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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直线的倾斜角与斜率、直线的方程


《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[知识能否忆起] 一、直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 (1)定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与 x 轴 平行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . (2)倾斜角的范围为[0,π)_. 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表 示,即 k=tan_α,倾斜角是 90° 的直线没有斜率. (2)过两点的直线的斜率公式: y2-y1 y1-y2 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= = . x2-x1 x1-x2 二、直线方程的形式及适用条件 名称 点斜式 斜截式 两点式 几何条件 过点(x0,y0),斜率为 k 斜率为 k,纵截距为 b 过两点(x1,y1),(x2,y2), (x1≠x2,y1≠y2) 在 x 轴、y 轴上的截距分别 为 a,b(a,b≠0) 方 程 局限性 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不包括垂直于坐标轴的直 线 不包括垂直于坐标轴和过 原点的直线

y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0(A,B 不 全为 0)

截距式

一般式

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)直线 x+ 3y+m=0(m∈k)的倾斜角为( A.30° C.150° 解析:选 C 由 k=tan α=- B.60° D.120° 3 ,α∈[0,π)得 α=150° . 3 )

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3 2.(教材习题改编)已知直线 l 过点 P(-2,5),且斜率为- ,则直线 l 的方程为( 4 A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0

)

3 解析:选 A 由 y-5=- (x+2),得 3x+4y-14=0. 4 3.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( A.1 C.1 或 3 B.4 D.1 或 4 )

4-m 解析:选 A 由 1= ,得 m+2=4-m,m=1. m+2 4.(2012· 长春模拟)若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 5-3 a-3 解析:kAC= =1,kAB= =a-3. 6-4 5-4 由于 A,B,C 三点共线,所以 a-3=1,即 a=4. 答案:4 5.若直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则直线 l 的方程为________. 3 解析:由已知得直线 l 的斜率为 k=- . 2 3 所以 l 的方程为 y-2=- (x+1), 2 即 3x+2y-1=0. 答案:3x+2y-1=0 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在,每条直线都有倾斜角,但不一定每条直 线都存在斜率. 2.由斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3.用截距式写方程时,应先判断截距是否为 0,若不确定,则需要分类讨论.

直线的倾斜角与斜率

典题导入 3π [例 1] (1)(2012· 岳阳模拟)经过两点 A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 ,则 y 4

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=(

) A.-1 C.0 B.-3 D.2

(2)(2012· 苏州模拟)直线 xcos θ+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是________. 3π 2y+1-?-3? 2y+4 [自主解答] (1)tan = = =y+2,因此 y+2=-1.y=-3. 4 2 4-2 (2)由题知 k=- 3 3 3 3 cos θ,故 k∈?- , ?,结合正切函数的图象,当 k∈?0, ?时, 3 3? ? 3 3? ?

π? 3 ? ? ?5π ? 直线倾斜角 α∈? ?0,6?,当 k∈?- 3 ,0?时,直线倾斜角 α∈? 6 ,π?,故直线的倾斜角的范围 π 5π 0, ?∪? ,π?. 是? ? 6? ? 6 ? [答案] (1)B π? ?5π ? (2)? ?0,6?∪? 6 ,π? 由题悟法 1.求倾斜角的取值范围的一般步骤: (1)求出斜率 k=tan α 的取值范围; (2)利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角 α 的取值范围. 2.求倾斜角时要注意斜率是否存在. 以题试法 π 1.(2012· 哈尔滨模拟)函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= ,则直线 l:ax-by 4 +c=0 的倾斜角为( A.45° C.120° ) B.60° D.135°

π? π 解析:选 D 由函数 y=f(x)=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= 知,f(0)=f? ?2?,即-b 4 =a,则直线 l 的斜率为-1,故倾斜角为 135° . 2.(2012· 金华模拟)已知点 A(1,3),B(-2,-1).若直线 l:y=k(x-2)+1 与线段 AB 相交,则 k 的取值范围是( 1 ? A.? ?2,+∞? 1 ? C.(-∞,-2]∪? ?2,+∞? ) B.(-∞,-2] 1? D.? ?-2,2?

解析:选 D 由题意知直线 l 恒过定点 P(2,1),如右图.若 l 与线段 AB 相交,则 kPA≤k≤kPB.

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1 ∵kPA=-2,kPB= , 2 1 ∴-2≤k≤ . 2

直 线 方 程

典题导入 [例 2] (1)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是________________. (2)(2012· 东城模拟)若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线 的方程为______________. [自主解答] (1)设所求直线方程为 x-2y+m=0,由直线经过点(1, 0),得 1+m=0,m =-1. 则所求直线方程为 x-2y-1=0. 1-0 (2)由题意得, ×kMN=-1,所以 kMN=2,故弦 MN 所在直线的方程为 y-1=2(x 1-3 -1),即 2x-y-1=0. [答案] (1)x-2y-1=0 (2)2x-y-1=0 由题悟法 求直线方程的方法主要有以下两种: (1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程; (2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线 方程.

以题试法 3.(2012· 龙岩调研)已知△ABC 中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求: (1)△ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程; (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程. 解:(1)平行于 BC 边的中位线就是 AB,AC 中点的连线. 7 ? ? 1 ? 因为线段 AB,AC 中点坐标分别为? ?2,1?,?-2,-2?,

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1 x+ 2 所以这条直线的方程为 = , 7 1+2 +1 2 2 y+2 x y 整理一般式方程为得 6x-8y-13=0,截距式方程为 - =1. 13 13 6 8 y+4 x-1 (2)因为 BC 边上的中点为(2,3),所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 = ,即 3+4 2-1 x y 一般式方程为 7x-y-11=0,截距式方程为 - =1. 11 11 7 直线方程的综合应用

典题导入 [例 3] (2012· 开封模拟)过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2:x +y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程. [自主解答] 法一:设点 A(x,y)在 l1 上,点 B(xB,yB)在 l2 上. x+x ? ? 2 =3, 由题意知? y+y ? ? 2 =0,
B B

则点 B(6-x,-y),

? ?2x-y-2=0, 解方程组? ??6-x?+?-y?+3=0, ?

?x= 3 , 得? 16 ?y= 3 ,

11

16 -0 3 则 k= =8. 11 -3 3

故所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0. 法二:设所求的直线方程为 y=k(x-3), 点 A,B 的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),

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?y=k?x-3?, ? 由? ?2x-y-2=0, ?

?x = k-2 , 解得? 4k y= ? k-2.
3k-2
A A

? ?y=k?x-3?, 由? ?x+y+3=0, ?

3k-3 x= ? ? k+1 , 解得? -6k y = ? k+1. ?
B B

∵P(3,0)是线段 AB 的中点, ∴yA+yB=0,即 -6k + =0, k-2 k+1 4k

∴k2-8k=0,解得 k=0 或 k=8. 若 k=0,则 xA=1,xB=-3, xA+xB 1-3 此时 = ≠3,∴k=0 舍去, 2 2 故所求的直线方程为 y=8(x-3), 即 8x-y-24=0. 由题悟法 解决直线方程的综合问题时,除灵活选择方程的形式外,还要注意题目中的隐含条件, 若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值. 以题试法 4.(2012· 东北三校联考)已知直线 l 过点 M(2,1),且分别与 x 轴,y 轴的正半轴交于 A, B 两点,O 为原点. (1)当△AOB 面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|MA|· |MB|取得最小值时,求直线 l 的方程. 解:(1)设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0), 1 2- ,0?,B(0,1-2k), A? ? k ? 1? 1 △AOB 的面积 S= (1-2k)? ?2-k? 2

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1?? 1 1 = ? 4+?-4k?+? ?-k??≥2(4+4)=4. 2? 1 1 当且仅当-4k=- ,即 k=- 时,等号成立. k 2 1 故直线 l 的方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 2 (2)∵|MA|= ∴|MA|· |MB|= 1 +1,|MB|= k2 4+4k2, 1 k2+ 2+2≥2×2=4, k

1 +1· 4+4k2=2 k2

1 当且仅当 k2= 2,即 k=-1 时取等号, k 故直线方程为 x+y-3=0.

1.若 k,-1,b 三个数成等差数列,则直线 y=kx+b 必经过定点( A.(1,-2) C.(-1,2) B.(1,2) D.(-1,-2)

)

解析:选 A 因为 k,-1,b 三个数成等差数列,所以 k+b=-2,即 b=-2-k,于 是直线方程化为 y=kx-k-2,即 y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2). 2.直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0,1)对称的直线方程是( A.2x+11y+38=0 C.2x-11y-38=0 B.2x+11y-38=0 D.2x-11y+16=0 )

解析:选 B 因为中心对称的两直线互相平行,并且对称中心到两直线的距离相等,故 可 设 所 求 直 线 的 方 程 为 2x + 11y + C = 0 , 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得 |0+11+C| ,解得 C=16(舍去)或 C=-38. 22+112 3.(2012· 衡水模拟)直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P, 则 P 点坐标为( A.(3,0) C.(0,-3) ) B.(-3,0) D.(0,3) |0+11+16| 22+112 =

解析:选 D ∵l1∥l2,且 l1 斜率为 2,∴l2 的斜率为 2.

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又 l2 过(-1,1),∴l2 的方程为 y-1=2(x+1), 整理即得 y=2x+3.令 x=0,得 P(0,3). 4.(2013· 佛山模拟)直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足( ) B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0

A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0

解析:选 A 由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将 a c a c 方程变形为 y=- x- ,易知- <0 且- >0,故 ab>0,bc<0. b b b b 5.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为( 1 1 A.y=- x+ 3 3 C.y=3x-3 1 B.y=- x+1 3 1 D.y= x+1 3 )

1 解析:选 A 将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° 得到直线 y=- x,再向右平移 1 个 3 1 1 1 单位,所得直线的方程为 y=- (x-1),即 y=- x+ . 3 3 3 6.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实 数 m 的值是( A.-2 C.3 解析:选 C 线段 AB 的中点? ) B.-7 D.1 1+m ? ? 2 ,0?代入直线 x+2y-2=0 中,得 m=3.

7.(2013· 贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜 率的取值范围是________. 2 解析:设直线 l 的斜率为 k,则方程为 y-2=k(x-1),在 x 轴上的截距为 1- ,令-3 k 2 1 <1- <3,解得 k<-1 或 k> . k 2 1 ? 答案:(-∞,-1)∪? ?2,+∞? 8 . (2012· 常州模拟 ) 过点 P( - 2,3) 且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为 ________. 3 3 解析:直线 l 过原点时,l 的斜率为- ,直线方程为 y=- x;l 不过原点时,设方程为 2 2 x y + =1,将点(-2,3)代入,得 a=1,直线方程为 x+y=1. a a

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综上,l 的方程为 x+y-1=0 或 2y+3x=0. 答案:x+y-1=0 或 3x+2y=0 9. (2012· 天津四校联考)不论 m 取何值, 直线(m-1)x-y+2m+1=0 恒过定点________. 解析:把直线方程(m-1)x-y+2m+1=0 整理得 (x+2)m-(x+y-1)=0,

? ? ?x+2=0, ?x=-2, 则? 得? ?x+y-1=0, ?y=3. ? ?
答案:(-2,3) 10.求经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线 l 的方程. x y 解:设所求直线方程为 + =1, a b

?-a+b=1, 由已知可得? 1 ?2|a||b|=1,

2 2

? ? ?a=-1, ?a=2, 解得? 或? ? ? ?b=-2 ?b=1.

故直线 l 的方程为 2x+y+2=0 或 x+2y-2=0. 11.(2012· 莆田月考)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

?

3 ? -1, 3-1 ,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1; 1 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1 π (2)①当 m=-1 时,α= ; 2 ②当 m≠-1 时,m+1∈?-

?

3 ? ,0 ∪(0, 3 ], 3 ?

1 3 ∴k= ∈(-∞,- 3 ]∪? ,+∞?, 3 ? ? m+1 π π? ?π 2π? ∴α∈? ?6,2?∪?2, 3 ?. π 2π? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α∈? ?6, 3 ?. 12.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点

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1 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时, 2 求直线 AB 的方程. 解:由题意可得 kOA=tan 45° =1, kOB=tan(180° -30° )=- 3 , 3 3 x. 3

所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C?

?m- 3n m+n? ?, ? 2 , 2 ?

m+n 1 m- 3n = · , ? 2 2 2 1 由点 C 在 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得? 2 m-0 n-0 = ?m-1 - 3n-1, 解得 m= 3,所以 A( 3, 又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2 即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. 3). 3 3-1 = 3+ 3 , 2

1.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是( π π? A.? ?6,3? π π? C.? ?3,2? ) π π? B.? ?6,2? π π? D.? ?6,2? 3?2+ 3? ? x= ? 2+3k , 解得? 6k-2 3 ? ?y= 2+3k .

?y=kx- 3, 解析:选 B 由? ?2x+3y-6=0,

《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法 ? ?x>0, 3 ∵两直线交点在第一象限,∴? 解得 k> . 3 ?y>0, ?

π π? ∴直线 l 的倾斜角的范围是? ?6,2?. 2. (2012· 洛阳模拟)当过点 P(1,2)的直线 l 被圆 C: (x-2)2+(y-1)2=5 截得的弦最短时, 直线 l 的方程为________________. 解析:易知圆心 C 的坐标为(2,1),由圆的几何性质可知,当圆心 C 与点 P 的连线与直 线 l 垂直时,直线 l 被圆 C 截得的弦最短.由 C(2,1),P(1,2)可知直线 PC 的斜率为 2-1 =- 1-2

1,设直线 l 的斜率为 k,则 k×(-1)=-1,得 k=1,又直线 l 过点 P,所以直线 l 的方程为 x-y+1=0. 答案:x-y+1=0 3.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 解:(1)证明:法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x0+2)k- y0+1=0 恒成立, ∴x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,

?k≥0, ? 要使直线 l 不经过第四象限,则? ? ?1+2k≥0,
解得 k 的取值范围是[0,+∞). 1+2k ? 1+2k ? (3)依题意, 直线 l 在 x 轴上的截距为- , 在 y 轴上的截距为 1+2k, ∴A?- ,0?, k k ? ?

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B(0,1+2k). 1+2k 又- <0 且 1+2k>0,∴k>0. k 1 1 1+2k 故 S= |OA||OB|= × (1+2k) 2 2 k 1 1 1 4k+ +4?≥ (4+4)=4, = ? k ? 2 2? 1 1 当且仅当 4k= ,即 k= 时,取等号. k 2 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.

1.(2012· 郑州模拟)已知直线 l1 的方向向量为 a=(1,3),直线 l2 的方向向量为 b=(-1, k).若直线 l2 经过点(0,5)且 l1⊥l2,则直线 l2 的方程为( A.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0 B.x+3y-15=0 D.x-3y+15=0 )

解析:选 B ∵kl1=3,kl2=-k,l1⊥l2, 1 1 ∴k= ,l2 的方程为 y=- x+5,即 x+3y-15=0. 3 3 2.(2012· 吴忠调研)若过点 P(1-a,1+a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数 a 的 取值范围是________. 2a-?1+a? a-1 解析:k=tan α= = . 3-?1-a? a+2 a-1 ∵α 为钝角,∴ <0,即(a-1)(a+2)<0, a+2 故-2<a<1. 答案:(-2,1)

3.已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点如图,求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程. x y 解:设 A(a,0),B(0,b),(a>0,b>0),则直线 l 的方程为 + =1, a b

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3 2 ∵l 过点 P(3,2),∴ + =1. a b 3 2 ∴1= + ≥2 a b 6 ,即 ab≥24. ab

1 3 2 ∴S△ABO= ab≥12.当且仅当 = ,即 a=6,b=4 时, 2 a b △ABO 的面积最小,最小值为 12. x y 此时直线 l 的方程为 + =1. 6 4 即 2x+3y-12=0.


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