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高中数学人教版B必修一练习题及详解


练习四
一、选择题

函数的单调性


1.若 ( a , b ) 是 f ( x ) 的单调增区间, x 1 , x 2 ? ? a , b ? ,且 x 1 ? x 2 ,则有( A. f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? C. f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? 2.函数 y ? ? x ? 2 ?

的单调递减区间为(
2

B. f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? D. f ? x 1 ? f ? x 2 ? ? 0 ) C. [ 2 , ?? ) ) D. y ? x ? 2 x ? 1
2

A. ?0 , ?? ?

B. ? ? ? , 0 ?

D. ( ?? , 2 ]

3.下列函数中,在区间 ( 0 , 2 ) 上递增的是( A. y ?
1 x a 2x ?1

B. y ? ? x

C. y ? x ? 1

4. 若函数 f ( x ) ? A. ? ? ? , 0 ?

在 ? ? ? , 0 ? 上单调递增,则 a 的取值范围是( B. ?0 , ?? ? C. ? ? 1, 0 ? )
1 2



D. ?1, ?? ?

5. 设函数 y ? ( 2 a ? 1) x 在 R 上是减函数,则有( A. a ?
1 2

B. a ?

1 2

C. a ?

D. a ?

1 2

2 6. 如果函数 f ( x ) ? x ? 2 (1 ? a ) x ? 2 在区间 ? ? ? , 2 ? 上是减函数,那么实数 a 的

取值范围是( A. a ? 3 二、填空题

) B. a ? 3 C. a ? ? 3 D. a ? ? 3

7.函数 y ? x ? 1 的单调递增区间是____________. 8. 已知函数 f ( x ) 在 ?0 , ?? ? 是增函数, a ? f ( 2 ) , b ? f ( 则 关系是__________________________. 9.函数 f ( x ) ?
? x ? 2 x ? 3 的单调递增区间是_______.
2

?

3 ) , c ? f ( ) 的大小 2 2

10. 若二次函数 f ( x ) ? 5 x ? mx ? 4 在区间 ( ?? , ? 1] 是减函数, 在区间 ( ? 1, ?? ) 上
2

1

是增函数,则 f (1) ? ________. 三、解答题 11. 证明函数 f ( x ) ? 1 ? 12.判断函数 y ? x ?
1 x 1 x

在 ( ?? , 0 ) 上是增函数.

在区间 [1, ?? ) 上的单调性,并给出证明.
2

13.已知函数 y ? f ( x ) 在 ?0 , ?? ? 上是减函数,且 f ( m ? 2 m ) ? f ( m ) ,求 m 的取 值范围 . 能力题 14.若函数 f ( x ) ? ?
? x 2 ? 1, ? ax ? 1,
2

x ? 1, x ? 1,

在 R 上是单调递增函数,求 a 的取值范围.

15.讨论函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 3 在 (? 2 , 2 ) 内的单调性.

练习四
一、选择题 题号 答案 二、填空题 7. ?1, ?? 1 A 2 D 3 D 4 A 5 D 6 B

?

8. a ? c ? b 9. ?? 3 , ? 1? 10. 19 三、解答题 11. 设 x 1 , x 2 ? ? ? ? , 0 ? ,且 x 1 ? x 2 ,则 ? x ? x 2 ? x 1 ? 0 , 则 ? y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?
?x x1 ? x 2

.

? x 1 , x 2 ? ? ? ? , 0 ? ,∴ x 1 ? x 2 ? 0 ∴ ? y ? 0 .

∴ f ( x ) 在 ? ? ? , 0 ? 上是增函数.

2

12.函数 y ? x ?

1 x

在区间 [1, ?? ) 上单调递增.证明如下:

设 x 1 , x 2 ? ?1, ?? ? ,且 x 1 ? x 2 ,则 ? x ? x 2 ? x 1 ? 0 , 则 ? y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?
? x ( x 1 x 2 ? 1) x1 ? x 2



? x 1 , x 2 ? ?1, ?? ? ,∴ x 1 x 2 ? 1 ? 0 , x 1 ? x 2 ? 0 , ? x ? 0 ,

∴ ? y ? 0 ,∴ y ? x ?

1 x

在区间 [1, ?? ) 上的单调递增.
2

13.? 函数 y ? f ( x ) 在 ?0 , ?? ? 上是减函数,且 f ( m ? 2 m ) ? f ( m ) ,
?m 2 ? 2 m ? 0, ? 2 ?m ? 2m ? m , ?m ? 0, ?



解得 2 ? m ? 3 .

∴ m 的取值范围是 ? 2 , 3 ? .

能力题
?x2 ? 1 f (x) ? ? 14. ? ? ax ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1)

在 R 上是单调增函数,

∴ ?

?

a ? 0
2

?a ? 1 ? 1 ? 1 ? 1

,解得 0 ? a ? 3 ∴ a ? ? 0 , 3 ? .

2 2 2 15.? f ( x ) ? x ? 2 ax ? 3 ? ( x ? a ) ? 3 ? a ,对称轴 x ? a .

2 ∴若 a ? ? 2 ,则 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 3 在 (? 2 , 2 ) 上是增函数;



? 2 ? a ? 2 ,则 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 3 在 ( ? 2 , a ] 上是减函数,在 ?a , 2 ?
2

上是增函数;
2 若 a ? 2 ,则 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 3 在 (? 2 , 2 ) 上是减函数.

3

练习五
一、选择题

函数的奇偶性
) C.原点对称 D.直线 y ? x 对称

1.若 f ( x ) 是奇函数,则其图象关于( A. x 轴对称 B. y 轴对称

2. 若函数 y ? f ( x )( x ? R ) 是奇函数, 则下列坐标表示的点一定在函数 y ? f ( x ) 图 象上的是( ) B. ( ? a , ? f ( a )) D. ( a , f ( ? a )) ) C. y ? x
2

A. ( a , ? f ( a )) C. ( ? a , ? f ( ? a )) 3.下列函数中为偶函数的是( A. y ?
x

B. y ? x

D. y ? x ? 1
3

4. 如果奇函数 f ( x ) 在 ?3 , 7 ? 上是增函数,且最小值是 5,那么 f ( x ) 在 ?? 7 , ? 3 ? 上是 ( ) B.增函数,最大值是-5 D.减函数,最大值是-5
( x ? R ) 是奇函数,则 a 的值为(

A.增函数,最小值是-5 C.减函数,最小值是-5 5. 已知函数 f ( x ) ? A. ? 1 C. 1
a ?2 ? a ? 2
x

2 ?1
x



B. ? 2 D. 2 )

6.已知偶函数 f ( x ) 在 [ 0 , ? ] 上单调递增,则下列关系式成立的是( A. f ( ? ? ) ? f ( ?
?
2 ) ? f (2)

B. f ( 2 ) ? f ( ? D. f ( ?
?
2

?
2

) ? f (?? )

C. f ( ? ? ) ? f ( 2 ) ? f ( ? 二、填空题

?
2

)

) ? f (2 ) ? f (?? )

7.若函数 y ? f ( x ) 是奇函数, f (1) ? 3 ,则 f ( ? 1) 的值为____________ .

4

8.若函数 y ? f ( x ) ( x ? R ) 是偶函数,且 f (1) ? f ( 3 ) ,则 f ( ? 3 ) 与 f ( ? 1) 的大小 关系为__________________________. 9.已知 f ( x ) 是定义在 ? ? 2 , 0 ? ? ? 0 , 2 ? 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) 的图象如右图所示, 那么 f (x) 的值域是 .
y 3 2

10.已知分段函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? [ 0 , ?? ) 时的解析式为
y ? x ,则这个函数在区间 ( ?? , 0 ) 上的解析式为
2

O

2

x



三、解答题 11. 判断下列函数是否具有奇偶性: (1) f ( x ) ? x ? x ? x
3 5



(2)

f ( x ) ? x , x ? ( ? 1, 3) ; (3) f ( x ) ? ? x
2

2



(4) f ( x ) ? 5 x ? 2 ;
2

(5) f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? 1) .

12.判断函数 y ? x ? 2 x ? 1 的奇偶性,并指出它的单调区间. 13.已知二次函数 f ( x ) ? ? x ? 2 ( m ? 1) x ? 2 m ? m 的图象关于 y 轴对称,写出
2 2

函数的解析表达式,并求出函数 f ( x ) 的单调递增区间. 能力题 14.设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在 ( ?? , 0 ) 上是增函数,则 f ? ? 2 ? 与
f ? a ? 2 a ? 3 ? ( a ? R )的大小关系是(
2



A. f ? ? 2 ? ? f ? a 2 ? 2 a ? 3 ? C. f ? ? 2 ? ? f ? a 2 ? 2 a ? 3 ?

B. f ? ? 2 ? ? f ? a 2 ? 2 a ? 3 ? D.与 a 的取值无关若函数

15.已知 f ( x ) 是奇函数, g ( x ) 是偶函数,且在公共定义域 ?x | x ? R , x ? ? 1? 上有
f (x) ? g (x) ? 1 x ?1

,求 f ( x ) 的解析式.

练习五
一、选择题 题号 1 2 3
5

4

5

6

答案 二、填空题 7. ? 3

C

B

C

B

C

C

8. f ( ? 3 ) ? f ( ? 1) 9. ?? 3 , ? 2 ? ? ? 2 ,3 ? 10. y ? ? x
2

三、解答题 11.(1)奇函数,(2)非奇非偶,(3)偶函数,(4) 非奇非偶函数,(5)偶函数 12 . 偶 函 数 . ? y ? ?
? x 2 ? 2 x ? 1, ? x ? 2 x ? 1,
2

x ? 0, x ? 0,

∴函数 y ? x ? 2 x ? 1 的减区间是
2

? ? ? ,? 1? 和

[ 0 ,1] ,增区间是 [ ? 1, 0 ] 和 [1, ?? ) .
2 2

13.? 二次函数 f ( x ) ? ? x ? 2 ( m ? 1) x ? 2 m ? m 的图象关于 y 轴对称, ∴ m ? 1 ,则 f ( x ) ? ? x ? 1 ,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? ? , 0 ? .
2

能力题 14.B (提示: ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在 ( ?? , 0 ) 上是增函数,∴ f ? x ? 在
( 0 , ?? ) 上 是 减 函 数 , f ( ? 2 ) ? f ( 2 ) . ? a
2 2

2

? 2 a ? 3 ? ( a ? 1) ? 2 ? 2 , ∴
2

f ? a ? 2 a ? 3 ? ? f ( 2 ) ,因此 f ? a ? 2 a ? 3 ? ? f (? 2 ) .

)

1 ? ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 , 15. ? 1 ? f (? x) ? g (? x) ? , ? x ?1 ?

1 ? ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ? ? 1 ?? f ( x) ? g ( x) ? ? x ?1 ?
1

得 f (x) ?

x x ?1
2

, g (x) ?

x ?1
2

.

6

练习六
一、选择题

一次函数与二次函数

1.已知一次函数 f ( x ) ? ax ? b ,满足 f ( 2 ) ? 0 , f ( ? 2 ) ? 1 ,则 f ( 4 ) ? ( A. 2 B.
2



1 2

C. ?

1 2

D. 1 )

2.下列关于函数 f ( x ) ? x ? 6 x ? 10 , x ? [ 2 ,5 ] 的结论正确的是( A.递增函数 3.函数 y ? ? 4 ? x A. ?1, 2 ?
2
2

B.递减函数

C.最小值是 2 )

D.最大值是 5

( ? 2 ? x ? 1) 的值域为(

B. ? 0 , 2 ?

C. ?? 2 , 0 ?

D. ?? 2 , 0 ?

4. 若二次函数 y ? 5 x ? mx ? 4 在区间 ( ?? , ? 1] 是减函数,在区间 ( ? 1, ?? ) 上是增 函数,则 m ? ( A. 2 ) B. ? 2
2

C. 10

D. ? 10

5. 若二次函数 y ? ( m ? 1) x ? 2 mx ? 3 图象关于 y 轴对称,则函数 f ( x ) 的单调增 区间为 ( A. ? ? ? , 0 ? 6.函数 y ? mx ? b ) B. ?0 , ?? ? C. ? ? ? ,1 ? ) D. ? ? 1, ?? ?

? ? ? , ?? ? 上是单调递增的奇函数,则(
B. m ? 0 , b ? 0 D. m ? 0 , b ? 0

A. m ? 0 , b ? 0 C. m ? 0 , b ? R

二、填空题 7 . 二 次 函 数 y ? 2 x ? 3 x ? 4 的 图 象 的 顶 点 坐 标 为 ________ , 对 称 轴 方 程 是
2

_________ . 8 . 已 知 f ( x) ? 是
kx
2

? 6 kx ? k ? 8 定 义 域 为 R , 则 实 数 k 的 区 值 范 围

.
7

9.已知 ab ? 0 , ac ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 一定不经过第 10.已知 m 是一次函数 y ? 2 ax ? b 函数 f ( x ) ? ax
2

象限.

( a ? 0 ) 的图象与 x 轴交点的横坐标,又二次

? bx ? c 的图象与 x 轴有交点则 f (m ) ?

.

三、解答题 11. 已知二次函数 f ( x ) ?
1 2 x
2

? 3x ? 4 :

(1)求它的图象顶点坐标和与 x 轴交点的坐标; (2)作出它的图象; (3)求点 (1, f (1)) 关于图象对称轴的对称点的坐标.
? ? x ? 1, ? 2 12.已知函数 y ? ? ? x ? 1, ? x ? 1, ? x ? ? 1, ? 1 ? x ? 1, x ? 1,

判断该函数的奇偶性,并求该函数的

最小值及单调区间. 13.写出二次函数 f ( x ) ? ( x ? m ) 在区间 ?? 1,1? 上的最大值和最小值.
2

能力题 14 . 设 函 数 f ( x ) ? x ? ( m ? 4 ) x ? 6 m ? 2 m ? 4 , 已 知 f (? ) ? f ( ? ) ? 0 且
2 2

? ? 1, ? ? 1 ,求实数 m 的取值范围.

15. 已知 a ,b 为常数, a ? 0 , f ( x ) ? ax 2 ? bx , f ( 2 ) ? 0 , 且 且 方程 f ( x ) ? x 有相等实根. (1)求函数 f ( x ) 的解析式,函数 f ( x ) 的最大值,并比较 f ( 2 ) 与 f ( ? 3 ) 的大小.
( 2 ) 若 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ,判断 F ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论.

练习六
一、选择题 题号 答案 二、填空题
8

1 C

2 D

3 C

4 C

5 A

6 D

7. ( ?

3 23 3 , ),x ? ? 4 8 4

8. ?0 ,1? 9.三 10.
4 ac ? b 4a
2

三、解答题 11. (1)顶点坐标 ? 3 , ?
?
1 2

?

1? (2)略; (3)? 二次函 ? ,与 x 轴交点的坐标 ? 2 , 0 ? , ? 4 , 0 ? ; 2?

数 f (x) ?

x

2

? 3 x ? 4 图象对称轴为 x ? 3 , ∴点 (1, f (1)) 关于图象对称轴的对 3 2

称点为 ( 5 , f (1)) ,即 ( 5 , ) . 12.偶函数, y min ? 0 ,单减区间 ? ? ? ,? 1? 和 ? 0 ,1 ? ;单增区间 ? ? 1, 0 ? 和 ?1, ?? ? . 13.当 m ? ? 1 时, y min ? (1 ? m ) 2 , y max ? (1 ? m ) 2 ; 当 ? 1 ? m ? 0 时, y min ? 0 , y max ? (1 ? m ) 2 ; 当 0 ? m ? 1 时, y min ? 0 , y max ? (1 ? m ) 2 ; 当 m ? 1 时, y min ? (1 ? m ) 2 , y max ? (1 ? m ) 2 . 能力题
? ? 0 ? ? 0 ? ? ? ? 14. ? (? ? 1)( ? ? 1) ? 0 ,即 ??? ? (? ? ? ) ? 1 ? 0 ? (? ? 1) ? ( ? ? 1) ? 0 ? ? ? ? ?2 ? 0 ? ?

由于 ? ? ? ? 4 ? m , ?? ? ? 6 m ? 2 m ? 4 ,代入上式又有
2

? (m ? 4) 2 ? 4(?6m 2 ? 2m ? 4) ? 0 ? 2 ?(?6 m ? 2 m ? 4) ? (4 ? m ) ? 1 ? 0 ? (4 ? m ) ? 2 ? 0 ?

9

可解得 m 的取值范围是 ? m ?
?

?

1 2

? m ?

1? ?. 3?

15.(1)由 f ( 2 ) ? 0 ,得 4 a ? 2 b ? 0 ; 由方程 f ( x ) ? x 有相等实根,得 ax
2

? ( b ? 1) x ? 0 ,并且 ? ? 0 ,即

?4 a ? 2b ? 0 1 b ? 1 ? 0 ,由 ? 得a ? ? ,b ? 1 , 2 ? b ?1 ? 0

∴ f (x) ? ?

1 2

x ? x , f ( x ) max ?
2

1 2

, f ( 2 ) ? f ( ? 3)
1 2 x
2

(2) F ( x ) ? f ( x ) ? f (? x ) ? ?

1 2

x 1 2

2

? x ? (?
2

? x) ? 2 x 1 2 x ? x) ? ?2 x
2

F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? ?

(? x) ? x ? (?

∴ F ( ? x ) ? ? F ( x ) ,故 F ( x ) 是奇函数.

10

练习七

函数的应用

一、选择题 1.某学生从家里去学校上学,骑自行车一段时间,因自行车爆胎,后来推车步行,下图 中横轴表示出发后的时间,纵轴表示该生离学校的距离,则较符合该学生走法的图是 ( ) d d d d d0 d0 d0 d0

O
A

t0

t

O
B

t0

t

O
C

t0

t

O
D

t0

t

2.某商店卖 A 、 B 两种价格不同的商品,由于 A 商品连续两次提价 20 %,同时 B 商品 连续两次降价 20 %, 结果都以每件 23 . 04 元售出, 若商店同时售出这两种商品各一件, 则与价格不升、不降的情况相比较,商店盈利的情况是( ) A.多赚 5 . 92 元 B. 少赚 5 . 92 元 C.多赚 28 . 92 元 D.利益相同

3.拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f ( m ) ? 1 . 06 ( 0 . 5 ? [ m ] ? 1) 给出,其中
m ? 0 , [ m ] 是大于或等于 m 的最小整数,(如 [ 3 ] ? 3 , [ 3 . 7 ] ? 4 , [ 3 . 1] ? 4 ),则

从甲地到乙地通话时间为 5 . 5 分钟的话费为( A. 3 . 71 B. 3 . 97 C. 4 . 24

) D. 4 . 77

4. 有一批材料可以建成长为 200 m 的围墙, 如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地, 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图) ,则围成的矩形的最大面积是( )

A.

2500 3

m

2

2 B. 2500 m

2 C. 25 m

D.

40000 49

m

2

5.某商品进货单价为 40 元,若销售价为 50 元,可卖出 50 个,如果销售单价每涨 1 元, 销售量就减少 1 个,为了获得最大利润,则此商品的最佳售价应为( ) A. 80 元 B. 70 元 C. 90 元 D. 100 元

11

6.抛物线型拱桥的跨度是 20 米,拱高是 4 米,建桥时每隔 4 米用一根支柱支撑,其中 最长的支柱是( ) A. 1 . 48 米 二、填空题 7.某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克,如果该乡镇人口平均每年增长 1 . 2 %,粮食 总产量平均每年增长 4 %, 那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食, 则函数 y 关于 x 的 解析式是______________________. 8.某客运公司定客票的方法是:如果行程不超过 100 km ,票价是 0 . 5 元 / km , 如果超 过 100 km , 超过部分按 0 . 4 元 / km 定价,则客运票价 y 元与行程公里数 xkm 之间的 函数关系式是 . B. 2 . 92 米 C. 3 . 84 米 D. 4 米

9. 一个高中研究性学习小组对本地区 2000 年至 2002 年快餐公司发展情况进行了调查, 制成 了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如 图) ,根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒.

10.某商人将彩电先按原价提高 40 %,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每 台彩电比原价多赚了 270 元,则每台彩电原价是 元. 三、解答题 11.把长为 ? 的铁丝弯成下部为矩形 ABCD ,上部为半圆形的框架(如图) ,若 BC ? 2 x 求此框架围成平面图形的面积 y 与 x 之间的函数关系式,并求其定义域.

12

12.经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t ( d )的函数,且销 售 量 近 似 地 满 足 g (t ) ? ?
f (t ) ? 1 4 1 3 t? 109 3 t 2 ? 52

( 1 ? t ? 100 , t ? N ) 前 40 天 价 格 为 ;

, t ? 22 ( 1 ? t ? 40 , t ? N ) 后 40 天 的 价 格 为 f ( t ) ? ?

( 41 ? t ? 100 , t ? N ) ,试写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系. 13.某商场购进一批单价为 6 元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商场 决定提高销售价格.经试验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月能卖 360 件, 若按 25 元的价格销售时,每月能卖 210 件,假定每月销售件数 y (件)是价格 x (元/件)的一次函数. (1)试求 y 与 x 之间的关系式; (2)在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能时每 月获得最大利润?每月的最大利润是多少? 能力题 14.某宾馆有相同标准的床位 100 张,根据经验,当该宾馆的床价(即每张床价每天的 租金)不超过 10 元时,床位可以全部租出,当床位高于 10 元时,每提高 1 元,将有 3 张 床位空闲.为了获得较好的效益,该宾馆要给床位订一个合适的价格,条件是:①要方 便结账,床价应为 1 元的整数倍;②该宾馆每日的费用支出为 575 元,床位出租的收入必 须高于支出,而且高出得越多越好.若用 x 表示床价,用 y 表示该宾馆一天出租床位的 净收入(即除去每日的费用支出后的收入) (1)把 y 表示成 x 的函数,并求出其定义域; (2)试确定该宾馆床位定为多少时既符合上面的两个条件,又能使净收入最多? 15.经研究发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间,开始讲 题时,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验 表明,用 f ( x ) 表示学生掌握和接受概念的能力, x 表示提出和讲授概念的时间(单
? ? 0 . 1 x 2 ? 2 . 6 x ? 43 , 0 ? x ? 10 , ? 10 ? x ? 16 , 位:分) ,有以下的公式: f ( x ) ? ? 59 , ? ? 3 x ? 107 , 16 ? x ? 30 . ?

(1)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受能力何时强呢? (2)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长的时间? (3) 若讲解这道数学题需要 55 的接受能力以及 13 分钟的时间, 老师能否及时在学生 一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题?
13

练习七
一、选择题 题号 答案 二、填空题 7. y ?
360 (1 ? 0 . 04 ) (1 ? 0 . 012 ) ? 0 .5 x
x x

1 D

2 B

3 C

4 A

5 B

6 C

8. y ? ? 9. 85

( 0 ? x ? 100 ) ( x ? 100 )

? 50 ? 0 . 4 ( x ? 100 )

10. 2250 三、解答题 11. DC ?
y ? 1 2 ? ? 2 x ? ?x 2

.
? ?x ? 2 x ?
2

?x ? 2 x ?
2

? ? 2 x ? ?x 2

1 2

?x ,
2

由 DC ?

? ? 2 x ? ?x 2

? 0 ,有 0 ? x ?

1

? ?2

.

2398 ? 1 2 21 ? ? 12 t ? 12 t ? 3 12. S ( t ) ? ? 1 213 5668 ? t2 ? t? 6 3 ? 6

(1 ? t ? 40 , t ? N ) ( 41 ? t ? 100 , t ? N )
? 360 ? 20 k ? b , ? 210 ? 25 k ? b , ? k ? ? 30 , ? b ? 960 .

13. (1) 设 y ? kx ? b ( k ? 0 ) ,由 ?

解得 ?

所以 y ? ? 30 x ? 960 ( 0 ? x ? 32 ) .
( 2 ) 设利润为 z ,则有 z ? x ( ? 30 x ? 960 ) ? 6 x ? 954 x ? 30 x
2

所以,当 x ? 15 . 9 时 z 有最大值为 7584 . 3 元. 能力题 14. (1)由已知有 y ? ?
?100 x ? 575 ( x ? 10 ) ( x ? 10 )
14

? (130 ? 3 x ) x ? 575

x? N ,
*

令 y ? 0 解得 6 ? x ? 38 且 x ? N * . 所以函数的定义域为 { x | 6 ? x ? 38 , x ? N } .
*

(2)当 x ? 10 时,显然当 x ? 10 时, y 取得最大值为 425 (元) ;
2 当 x ? 10 时, y ? ? 3 x ? 130 x ? 575 ,仅当 x ?

65 3

时, y 取最大值.

又因为 x ? N * ,所以当 x ? 22 时, y 取得最大值,最大值为 833 元. 比较两种情况的最大值,所以当床位定价为 22 元时净收入最多.

15. (1) f ( 5 ) ? 53 . 5 , f ( 20 ) ? 47 ,所以 f ( 5 ) ? f ( 20 ) .所以开讲后 5 分钟学生的

接受能力比开讲后 20 分钟强.
( 2 ) 当 0 ? x ? 10 时 , f ( x ) ? ? 0 . 1( x ? 13 ) ? 59 . 9 , 所 以 f ( x ) 是 增 函 数 ,
2

f ( x ) ? f (10 ) ? 59 . 当 16 ? x ? 30 时 , f ( x ) 是 递 减 的 函 数 , 所 以

故开讲后 10 钟学生达到最强的接受能力, 并维持 6 分钟. f ( x ) ? f (16 ) ? 59 ,
( 3 ) 当 0 ? x ? 10 时 , 令 f ( x ) ? 55 , 解 得 6 ? x ? 10 . 当 16 ? x ? 30 时 , 令 f ( x ) ? 55 ,解得则 16 ? x ? 17 . 3 .因此,学生达到或超过 55 的接受能力的时

间 11 . 3 分钟,小于 13 分钟,故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题.

15

练习九
一、选择题 1.计算 a b
3 2

指数与指数函数
) C. 8 a 6 b 5 ) C. 3 2 D. 3 ? 2 ) D. 2 a 6 b

?2 ab ?

?1 3

的结果是(

A. 8 a 6 b ? 1
7 5

B. 2 a 6 b ? 1

2.将根式 3 化成分数指数幂为(
5 7

A. 3 7

B. 3 5

3. 某林场计划第一年造林 10000 亩, 以后每年比前一年多造林 20 %, 则第四年造林 ( A. 14400 亩 B. 172800 亩
x

C. 17280 亩
x x x

D. 20736 亩

4.曲线 C 1 , C 2 , C 3 , C 4 分别是指数函数 y ? a , y ? b , y ? c , y ? d 的图象, 则 a , b , c , d 与 1 的大小关系是 ( A. a ? b B. a ? b C. b ? a D. b ? a
?1? c ? d ?1? d ? c ?1? c ? d ?1? d ? c

)

5.若 ? 1 ? x ? 0 ,则下列不等式中成立的是(
?x x x A. 5 ? 5 ? 0 . 5

)

x x ?x B. 5 ? 0 . 5 ? 5

x ?x x C. 5 ? 5 ? 0 . 5

x ?x x D. 0 . 5 ? 0 . 5 ? 5

6.要得到函数 y ? 8 ? 2

?x

x 的图象,只需将函数 y ? ( ) 的图象(

1

)

2

A. 向右平移 3 个单位 C. 向右平移 8 个单位 二、填空题

B. 向左平移 3 个单位 D. 向左平移 8 个单位

7.函数 y ? ( a ? 3 a ? 3 ) ? a 是指数函数,则 a 的取值为
2 x

.

8.比较下列各组数的大小:

16

(1) (

7 4

)

0 .1

______ (

7 4

)

0 .2

; (2) ( ) 6 ______ ( )
4 3

3

1

4

?

1 5

;(3) 0 . 8 ? 2 ______ ( )
3

5

?

1 2

9.函数 f ( x ) ?
x 2

1? 2

x

的定义域是 .



10.若 3 ? 9 ,则 3 ? x ? 三、解答题 11. 化简 (
3 6

a ) ?(
9 4

6 3

a )

9

4

12.已知函数 y ?

a

x

? 1 的定义域是 ? ? ? , 0 ? ,求 a 的取值范围.
2
x

13.设 a ? 0 , f ( x ) ?
(1) 求 a 的值;

?

a 2
x

是 R 上的偶函数.

a

( 2 ) 证明 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数.

能力题 14. 已知 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ,当该函数的值域为 [1, 7 ] 时,求 x 的取值范围.
x x

15. 已知 f ? x ? ? x ?
(1) 判断 f

?
x

1

? 2 ?1

?

1? ?? x ? 0? , 2?
( 2 ) 证明 f

? x ? 的奇偶性;

?x? ? 0 .

练习九
一、选择题 题号 答案 二、填空题 7. 2 1 A 2 A 3 C 4 D 5 B 6 A

8.> > >
9. ? ? ? , 0 ?

17

10.

1 81

三、解答题 11. (
3 6

a ) ?(
9 4

6 3

a ) ? a ?a
9 4
2

2

? a

4

.

12.由 a x ? 1 ? 0 ,得 a x ? 1 ,因为定义域为 ? ? ? , 0 ? ,所以 0 ? a ? 1 .
2
x

13. (1) 因为 f ( x ) ?
?1

?

a 2
x

是 R 上的偶函数,所以 f ( ? 1) ? f (1) ,

a 2 a 2
?1



?

?

2 a

?

a 2

,解得 a ? ? 1 ,因为 a ? 0 所以 a ? 1 .

a

( 2 ) 在 ( 0 , ?? ) 上任取 x 1 , x 2 且 x 1 ? x 2 ,则 ? x ? x 2 ? x 1 ? 0 ,

? y ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 2
2
2 x2

x2

?2
?2

? x2

? (2

x1

?2
?2

? x1

)
(2
x2

?

?1
x2

?

2

2 x1

?1
x1

?

2

2 x 2 ? x1

x1

?2
x1 ? x 2

2 x1 ? x 2

x2

?

?2

x1

)( 2
x1 ? x 2

x1 ? x 2

? 1)

(*)

2

2

2

2

因为 x 1 , x 2 ? ( 0 , ?? ) 且 x 1 ? x 2 , 所以 2
x1

? 2

x2

,即 2

x2

?2

x1

? 0 ,且 2

x1 ? x 2

? 1,

所以 (*) 式 ? 0 ,即 ? y ? 0 . 所以 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数.

能力题
x 14.设 2 ? t ,则 y ? t ? 3 t ? 3 ( t ? 0 ) ,即 y ? ( t ?

2

3 2

) ?
2

3 4



因为 y ? [1, 7 ] ,所以 t ? ?0 ,1? ? ?2 , 4 ? ,所以 x ? ? ? ? , 0 ? ? ?1, 2 ? . 15. (1) 任取 x ? R 且 x ? 0 ,则 ? x ? R . 因为 f ( ? x ) ? ? x (
2 1
?x

?1

?

1 2

) ? ? x(

2

x x

1? 2

?

1 2

) ? ?x ?

2

x ?1

? 2 ?1
x x ?1

2?2

18

? ?x ?

2 ?1
x

2?2

x ?1

? x?

2 ?1
x

2

x ?1

?2

? x?

2 ?1
x

2 ( 2 ? 1)
x

? x ?(

1 2 ?1
x

?

1 2

) ? f (x)

所以 f ( x ) 是偶函数.
( 2 ) 当 x ? 0 时, 2
x

? 1 ,即 2 ? 1 ? 0 ,所以
x

1 2 ?1
x

? 0.

) ? 0. 2 ?1 2 2 ?1 2 因为 f ( x ) 是偶函数,所以当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 .

所以

1

x

?

1

? 0 ,所以 x (

1

x

?

1

所以当 x ? R 且 x ? 0 时,都有 f ( x ) ? 0 .

19

练习十
一、选择题

对数与对数函数

2

1.若 a ? log 3 2 ,那么 log 3 8 ? 2 log 3 6 用 a 表示是( A. 5 a ? 2 B. a ? 2

C. 3 a ? (1 ? a ) ) C. a
b

D. 3 a ? a 2 ? 1

2.若 lg 2 ? a , lg 3 ? b , 则 log 2 3 等于( A.
b a

B.

a b

D. b a )
3

3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是( A. y ? x ? 1
2

B. y ? x

C. y ? ? 3 x ? 2

D. y ? log )
x
2

2

x

4.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( A. y ? C. y ? a
x
2

B. y ?

x

log a x

( a ? 0 且 a ? 1)

D. y ? log

a

a

x

( a ? 0 且 a ? 1)

5.函数 y ? lg x (



A.是偶函数,在区间 ( ? ? , 0 ) 上单调递增 B.是偶函数,在区间 ( ? ? , 0 ) 上单调递减 C.是奇函数,在区间 (0, ? ? ) 上单调递增 D.是奇函数,在区间 (0, ? ? ) 上单调递减 6.已知 y ? log m (? ? 3 ) ? log n (? ? 3 ) ? 0 ,m , 中正确的是( A. 1 ? m ? n 二、填空题
20

n 为不等于 1 的正数,则下列关系

) B. m ? n ? 1 C. 1 ? m ? n D. n ? m ? 1

7.使对数式 log 8.比较大小
log
2

( x ?1 )

( 3 ? x ) 有意义的 x 的取值范围是



2

l o g2

3



l o g3 2

1;
ln 3 . 14

l o g1 4
3

0;
l o g7 6 .

log

4

3
2

0;
x 与 log
1 2

ln ?
x 的图像关于
2



l o g5 6

9.函数 log

对称.

10.函数 f ( x ) ? log 1 ? x ? 2 x ? 5 ? 的值域是__________.
2

三、解答题 11.已知函数 f ( x ) ? lg( x 2 ? 3 x ? 2 ) 的定义域是 F ,函数 g ( x ) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 2 ) 的定 义域是 N ,确定集合 F 、 N 的关系? 12. 已知函数 f ( x ) ? log
a

x ( 0 ? a ? 1) 在区间 [ a , 2 a ] 上的最大值是最小值的 3 倍, a 的值. 求
2 ?1
x

13.已知函数 f ( x ) ? log

a

( a ? 0 , 且 a ? 1) .

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)求使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围. 能力题 14. (1)若函数 y ? log
2

?ax
2

2

? 2 x ? 1 的定义域为 R ,求 a 的取值范围;
2

?

(2)若函数 y ? log 15.已知函数 f ( x ) ?
1 x

?ax

? 2 x ? 1 的值域为 R ,求 a 的取值范围.

?

? lo g 2

1? x 1? x



(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)讨论函数 f ( x ) 的奇偶性和单调性.

练习十
一、选择题 题号 1 2 3
21

4

5

6

答案 二、填空题

B

A

C

D

B

A

7. ?x 1 ? x ? 2 且 2 ? x ? 3? 8. ? ? ? ? ? ? 9. x 轴 10. ? ? ? , ? 2 ? 三、解答题 11.∵ F ? ?x x ? 1 或 x ? 2 ? , N ? ?x x ? 2 ? ,∴ N 12.∵函数 f ( x ) ? log
a

F .

x ( 0 ? a ? 1) 在区间 [ a , 2 a ] 上是减函数,
1

∴ lo g a a ? 3 lo g a ( 2 a ), lo g a ( 2 a ) ?

1 3

, a 3 ? 2a, a ? 8a , a ?
3 2

1 8

,a ?

2 4



13. (1)函数 f ( x ) 的定义域是 0, ? ) ; ( ? (2)当 a ? 1 时, x ? (1, ? ? ) ;当 0 ? a ? 1 时, x ? ( 0 , 1) . 能力题
2 14. (1) a x ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立,则 ?

?a ? 0 ?? ? 4 ? 4a ? 0

,得 a ? 1 .

2 (2) a x ? 2 x ? 1 须取遍所有的正实数,当 a ? 0 时, 2 x ? 1 符合条件;当 a ? 0 时,则

?a ? 0 ,得 0 ? a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 . ? ? ? ? 4 ? 4a ? 0

15. (1)函数 f ( x ) 的定义域为 ( ? 1, 0) ? (0,1) ; (2)∵ f ( ? x ) ?
f ( x) ?

1 ?x
1 x

? lo g 2

1? x 1? x
2 1 x

? ?

1 x

? lo g 2

1? x 1? x

? ? f ( x ) ,∴ f ( x ) 为奇函数;

? lo g 2 (1 ?

) 在 ( ? 1, 0) 和 (0,1) 上为减函数.

?1

22

练习十一
一、选择题 1.下列所给出的函数中,是幂函数的是( A. y ? ? x
3

幂函数
) C. y ? 2 x ) C. ( ? 1, ? 1) ) D. ( 0 , 1)
3

B. y ? x

?3

D. y ? x ? 1
3

2.所有幂函数的图象都通过点( A. ( 0 , 0 ) 3.函数 y ? x A.
1 4
?2

B. (1, 1)
1

在区间 [ , 2 ] 上的最大值是(
2

B. ? 1 D. ? 4 ) B.y = x D.y = x3+1
1
2

C. 4 4.下列函数中为偶函数的是( A.y = x C.y = x2

5.当 x ? [ 0 , ? ? ) 时,函数 y ? x 与函数 y ? x 2 的图象( A.关于原点对称 C.关于 y 轴对称 6.若函数 f ( x ) ? A. ( ?? , 0 )
a x



B.关于 x 轴对称 D.关于直线 y ? x 对称 ) D. [ ? 1,1]

在 ( 0 , ?? ) 上为增函数,则 a 的取值范围是( B. ( 0 , ?? ) C.R

二、填空题 7.函数 y ? x 8.比较大小
1 1 6 6

?

3 2

的定义域是



1 .5

2

1 .6

2



0 . 31

5

0 . 35

5



?

1 2

?

1 2

1 .1

0 .9

.


9.已知幂函数的图象经过点 ( 2 ,

8 ) ,这个函数的解析式为

? 10.已知幂函数 y ? x ,若 ? ? 0 ,则幂函数在区间

上是增函数;若 ? ? 0 ,

则幂函数在区间

上是减函数.
23

三、解答题 11.比较下列两个代数式值的大小: (1) ( m ? 1)
1 .6

, m 1 .6 ;
1 x

(2) ( m ? 2 )
2

?

2 3

,2

?

2 3

12.已知函数 f (x) =

-2.

(1) 求 f (x) 的定义域; (2) 证明函数 f (x) = 13.已知幂函数 f ( x ) ? x
1 x
m ?2m?3
2

-2 在 (0,+∞) 上是减函数.
(m ? Z ) 的 图 象 与 x轴 , y轴 都 无 交 点 , 且 关 于 y 轴

对称,试确定 f ( x ) 的解析式. 能力题 14.如图所示,曲线是幂函数 y ? x 在第一象限内的图象,已知 ? 分别取 ? 1,1, 个值,写出图象 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 相应的解析式.
?

1 2

,2 四

15.求证:函数 f ( x ) ? x 在 R 上为奇函数且为增函数.
3

练习十一
一、选择题 题号 答案 二、填空题 7. ?x x ? 0 ? 8. ? ? ? 9. y ? x
3

1 B

2 B

3 C

4 C

5 D

6 A

10. [ 0 , ? ? ) , ( 0 , ? ? ) 三、解答题

24

11. ( m ? 1)

1 .6

? m

1 .6

; (m ? 2)
2

?

2 3

≤2

?

2 3

12. (1) f (x) 的定义域是{x∈R| x≠0} ; (2)设 x1,x2 是(0,+∞)上的两个任意实数,且 x1 < x2,则 ? x = x1- x2 < 0,
? y = f (x1) - f (x2) =

1 x1

-2- (

1 x2

-2) =

1 x1

-

1 x2

=

x 2 ? x1 x1 x 2

.

因为 x2- x1 = - ? x >0,x1x2 >0 , 所以 ? y >0. 因此 f (x) =
?m 2 ? 2 m ? 3 ? 0, 13.由 ? m 2 ? 2 m ? 3是偶数 , ? ?m ? Z , ?

1 x

-2 是 (0,+∞) 上的减函数.

得 m ? ? 1,1, 3 .

m ? ? 1和 3时解析式为

f ( x ) ? x , m ? 1时解析式为
0

f ( x) ? x

?4

.

能力题
1

14. c 1 : y ? x ; c 2 : y ? x ; c 3 : y ? x 2 ;
2

c4 : y ? x
3

?1

15.∵

f (? x) ? (? x) ? ? x
3

3

? ? f ( x)

,∴ f ( x ) ? x 在R上为奇函数.

设 x1,x2 是 R 上的两个任意实数,且 x1 < x2, 则 ? x = x1- x2 < 0,
? y = f (x1) - f (x2) = x 1 3 ? x 2 3 ? ( x 1 ? x 2 )( x 1 2 ? x 1 x 2 ? x 2 2 ) ,

因为 x 1 ? x 2 ? 0 ,
x1 ? x1 x 2 ? x 2 = ( x1 ?
2 2

1 2

x2 ) ?
2

3 4

x2

2

,由于 ( x 1
? 1 2

?

1 2
2

x2 ) 3 4

2

? 0
2



3 4

x2

2

? 0



且不能同时为0,否则 x 1 ? x 2 ? 0 ,故 ( x 1 所以 ? y<0. 因此函数 y ? x 在 R 上为增函数.
3

x2 ) ?

x2

? 0.

25

26


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