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西北师大附中高一物理奥赛教案第四节:单摆


课题 知识目标:

第四节

单摆

1.知道什么是单摆;2.理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动; 3.知道单摆的周期跟什么因素有关,了解单摆的周期公式,并能用来 进行有关的计算;4.知道用单摆可测定重力加速度。 能力目标: 教学 目标 1.通过单摆的教学,知道单摆是一种理想化模型,体会用理想化 的方法建立物理模型,得到物理规律的方法;2.通过单摆做简谐运动 条件的教学,体会用近似处理方法来解决物理问题;3.通过研究单摆 的周期,掌握用控制变量的方法来研究物理问题;4.培养学生的观察 实验能力、思维能力。 德育目标:

课型 课时 重点

新授课 2 课时 1.单摆模型及其做简谐运动的条件;2.单摆的周期公式。 1.单摆做简谐运动的条件——摆角小于或等于5°时的振动;2.单摆

难点 振动的回复力是由什么力提供的;3.单摆振动的周期与那些因素有关。 教学 方法 纸漏斗、细线、硬纸板、支架、沙子、单摆、秒表、米尺、条形磁 教具 铁。 教 学
1

讲授法、归纳法、推理法、猜想、实验验证法等。





摘要
摆动是常见的一种机械振动,单摆就是研究这类运动的一个物理模型,本节主要 研究了四个问题:单摆的组成,单摆做简谐运动的条件,单摆的周期与哪些因素有关 及单摆的周期公式和应用。

引言 复习提问:
1.什么样的运动叫简谐运动? 答:物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比,并总指向平衡位置的回复力作用 下的振动,叫简谐运动。 2.简谐运动的位移——时间图象具有什么特点? 答:所有简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线。 3.什么是简谐运动的周期? 答:做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间,叫做振动的周期。 ( T ? 2?

m ) k

引入新课: 讲述故事:1583 年,18 岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学,他的心 中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问,一次他在比萨教堂祈祷时,天花板上 悬垂下来摇摆不定的吊灯吸引了他,他全神贯注的用脉搏测定吊灯摆动的时间,在一 般人熟视无睹的现象中,他奇怪的发现,不管吊灯摆动的幅度是大是小,吊灯每摆动 一次的时间是相等的。经反复研究,发现了摆动的等时性规律。他还用这种摆来测量 病人的脉搏,为以后的摆钟的发明开启了先河。惠更斯在 1656 年首先利用摆的等时 性发明了带摆的计时器,并于 1657 年获得了专利,我们现在仍在非常方便的使用带
2

摆的时钟。 引入新课:演示单摆的运动,提出问题:这是什么?这个物体能做简谐运动吗? 本节课我们就来学习单摆.

新课教学: 第 1 课时
一、单摆 1.模型 阅读课文有关内容,回答什么是单摆? 在细线的一端拴一个小球,另一端固定在悬点上,如果悬挂小球的细线的伸缩和 质量可以忽略,线长又比球的直径大得多,这样的装置叫单摆。 强调: 线的伸缩和质量可以忽略——使摆线有一定的长度而无质量,质量全部 集中在摆球上。 线长比球的直径大得多,可把摆球当作一个质点,只有质量无大小,悬线的长度 就是摆长。 单摆是实际摆的理想化的物理模型。 2.单摆的摆动 介绍单摆的平衡位置 学生活动设计:观察单摆的摆动,思考下列问题: mg θ T

问题:当摆球静止在 O 点时,摆球受到哪些力的作用?这些力有什么关系? 分析:摆球受到重力 G 和悬线的拉力作用,这二个力是平衡的。当摆球静止于 O 点时,摆球受到的重力 G 和悬线的拉力 T 彼此平衡,O 点就是单摆的平衡位置。 演示单摆的摆动:用力将摆球拉离平衡位置,使摆线与竖直方向成一角度,然后
3

释放; 问题:摆球做什么运动? 学生可能答:以悬挂点为圆心在竖直平面内做圆弧运动; 学生还可能答:摆球以平衡位置 O 为中心振动; 学生还可能答:单摆做简谐运动。 结论:摆球沿着以平衡位置 O 为中点的一段圆弧做往复运动,这就是单摆的振 动。 讨论:是什么原因导致摆球沿着以平衡位置 O 为中点的一段圆弧做往复运动呢? 3.单摆的回复力 (1)单摆的回复力 分析: (如图) 摆球被拉到位置a时,摆球受到重力 mg ,绳的拉力 T, 且 mg 与拉力 T 不再平衡,所以摆球在这两个力的共同作用 下,将沿以 O 为中点的一段圆弧做往复运动。 分析单摆在振动过程中的受力情况, 摆球受到重力 mg , b θ T a mg

绳的拉力 T,且 mg 与拉力 T 不再平衡,摆球在这两个力的共同作用下,将沿以 O 为 中点的一段圆弧做往复运动。由于摆球在圆弧线上运动,一定需要向心力,分解重力 后可得: 沿半径方向: F 向 ? T ? mgcos? 。 当小球摆到最大位置时,v=0,则 F 向=0,得 T=mgcosθ ; 在其它位置上,v≠0,则 F 向>0,得 T> m g cos? 。但 F ⊥v,只改变速度的方向而不改变速度的大小。 沿切线方向上: F1 ? mgsin ?
4


θ T

F1 mg

θ

F2

此力的方向与速度在一条直线上,不断改变速度的大小,故 m g sin ? 为单摆运动 的回复力,它不断随 ? 而变化。 问题:单摆能做简谐运动吗? (2)单摆做简谐运动的条件 列表比较: 角度

sin ?
0.01754 0.03490 0.05234 0.06976 0.08716 0.10453 0.12187 0.13917 0.15643 0.17365 0.19081 0.25882 0.34202

弧度 ? 0.01754 0.03490 0.05234 0.06981 0.08727 0.10472 0.12217 0.13963 0.15708 0.17453 0.19199 0.26180 0.34907

1? 2?

3?
4?

5?

6? 7?
8?
9?

10?
11?

15? 20?

5

结论

在摆角很小的条件下, sin ? ? ? 。

推导:在摆角很小时,sinθ ≈θ ≈

x l x l

θ l

列表计算,可以得到在摆角很小时,sinθ ≈θ ≈

x

又回复力F=mgsinθ ? F=mg· 单摆的摆长)

x (x表示摆球偏离平衡位置的位移,l 表示 l

分析得到: 在摆角θ 很小时, 回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反, 大小成正比,单摆做简谐运动。 问题:我们知道简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线) ,那么在摆角很小的情况 下,既然单摆做的是简谐运动,它振动的图象也是正弦或余弦曲线对吗? 实验验证①:做课本图 9—19的演示实验,并用实物投影仪投影——漏斗的漏 砂落到匀速拉动的硬纸板上形成的图象是简谐运动的图象. 总结:从理论上和实际得到的图象中均可看出:在摆角很小(θ <5°)的情况 下,单摆做简谐运动。

第 2 课时
二、单摆振动的周期 1.影响单摆周期的因素 问题:在摆角很小(θ <5°)的情况下,单摆做简谐运动,决定单摆振动周期 的因素有哪些?



课件单摆的振动图像 6

猜想:单摆振动的周期可能与振幅、摆球质量、摆长、重力加速度及空气阻力有 关。 验证: 说明:在摆角很小时,空气阻力较小,可以忽略。 学生分组做对比实验 ◎对比实验——研究周期与振幅的关系 甲组:当摆长为1m时,使振幅A1=8 cm,测出单摆的周期 T1。 乙组:当摆长为1m时,使振幅A2=5cm,测出单摆的周期T1' 。 ◎对比实验——研究周期与摆球质量的关系 甲组:当摆长为1m时,使摆球质量为m,测出单摆的周期T2。 乙组,当摆长为1m时,使摆球质量为m' (m≠m' ) ,测出单摆的周期T2′。 ◎对比实验——研究周期与摆长的关系 甲组:当摆长为1m时,使用一定的质量的摆球,测出单摆的周期T3。 乙组:当摆长为 0.64m时,使用和甲组质量相同的摆球,测出单摆的周期T3′。 ◎对比实验——研究周期与当地重力加速度的关系 甲组:单摆的摆球用铁球(质量为m);测出单摆的周期T4.。 乙组:在甲组单摆摆球的平衡位置下方放一块磁铁(相当于重力加速度增大)测出 单摆的周期T4′。 实验结论:单摆摆动的周期与单摆的振幅无关,与摆球质量无关,只与单摆的摆 长,重力加速度有关。 荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的摆动,定量得到:单摆的周期T=2π 由前面的推导也可得到:
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l ; g

m? ? l k? :T ? 2? ? ? 单摆做简谐运动的周期 mg g 单摆的回复力:F ? ? x ? ? l ? 简谐运动的周期: T ? 2?
2.单摆的振动周期 T=2π

l g

即:单摆的振动周期与振幅的大小无关——单摆的等时性,与摆球的质量无关; 与摆长的平方根成正比,与当地的重力加速度的平方根成反比。 3.利用单摆侧当地的重力加速度

g?

4? 2 l T2

?

4? 2 n 2 l t2

其中,l 为摆长,l=摆线长+摆球半径;t 为单摆 n 次全振动的时间。

结论
通过本节课学习,我们知道:单摆是一种理想化的振动模型,振动的回复力是由 摆球重力沿圆弧切线方向的分力 mgsinθ 提供的;在摆角小于5°时,回复力F=-

mg x, 单摆的振动可看成简谐运动; 单摆的振动周期跟振幅、 摆球质量的大小无关, l
跟摆长的平方根成正比,跟重力加速度的平方根成反比,即T=2π

g 。 l

参考文献:
[1] 人民教育出版社物理室编著.物理第二册教师教学用书.北京:人民教育出 版社,2003. [2] 人民教育出版社物理室编著.物理第二册(必修加选修) .北京:人民教育
8

出版社,2006. [3] 人民教育出版社、 延边教育出版社编著. 物理第二册 (必修加选修) 教案. 吉 林:延边教育出版社,2008. [4] 人民教育出版社、延边教育出版社编著.教材精析精练高一物理(下)教师 用书.吉林:延边教育出版社,2006. [5] 张玉骏著.高中物理课堂笔记.甘肃:西北师范大学第一附属中学,2008.

巩固练习:
1.一个做简谐运动的单摆,如果将它的摆角变小,下列说法正确的是(C) A.振动时的总能量不变; C.振动周期不变; B.振幅不变; D.振子到达平衡位置时的速率不变。

2.关于单摆做简谐运动的回复力正确的说法是(BCD) A. 就是振子所受的合外力; B. 振子所受合外力在振子运动方向的分力;

C.振子的重力在运动方向的分力; D.振子经过平衡位置时回复力为零。 3.如右图所示,光滑轨道的半径为2m,C 点为圆心正下方的点,A.B 两点与 C 点相距分别为6cm与2cm, a. b两小球分别从 A. B 两点由静止同时放开,则两小球相碰的位置是(A) A.C 点;B.C 点右侧;C.C 点左侧;D.不能确定。 4.一个摆钟从甲地拿到乙地,发现它的走时偏快了,则下列对此现象的分析及 调准方法的叙述中正确的是(C) A.g甲>g乙,将摆长适当增长; C.g甲<g乙,将摆长适当增长; B.g甲>g乙,将摆长适当缩短; D.g甲<g乙,将摆长适当缩短。

5.有一单摆,摆长为 L,周期为 T,若在悬点正下方距悬点距离为
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L 3 处和 L 2 4

处的 A.B 两点分别固定一个光滑的圆钉,A 钉在绳左侧,B 钉在 绳右侧,并使摆做振幅很小的振动,则周期将变为 ________ T 。 (

1? 2 ) 4
6.如图为一双线摆,二摆线长均为 l,悬点在同一水平面

上,使摆球 A 在垂直于纸面的方向上做简谐运动,当 A 球从平 衡位置通过的同时,小球 B 在 A 球的正上方由静止放开,小球 A.B 刚好正碰,则小球 B 距小球 A 的平衡位置的最小距离是 多大? (答案:

?2
2 sin

?
2

?l)

7.一单摆做简谐运动,如图,若摆球离开 O 点 1s 后,第一次经过 M 点,再经 过 1s 第二次经过 M 点,则此摆( ) A、 还要经过 5s 第三次经过 M 点; B.还要经过 4s 第三 次经过 M 点; C.它的摆长约为 9m; D.它的振动频率为 M

1 Hz。 6
(答案:由振动的对称性分析可得,T=6s,计算后得 A、C、D 选项符合题意) 8.小球在竖直面内沿着球形的碗底做无摩擦的微小振动,如果碗以 g/3 的加速 度竖直下落,已知碗的内径远大于小球的半径,求:小球这时的振动周期 T'与碗静 止时小球的振动周期 T 之比。 解析:小球在碗内振动时受重力和碗的支持力作用,当振动微小时,可视为单摆
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的简谐运动。 碗静止时:T=2π

R g

当碗以 g/3 的加速度竖直向下运动时,在碗底小球相对静止时受的支持力为:

N ? mg ? ma ? m ?

2 2 g 。所以,此系统中单摆周期公式中 g 相应的量为 g ? ? g 。得 3 3
R 3 R 。 ? ? 2? g? 2 g

其周期为: T ? ? 2?

得:

T? 3 。 ? T 2

布置作业: 教学后记:

11



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