 0 ,???????????????? 2分 又因为 f (0) ? 1 , 所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . ???? 4分 ⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a . 因 为 当
a ? 0, a ? 1

时 , 总 有

f ?( x)



R

上 是 增 函

数, ????????????8 分 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故 函 数
f ( x)















( +? 0.??????????????????10 分 , )

⑶因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ?[?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min , 所 以 只 要
f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1



可.?????????????????12 分 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:
x
f ?( x)

(??,0)
?

0 0

(0, +?)

+

f ( x)

减函数

极小值

增函数

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1 上是增函数,所以当 x ?[?1,1] 时, f ? x ? ]

第 10 页 共 15 页

的最小值 f ? x ?min ? f ? 0 ? ? 1 , f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大 值.
1 a 1 2 1 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a 1 a

因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? ? 2ln a ,

而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) .??????????????? 14 分 所 以 , 当 a ? 1 时 , f (1)? f ( 0≥ ? , 即 a ? l na ≥ e? 1, 函 数 y ? a ? ln a 在 ) e 1
a? (1, ??) 上是增函数,解得 a≥ e ;当 0 ? a ? 1 时, f (? 1)? f (0) e 1 ≥ ? ,即

1 1 1 ,函数 y ? ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ . ? ln a ≥ e? 1 a a e 综 上 可 知 , 所 求 的 取 值 范 围 为 a 1 a ? (0, ] ? [e, +?) .????????????16 分 e 1 1 3 20.⑴当 an ? bn ≥ 0 时, an?1 ? an ? bn 且 bn?1 ? bn , 2 4 4 1 1 3 1 所以 an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? bn ? (an ? bn ) , ??????????????2 2 4 4 2

分 又当 an ? bn ? 0 时, bn ?1 ? ? an ? bn 且 an?1 ? an ,
3 1 1 1 ????????????????4 an?1 ? bn ?1 ? an ? an ? bn ? (an ? bn ) , 4 4 2 2 1 4 1 2 3 4

分 因此,数列 ?a n ? bn ?是以 a ? b 为首项, 为公比的等比数列,
1 2


?1? an ? bn ? (a ? b) ? ? ?2?
n ?1

以 .?????????????????????5 分
3 ?3? ? a n ,所以 an ? a ? ? 4 ?4?
n ?1



n ?1

⑵因为 an ? bn ? 0 ,所以 a n ?1
?1? bn ? (a ? b) ? ? ?2?
n ?1



?1? ? an ? (a ? b) ? ? ?2?

?3? ? a? ? ?4?

n ?1

,?????????????8

第 11 页 共 15 页

分 假设存在 a ,b , 使得 ?bn ? 能构成等比数列, b1 ? b ,b2 ? 则 故( 故
2b ? a 4b ? 5a ,b3 ? , 4 16

2b ? a 2 4b ? 5a ) ?( )b ,化简得 a ? b ? 0 ,与题中 a ? b ? 0 矛盾, 4 16







a



b

使



?bn ?









列. ?????????????????10 分 3 1 1 ⑶因为 an + bn ? 0 且 b2 n ? b2 n ?1 ,所以 b2 n ? ? a 2 n ?1 ? b2 n ?1 4 4 2 3 1 1 1 3 1 所以 b2 n ?1 ? ? a2n?1 ? b2 n?1 ? ? a2 n?1 ? b2 n?1 ? b2 n?1 4 2 4 4 4 4 所
3 1 (b2n? ? b n? ) ? ? (a 4 4
n?


1

? b n? ) ,?????????????????12 分
2n?2

?1? 由⑴知, a2 n ?1 ? b2 n ?1 ? (a ? b) ? ? ?2?

a?b?1? ,所以 b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? ? ? ? 3 ?2?

2n?2

b2 n?1 ? b1 ? (b3 ? b1 ) ? ?(b2 n?1 ? b2 n?3 )
?b? a?b? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ?2? ?2? ?2? ?2? ?
2 4 6 2n?4

? ? ? ?

? ? 1 ? n ?1 ? n ?1 ?1 ? ? a?b? ?4? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? ? ? ? ?????????????13 ?b? ?b? ?1 ? ? ? ? , 3 ? 1? 1 ? 9 ? ?4? ? ? ? ? 4 ? ? ?


n 3 3 ( a ? b) ? ? 1 ? ? b2 n ? b2 n ?1 ? b ? ?1 ? ? ? ? , ????????????????? 4 4 3 ? ?4? ? ? ?

?14 分
n ?1 ? ? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?b ? 1? ? ? , n为奇数时, ? ? ?4? ? 9 ? ? ? 所以,bn ? ? ?????????????16 n ? 3 (a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? b? ? , n为偶数时. 3 ? ?4? ? ?4 ? ? ?



第 12 页 共 15 页

徐州市 2012—2013 学年度高三第一次质量检测 数学Ⅱ试题参考答案与评分标准
2 21.A.因为 AB 为切线, AE 为割线,所以 AB ? AD ? AE ,

又因为 AC ? AB , 所以 AD ? AE ? AC 2 . ????????????????? 4分
AD AC ? ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ADC ∽ △ACE , AC AE 所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE ,

所以 所
G ?

以 .???????????????????????????10 分 F

B.设点 P( x, y) 为圆 C: x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,经过矩阵 A 变换后对应点为
P?( x?, y?) ,

则? 2分

? x? ? ax, ? a 0 ? ? x ? ? ax ? ? x? ? 所以 ? ???????????????? ? ? y ? ? ?by ? ? ? y ?? , ?0 b? ? ? ? ? ? ? ? y ? ? by .

因为点 P?( x?, y?) 在椭圆 E : 4分

x2 y 2 a 2 x2 b2 y 2 + ? 1 上,所以 + ? 1 ,?????? 4 3 4 3

? a2 ? ? 1, ? a 2 ? 4, ? ? 2 2 又圆方程为 x ? y ? 1 ,故 ? 42 ,即 ? 2 ,又 a ? 0 , b ? 0 ,所以 a ? 2 , ?b ? 3, ? ? b ? 1, ?3 ?

b? 3.


?2 A?? ?0


0 ? ? ,??????????????????????????6 分 3?





第 13 页 共 15 页

?1 ?2 A?1 ? ? ? ?0 ?

? 0 ? ? .?????????????????????????10 分 3? 3 ? ?

? ?x ? ? ? C.因为圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
2 2

2 ? r cos ? , 2 ( ? 为参数, r ? 0 ),消去参数得, 2 ? r sin ? 2

? ? 2? ? 2? 2 2? 2 ,? ?x? ? ?? y? ? ? r ? r ? 0 ? ,所以圆心 C ? ? ? ,半径为 r ,??3 ? ? 2 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

分 因为直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1 , 化为普通方程为 x ? y ? 2 , ??? 6分
? 2 2 ? ? 2 2 2 2

? 4

圆心 C 到直线 x ? y ? 2 的距离为 d ? 分

?2, ????????8

又因为圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d ? r ? 3 ,所以 r ? 3 ? 2 ? 1.? 10 分 D.由柯西不等式, ( x ? y ? z )2 ≤ ?( 2 x)2 ? ( 3 y)2 ? z 2 ? ? ?( ? ? 分 因为 x + y + z ? 2 ,所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 ≥ 当且仅当
24 , 11
1 ? 1 2 ? ) ? ( ) 2 ? 12 ? ,??5 3 ? 2 ?

2x 3y z 6 4 12 ? ? ,即 x ? , y ? , z ? 时,等号成立, 1 1 1 11 11 11 2 3





2 x2 ? 3 y ? z

2



2









24 .???????????????????10 分 11

22.⑴因为抛物线 y 2 ? 4 x 焦点为 F ?1,0 ? , T (?1,0) . 当 l ? x 轴时, A(1,2) , B(1, ?2) ,此时 TA? ? 0 ,与 TATB ? 1 矛盾,????? TB ? 2分 所以设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 k 2 x2 ? (2k 2 + 4) x + k 2 ? 0 ,
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??? ???

?? ?? ? ?

则 x1 + x2 ? 分
??? ???

2k 2 + 4 2 , x1 x2 ? 1 , ①所以 y12 y2 ? 16 x1 x2 ? 16 ,所以 y1 y2 ? ?4 ,②?4 2 k

因为 TA? ? 1 ,所以 ( x1 + 1)( x2 + 1) + y1 y2 ? 1 ,将①②代入并整理得, k 2 ? 4 , TB 以 k ? ?2 .??????????????????????????????6 分
y y1 y 1 1 ? 21 ? ≤1 ,当且仅当 1 ? , y1 1 y1 4 y1 x1 ? 1 ? ?1 4 y1 4 ? ? 即 y1 ? 2 时, 取等, 所以 ?ATF ≤ , 所以 ?ATF 的最大值为 .???????? 4 4



⑵因为 y1 ? 0 ,所以 tan ?ATF ?

10 分 23.⑴ a2 ? 4 , a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* ) .??????????? 2分 ①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,结论成立; ②假设当 n ? k (k ≥1, k ?N* ) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 , 则当 n ? k + 1 时, ak ?1 ? ak2 ? kak ? 1= (k + 2)2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 , 即当 n ? k + 1 时, 结论也成立, 由①②得, 数列{an } 的通项公式为 an ? n + 2(n ? N*) . 5 分 ⑵原不等式等价于 (1 + )n ≥ 4 . 证明:显然,当 n ? 2 时,等号成立;
2 n 2 当 n ? 2 时,(1 ? )n ? C0 ? C1 ? Cn ( )2 ? ? ? Cn ( )n ≥ C0 ? C1 ? Cn ( )2 ? C3 ( )3 n n n n n

1 2

1 2

1 2

1 2

2 n

2 2 n n 2 2 2 2 > C0 ? C1 ? C2 ( ) ? 5 ? ? 4 , n n n n n n

2 n

2 n

2 n

2 n

2 n

an 综上所述, n≥ 2 时, n ≥ 4nn . 当 ???????????????????

10 分

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