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人教A版必修2数学2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》随堂优化训练课件(共3课时)


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 【学习目标】 1.掌握直线和平面垂直的定义及判定定理. 2.培养我们的几何直观能力,感受直线和平面垂直的定义 的形成过程. 1.直线和平面垂直的定义 任意一条直线 都垂直, 如果一条直线与一个平面内的________________ 则这条直线与这个平面互相垂直. 练习 1:若 P 是平面α外一点,则下列命题正确的是( D ) A.过 P 只能作一条直线与平面α相交 B.过 P 可作无数条直线与平面α垂直 C.过 P 只能作一条直线与平面α平行 D.过 P 可作无数条直线与平面α平行 2.直线与平面垂直的判定定理 两条相交直线 都垂直, 如果一条直线与一个平面内的________________ 则该直线与此平面垂直. 注意:证明线面垂直主要是依据其判定定理,即设法在该 平面内找到已知直线的两条垂线,且这两条直线相交,常犯的 错误是只找到一条便得出结论. 练习 2:下列命题(a,b 表示直线,α表示平面)中的真命题 是( A ) a∥b? ? ??a⊥α A. b⊥α? ? a⊥b? ? ??a⊥α C. b∥α? ? a∥b? ? ??a∥α B. b?α? ? a⊥α? ? ??b∥α D. a⊥b? ? 3.直线和平面所成的角 平面上的射影 所成的锐 (1)定义:平面的一条斜线和它在______________ 角,叫做这条直线和这个平面所成的角. [0,90°] (2)取值范围:__________. 【问题探究】 1.如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线与这个 平面的任何一条直线都不垂直吗? 答案:不正确,平面内有无数条直线与已知直线垂直. 2.如果直线 l 和平面α内无数条直线垂直,则直线 l 垂直于 平面α吗? 答案:不垂直. 题型 1 线面垂直的判定 【例 1】 如图 2-3-1,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平 面,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若∠PDA=45°,求证:MN ⊥平面 PCD. 图 2-3-1 证明:如图 D27,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE. ∵E,N 分别为 PD,PC 的中点, 图 D27 1 ∴EN 2CD. 1 又∵M为AB的中点,∴AM 2CD. ∴EN AM. ∴四边形 AMNE 为平行四边形. ∴MN∥AE. ∵PA ⊥平面 ABCD,∠PDA=45°, ∴△PAD 为等腰直角三角形.∴AE⊥PD. 又∵CD⊥AD,CD⊥PA , ∴CD⊥平面 PAD .而 AE?平面 PAD ,∴CD⊥AE. 又∵CD∩PD=D,∴AE⊥平面 PCD. ∴MN⊥平面 PCD. 由判定定理可知:要证明直线垂直平面,只需 证明直线与平面内的任意两条相交直线垂直即可. 【变式与拓展】 1.(2013 年辽宁)如图 2-3-2,AB 是圆 O 的直径,PA ⊥圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC ; (2)若 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平 面 PBC. 图 2-3-2 解:(1)AB 是圆O 的直径,PA ⊥圆 O 所在的平面,可得 PA ⊥BC. 又 C 是圆O 上的点,由直径对的圆周角等于 90°,可得 BC ⊥AC. 再由AC∩PA =A,利用直线和平面垂直的判定定理可得 BC⊥平面 PAC . (2)若 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,连接 OG 并


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