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1.2.1-1.2.2充分条件,必要条件,充要条件


充分条件与必 要条件
1.2.1 充分条件与必要条件 充要条件 1.2.2

【课标要求】
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义. 2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充 要条件. 3.会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条 件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系. 4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充

要 性的证明.

课前预习

栏 目 导 航

课堂探究

课前预习
【实例】 学习物理时,我们会遇到这样一些电路图:

充分条件与必要条件
1:如实例中图所示,在四个闭合电路中,开关 A 闭 合作为命题的条件 p,灯泡 B 亮作为命题的结论 q,你能判断 p、q 之间的推出关系吗? (①开关 A 闭合,灯泡 B 一定亮,灯泡 B 亮,开关 A 不一定闭合, 即 p?q,q p;②开关 A 闭合,灯泡 B 不一定亮,灯泡亮,开关 A 必须闭合,即 p q,q?p;③开关 A 闭合,灯泡 B 亮,反之灯泡 B 亮,开关 A 一定闭合,即 p?q;④开关 A 闭合与否,不影响灯泡 B,反之,灯泡 B 亮与否,与开关 A 无关,即 p q,且 q p)

1:(1)一般地,“若 p,则 q”为真命 题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这时,我们就 说,由 p 可推出 q,记作 p? q,并且说 p 是 q 的 充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)如果“若 p,则 q”为假命题,那么由 p 推不 出 q,记作 p q.此时,我们就说 p 不是 q 的充 分条件,q 不是 p 的必要条件.

【质疑探究 1】 如何从逻辑关系上理解充分 条件和必要条件? ((1)若 p?q,但 q p,则 p 是 q 的充分而不必 要条件; (2)若 q?p,但 p q,则 p 是 q 的必要而不充 分条件)

充要条件
2:实例图③中开关 A 闭合,灯泡 B 亮,反之 灯泡 B 亮,开关 A 一定闭合,两者的关系应如何表述?

2:一般地,如果既有 p? q,又有 q? p, 就记作 p?q.此时,我们说,p 是 q 的充分必要条 件,简称充要条件.显然,如果 p 是 q 的充要条件, 那么 q 也是 p 的充要条件.概括地说,如果 p?q, 那么 p 与 q 互为充要条件.

【质疑探究 2】用集合的观点如何理解充分条件与必要条件? (设 p:x∈A,q:x∈B.
若 A? B,则 p 是 q 的充分条件 ,若 A B,则 p 是 q 的 充分不必要条件 若 B? A,则 p 是 q 的必要条件 ,若 B A,则 p 是 q 的 必要不充分条件 若 A=B,则 p,q 互为充分条件和必要条件

若 A?B 且 B?A,则 p 既不是 q 的充分条件 ,也不是 q 的必要条件

)

a=0 是直线 l1:x-2ay-1=0 与 l2:2x-2ay-1=0 平行的 条件.

解析:①∵a=0, ∴l1:x-1=0,l2:2x-1=0, ∴l1∥l2, 即 a=0?l1∥l2. ②若 l1∥l2,则 1×(-2a)-2×(-2a)=0,∴a=0. 所以 a=0 是直线 l1:x-2ay-1=0 与 l2:2x-2ay-1=0 平行的充要条件. 答案:充要

充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例 1】 已知实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),下列结
论正确的是( ) ①Δ =b2-4ac≥0 是这个方程有实根的充要条件;②Δ =b2-4ac=0 是 这个方程有实根的充分条件;③Δ =b2-4ac>0 是这个方程有实根 的必要条件;④Δ =b2-4ac<0 是这个方程没有实根的充要条件. (A)③④ (B)②③ (C)①②③ (D)①②④

名师导引:Δ=b2-4ac 与方程有何关系?当 Δ=0,Δ>0 或 Δ<0 时一元二次方程的根的情况 如何?(可利用 Δ=b -4ac 的值判断方程根的情 况,Δ=0 方程有两相等实根;Δ>0 方程有两不等 实根;Δ<0 方程无实根) 解析:①对,Δ≥0?方程 ax2+bx+c=0 有实根;
2

②对,Δ=0?方程 ax +bx+c=0 有实根; 2 ③错,Δ>0?方程 ax +bx+c=0 有实根,但 2 ax +bx+c=0 有实根 Δ>0; 2 ④对,Δ<0?方程 ax +bx+c=0 无实根.故选 D.
2

(1)本例题主要考查了什么?(主要考 查充分条件和必要条件的判定方法,进一步理解充分 条件和必要条件的定义) (2)如何用定义判定充分条件和必要条件?(①若 p?q 但 q p,则 p 是 q 的充分但不必要条件; ②若 q?p 但 p q,则 p 是 q 的必要但不充分条件; ③若 p?q,则 p 是 q 的充要条件; ④若 p q 且 q p,则 p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件)

跟踪训练 1 1:(2012 年高考福建卷)已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条件是 ( ) (B)x=-1

1 (A)x= ? 2

(C)x=5 (D)x=0 解析:由向量垂直的充要条件得 2(x-1)+2=0, 所以 x=0.D 正确.故选 D.

利用集合间的关系判断充 分条件、必要条件
【例 2】 说出下列命题中,p 是 q 的什么条件:
(1)p:(x-1)(x+2)≤0,q:x<2; (2)p:-2<x<6,q:|x-2|≤3; (3)p:x2-2x-8=0,q:x=-2 或 x=4. 名师导引:(1)不等式(x-x1)(x-x2)≤0(x1<x2)的解 集是什么?({x|x1≤x≤x2}) (2)绝对值不等式|x-a|≤b 的解集是什么? ({x|a-b≤x≤a+b})

解:(1)令 A={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1}, 集合 B={x|x<2}. 显然,A B,所以 p?q,但 q p, 即 p 是 q 的充分不必要条件. (2)令 A={x|-2<x<6}, B={x||x-2|≤3}={x|-1≤x≤5},∵B A, ∴p q,但 q?p,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 2 (3)令 A={x|x -2x-8=0} ={x|x=-2 或 x=4}={-2,4}, B={x|x=-2 或 x=4}={-2,4}.∵A=B, ∴p?q,即 p 是 q 的充要条件.

怎样用集合法判断命题中的条件(充 分,必要还是充要)?(从集合角度考虑,当 p、q 对应 集合具有包含关系时,“小集合”是“大集合”的充分条 件,“大集合”是“小集合”的必要条件.简称 “小范围?大范围”.涉及不等式范围的有关命题要充 分借助数轴求解)

跟踪训练 2 1:(2012 年高考山东卷)设 a>0 且 a≠1,则“函 数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:结合函数单调性的定义求解. 由题意知函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数等价于 0<a<1, 函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数等价于 0<a<1 或 1<a<2, ∵{a|0<a<1} {a|0<a<1 或 1<a<2}, ∴“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 3 g(x)=(2-a)x 在 R 上是增函数”的充分不必要条件.故选 A.

充分条件、必要条件、充要条件的 应用
【例 3】 (2012 湖北长阳高二上学期期末考试)设集合
A={x|-x +x+6≤0},关于 x 的不等式 x -ax-2a >0 的解集为 B(其中 a<0). (1)求集合 B; (2)设 p:x∈A,q:x∈B,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 实数 a 的取值范围.
2 2 2

名师导引:(1)由“p 是q 的必要不充分条件”可 得怎样的推出关系?( ? q? ? p) (2)与“ ? q? ? p”等价的推出关系是怎样的?(p?q) 解:(1)x2-ax-2a2>0?(x-2a)(x+a)>0, 解得 x>-a 或 x<2a.故集合 B={x|x>-a 或 x<2a}. (2)法一 若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件, 则 ? q? ? p,由此可得 p?q, 2 而 A={x|x -x-6≥0}={x|(x-3)(x+2)≥0} ={x|x≥3 或 x≤-2}由 p?q,可得 A?B,

??a ? 3, ∴? ?a>-1. ? ?2 ? 2a

法二 A={x|x≥3 或 x≤-2},?UA={x|-2<x<3},而 ?UB={x|2a≤x≤-a},由 ? p 是 ? q 的必要不充分条 件,可得 ? q? ? p,也即?UB??UA,

?2a ? ?2, ∴? ?a>-1. ? ?a ? 3

怎样利用充分、 必要条件求参数的 范围?((1)利用充分、必要条件求参数的取值范 围问题,常逆用集合法求解,即先化简集合 A={x|p(x)}和 B={x|q(x)},然后根据 p 与 q 的关 系(充分、必要、充要条件),得出集合 A 与 B 的 包含关系,进而得到相关不等式组(也可借助数 轴),求出参数的取值范围.(2)判断 p 是 q 的什么 条件,若直接判断困难,还可以用等价命题来判 断,有时也可通过举反例否定充分性或必要性)

跟踪训练 3 1:是否存在实数 p,使“4x+p<0”是 “x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出 p 的取值 范围. 解:x -x-2>0 的解集是{x|x>2 或 x<-1},由 4x+p<0
p p 得 x< ? .要想使 x< ? 时,x>2 或 x<-1 成立,必须 4 4 p 有 ? ≤-1,即 p≥4.所以 p≥4 时,“4x+p<0”是 4
2

“x -x-2>0”的充分条件.
2

【备选例题】
【例 1】已知关于 x 的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,
求方程有两个正根的充要条件. 解:方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0 有两个实根的充要条件是

?1 ? a ? 0, ? ? a ? 1, 即? ? 2 ? ?? ? 0, ?? a ? 2 ? ? 16 ?1 ? a ? ? 0, ? a ? 1, 得? 即 a≥10 或 a≤2 且 a≠1. ?a ? 2或a ? 10,
设此时方程的两实根为 x1,x2,有两个正根的充要条件是

? a ? 1, ?a ? 2或a ? 10, ? a ? 1, ? a ? 2或a ? 10, ? ? ?a?2 ? ? ? ? 0, x ? x ? 0, 2 ? 1 ? a ?1 ? ? 1 ? x1 ? x2 ? 0 ? 0. ? ? a ?1

即 1<a≤2 或 a≥10 是方程有两个正根的充要条件.

【例 2】 求证:关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个
负实根的充要条件是 m≥2. 证明:(1)充分性: 因为 m≥2, 所以 Δ=m2-4≥0. 所以 x +mx+1=0 有实根,两根设为 x1、x2. 由韦达定理,知 x1x2=1>0, 所以 x1 与 x2 同号. 又 x1+x2=-m≤-2<0, 所以 x1,x2 同为负实数, 2 即 x +mx+1=0 有两个负实根的充分条件是 m≥2.
2

(2)必要性:因为 x +mx+1=0 有两个负实根 x1 和 x2, 且 x1x2=1,
2 ? ? ? ? m ? 4 ? 0, 所以 ? ? ? ? m ? 0,

2

故 m≥2, 即 x +mx+1=0 有两个负实根的必要条件是 m≥2. 2 综上,m≥2 是 x +mx+1=0 有两个负实根的充要条件.
2

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