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20140909空间几何体表面积与体积


柱体、锥体、台体的表面积和体积

填空
S ? ab 。 ? (1)矩形面积公式: __________ 1 S ? ah 2 ? (2)三角形面积公式:_________ 。
? S ? ?r 2 。 ? (3)圆面积面积公式:_________ S ?_________ 2?r ? (4)圆周长公式: 。
3 2 a 4 正

三角形面积公式:_______ 。 S?

? (5)扇形面积公式:
? (6)梯形面积公式:

1 S ? rl 2 __________ 。

1 S ? ( a ? b) h __________ 2

正方体的展开图

棱柱、棱台、棱锥的表面积
? 用空间几何体的展开图来求它的侧面积
几何体的展开图 侧面展开图的构成

一组平行四边形

一组三角形

一组梯形

表面积=侧面积+底面积

圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式有什么联系?
侧面展开图 侧面积

S侧 ? 2? rl S侧 ? ? rl
S侧 ? (r '? r )? l

圆柱、圆锥、圆台表面积
侧面展开图 侧面积
S侧 ? 2? rl

表面积

S ? 2?r (r ? l )

S侧 ? ? rl

S ? ?r (r ? l )

S侧 ? (r '? r )? l

S ? ? (r '2 ?r 2 ? r ' l ? rl )

练习
? . 已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为 3cm。它的展开图的形状为________。该 图形的弧长为_____cm,半径为______cm, 所以圆锥的侧面积为______cm2。
扇形面积公式
1 S ? rl 2

例1
已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC(即三棱锥),求它的表面积。

例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直 径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为 了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫 升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取 ? ? 3.14, 结果精确到1毫升,可用计算器)? 解:花盆外壁的表面积:
S ? ? ? [( 15 2 15 20 1.5 ) ? ? 15 ? ? 15] ? ? ? ( )2 2 2 2 2
20cm

? 1000(cm 2 ) ? 0.1( m 2 )

15 cm
15 cm

涂100个花盆需油漆: 0.1 ? 100 ? 100 ? 1000 (毫升) 答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.

V柱体= sh

h

h

S

S

S

经探究得知,棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 1 的 ,即棱锥(圆锥)的体积:
1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3
3

P

根据台体的特征,如何求台体的体积? A?

圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
1 ' V ? ( S ? S ' S ? S )h 3 1 1 ' V ? V大 ? V小 ? S ( h ? x ) ? S x 3 3 1 ? [ Sh ? ( S ? S ' ) x ] 3
S' x2 ? ? S ( h ? x )2
S'

S?
B?

D?

C?

h
A

D

S

C
B
S' h S ? S'

x ? ? x? h ? x S

1 S' 1 ' V ? h[ Sh ? ( S ? S ) ] ? [S ? 3 S ? S' 3

SS ' ? S ' ]h

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

' ' 1 1 ' S ? 0 S ?S ' V ? Sh V ? Sh V ? ( S ? S S ? S )h 3 3

例3.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g / cm )六 角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm, 内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个 ? 取3.14,可用计算器)? ( 解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与 圆柱体积之差,即:
3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ( ) ?10 4 2

3

? 2956(mm3 ) ? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000 ? (7.8 ? 2.956) ? 252(个)
答:这堆螺帽大约有252个.

圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台 S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )
r? ? 0

圆锥 S ? ?r (r ? l ) 展开图

各面面积之和

例 在三棱锥P ? ABC中, PA ? 1, AB ? AC ? 2, ?PAB
? ?PAC ? ?BAC ? 60?, 求此三棱锥的体积 .
P

A

O B

C

解(等体积法)
在?P AB中, P B2 ? 12 ? 2 2 ? 2 ? 1 ? 2 cos60? ? 3. ? AB2 ? P A2 ? P B2 ,即 : P A?P B, 同 理P A?P C, 故P A?面P BC.
选平面 PBC为 底 面 ,则 三棱锥的高为 PA.
又?PD ? P B2 ? BD 2 ? 3?1 ?
A

P

C D B

2,

1 1 1 2 ? V ? S?PBC ? P D ? ? BC ? P D ? P A ? . 3 3 2 3

练,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,将 它沿EC、ED折起,使A、B重合为点P,求三棱 锥P-ECD的体积。
A D E C P

E B

D
C

提示 ? PE?PC , PE?PD, ? 选平面PCD为底面.
答案V ? 3 3

小结
所给的是规范几何体,且已知条件比较 直接法 集中时,就按所给图象的方位用公式直 接计算体积. 当按所给图象的方位不便计算时,可选 等体积法 择条件较集中的面作底面,以便计算底 面积和高. 所给的是非规范(或条件比较分散的规 范的)几何体时,通过对图象的割补或体 割补法 积变换,化为与已知条件直接联系的规 范几何体,并作体积的加、减法。

求体积的 常用方法

例.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.

作轴截面

练:1、将半径为3cm,4cm,5cm,的锡球熔成一个大球, 求大球的半径.
2、一个球内切于棱长为4的正方体,求此球的体积. 3、一个正方体的各个顶点都在球面上, 正方体棱长为4cm,求这个球的体积.

柱、锥、台、球的结构特征 空间几何体的结构
简单几何体的结构特征 柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影

空 间 几 何 体

直观图

斜二测画法 空间几何体

柱、锥、台、球的表面积与体积

概念 棱柱

多面体
柱 锥 台 球 旋转体

棱锥

性质 侧面积

棱台

体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积 体积



概念 性质 有两个面互相平行, (1) 侧棱都相等: 有两个面互相平行,(1) (2)侧面都是平行 其余各面都是四边 (2) 棱柱 其余各面都是四边 形,并且每相邻两 形,并且每相邻两 四边形: 四边形: 个四边形的公共边 个四边形的公共边 (3) (3)两个底面与平 都互相平行,这些 都互相平行,这些 行底面的截面是全 行底面的截面是 面围成的几何体叫 面围成的几何体叫 等的多边形; 全等的多边形; 做棱柱。 做棱柱。

侧面积

体积

侧面展 侧面展 V=Sh 开图是 开图是 一组平 一组平 行四边 行四边 形 形。 侧面展 侧面展 开图是 开图是 一组三 一组三 角形。 角形
侧面展 侧面展 开图是 开图是 一组梯 一组梯 形; 形;

一个面是多边形, 平行底面的截面与 一个面是多边形, 平行底面的截面 其余各面是有一个 底面相似。 与底面相似。 棱锥 其余各面是有一个 公共顶点的三角形, 公共顶点的三角形, 由这些面所围成的 由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。 几何体叫做棱锥。 用一个平行于棱锥 (1)上下两个底面 用一个平行于棱锥 互相平行; 底面的平面去截棱 (1)上下两个底面 棱台 锥,底面与截面之 底面的平面去截棱 (2) 互相平行; 侧棱的延长线 间的部分叫作棱台 锥,底面与截面之 相交于一点; (2)侧棱的延长线 间的部分叫作棱台 相交于一点;

1 V ? Sh 3

侧棱垂直于底 底面是正多边正棱柱 棱柱 直棱柱 面 形 底面为正多边形,顶点在底面 棱锥 的射影为正多边形的中心 正棱锥

正棱台

由正棱锥截的的棱台

例2(P387例3拓).有一根长为5cm,底面半
径为1cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠 绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母 线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确 到0.1cm)
D C

A

B

分析: 可以把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为 平面几何的问题.

练习

? 2.已知三棱台的上下底面均为正三角 形,边长分别为3cm和9cm,侧面是 全等的等腰梯形,侧棱长为5cm,求 它的表面积。

3.已知底面为正方形,各侧 面 均 为 等 边 三 角形的四棱锥S-ABCD的表面积为 , 求它的棱长。 4(1 ? 3 )


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