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用向量表示三角形的五心


用向量表示三角形的五心
如图, ? ABC 中,E 是 AC 上一点,F 是 AB 上一点,且
AF FB ? m l , AE EC ? n l

(通分总可以把异分母分

数化为同分母分数).连接 BE、CF 交于点 D,确定点 D 的位置. 解:设 AB ? a , AC ? b .
BD ? ? DE

, CD ? ? DF

A

由定比分点的向量表达式,得
AD ? ? AB ? ? AE 1? ? 1 1? ? a ? ? 1 1? ? AB ?

?
1? ?

?(

n l ? n

AC )

E F D B C

?n
(1 ? ? )( l ? n ) ? 1 1? ?

b

AD ? ?

AC ? ? AF 1? ? 1 1? ? b ?

AC ?

?
1? ?

?(

m l ? m

AB ) a ? 1 1? ?

?m
(1 ? ? )( l ? m )

a ?

?m
(1 ? ? )( l ? m )

b

?m ? 1 ? ?1 ? ? (1 ? ? )( l ? m ) ? ?? ?n 1 ? ? ? (1 ? ? )( l ? n ) 1 ? ? ?

l ? n ? ? ? ? ? m 解得 ? ?? ? l ? m ? n ?
a ? n l ? m ? n b

代入得: AD ?

m l ? m ? n

设 O 是平面上任意一点,则有 AD ? OD ? OA , 上式可化为: OD ?
l l ? m ? n OA ? m l ? m ? n

a ? OB ? OA ,
OB ? n l ? m ? n OC

b ? OC ? OA .

(? )

由( ? )式出发,可得三角形五心的向量表达式.

(1).若 BE、CF 是 ? ABC 两边的中线,交点 D 是三角形的重心.

n l OD ? ? AE EC 1 3 ? 1, m l ? AF FB ?1

( OA ? OB ? OC )

(2)若 BE、CF 是 ? ABC 两内角的平分线,交点 D 是三角形的内心.

n l ? AE EC a a ? b ? c ? AB BC ? c a , m l b a ? b ? c ? AF FB ? AC BC c a ? b ? c ? b a

代入(*)式得:
OD ? OA ? OB ? OC .

(3)若 BE、CF 是 ? ABC 两边上的高,交点 D 是三角形的垂心.

c

b 同理 m l ? AF FB b ? cos B . a cos A c c cos C OB ? a cos A cos C b cos B c cos C OC cos B b cos B



n l

?

AE EC

?

c ? cos A a ? cos C a

?

cos C , a cos A

? OD ?

a cos A

?

cos A b cos B

?

c cos C

OA ?

a cos A

?

?

?

?

(4)若 BE、CF 的交点 D 是 ? ABC 的外心,即三边中垂线的交点,则有:DA=DB=DC.
根据正弦定理有:
BE n l ? AE EC
m

? sin ? EBA ? ? sin ? C B E

sin C ? sin sin A ? sin

1 2 1 2

( ? ? ? A D B) ? (? ? ? B D C )

?

sin A BE

sin C ? cos C sin A ? cos A

?

sin 2 C sin 2 A

sin C AF sin 2 B ? 同理 ? l FB sin 2 A
? OD ? sin 2 A sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C AE EC AB BC a b ? c ? a c a OA ? m l b b ? c ? a OA ?

sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C AC BC c b ? c ? a b a OC

OB ?

sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C

OC

(5)若 BE、CF 是 ? ABC 外角平分线,D 是三角形的旁心.
则:
n l ? ? ? ? ? , ? AF FB OB ? ? ? ? ?

A

? OD ? ?

B

C

同理若 D 是顶点 B 所对的旁心,则有:
OD ? a a ? c ?b OA ? b a ? c ?b OB ? c a ? c ?b OC .

D

若 D 是顶点 C 所对的旁心 OD ? a a ? b ? c OA ?

, 则有 :
b OB ? c a ? b ? c OC

F E

a ? b ? c

若将点 O 与上述五心重合,则有以下简单结论:
(1) 重心 O: OA ? OB ? OC ? 0 (2) 内心 O: a OA ? b OB ? c OC ? 0 (3) 垂心 O:
a cos A OA ? b cos B OB ? c cos C OC ? 0

(4) 外心 O: sin 2 A ? OA ? sin 2 B ? OB ? sin 2 C ? OC ? 0 (5) A 对的旁心 O: ?
a OA ? b OB ? c OC ? 0

; B 对的旁心 O: a OA

? b OB ? c OC ? 0

C 对的旁心 O: a OA ? b OB ? c OC ? 0 .


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