tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

用向量表示三角形的五心


用向量表示三角形的五心
如图, ? ABC 中,E 是 AC 上一点,F 是 AB 上一点,且
AF FB ? m l , AE EC ? n l

(通分总可以把异分母分

数化为同分母分数).连接 BE、CF 交于点 D,确定点 D 的位置. 解:设 AB ? a , AC ? b .
BD ? ? DE

, CD ? ? DF

A

由定比分点的向量表达式,得
AD ? ? AB ? ? AE 1? ? 1 1? ? a ? ? 1 1? ? AB ?

?
1? ?

?(

n l ? n

AC )

E F D B C

?n
(1 ? ? )( l ? n ) ? 1 1? ?

b

AD ? ?

AC ? ? AF 1? ? 1 1? ? b ?

AC ?

?
1? ?

?(

m l ? m

AB ) a ? 1 1? ?

?m
(1 ? ? )( l ? m )

a ?

?m
(1 ? ? )( l ? m )

b

?m ? 1 ? ?1 ? ? (1 ? ? )( l ? m ) ? ?? ?n 1 ? ? ? (1 ? ? )( l ? n ) 1 ? ? ?

l ? n ? ? ? ? ? m 解得 ? ?? ? l ? m ? n ?
a ? n l ? m ? n b

代入得: AD ?

m l ? m ? n

设 O 是平面上任意一点,则有 AD ? OD ? OA , 上式可化为: OD ?
l l ? m ? n OA ? m l ? m ? n

a ? OB ? OA ,
OB ? n l ? m ? n OC

b ? OC ? OA .

(? )

由( ? )式出发,可得三角形五心的向量表达式.

(1).若 BE、CF 是 ? ABC 两边的中线,交点 D 是三角形的重心.

n l OD ? ? AE EC 1 3 ? 1, m l ? AF FB ?1

( OA ? OB ? OC )

(2)若 BE、CF 是 ? ABC 两内角的平分线,交点 D 是三角形的内心.

n l ? AE EC a a ? b ? c ? AB BC ? c a , m l b a ? b ? c ? AF FB ? AC BC c a ? b ? c ? b a

代入(*)式得:
OD ? OA ? OB ? OC .

(3)若 BE、CF 是 ? ABC 两边上的高,交点 D 是三角形的垂心.

c

b 同理 m l ? AF FB b ? cos B . a cos A c c cos C OB ? a cos A cos C b cos B c cos C OC cos B b cos B



n l

?

AE EC

?

c ? cos A a ? cos C a

?

cos C , a cos A

? OD ?

a cos A

?

cos A b cos B

?

c cos C

OA ?

a cos A

?

?

?

?

(4)若 BE、CF 的交点 D 是 ? ABC 的外心,即三边中垂线的交点,则有:DA=DB=DC.
根据正弦定理有:
BE n l ? AE EC
m

? sin ? EBA ? ? sin ? C B E

sin C ? sin sin A ? sin

1 2 1 2

( ? ? ? A D B) ? (? ? ? B D C )

?

sin A BE

sin C ? cos C sin A ? cos A

?

sin 2 C sin 2 A

sin C AF sin 2 B ? 同理 ? l FB sin 2 A
? OD ? sin 2 A sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C AE EC AB BC a b ? c ? a c a OA ? m l b b ? c ? a OA ?

sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C AC BC c b ? c ? a b a OC

OB ?

sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C

OC

(5)若 BE、CF 是 ? ABC 外角平分线,D 是三角形的旁心.
则:
n l ? ? ? ? ? , ? AF FB OB ? ? ? ? ?

A

? OD ? ?

B

C

同理若 D 是顶点 B 所对的旁心,则有:
OD ? a a ? c ?b OA ? b a ? c ?b OB ? c a ? c ?b OC .

D

若 D 是顶点 C 所对的旁心 OD ? a a ? b ? c OA ?

, 则有 :
b OB ? c a ? b ? c OC

F E

a ? b ? c

若将点 O 与上述五心重合,则有以下简单结论:
(1) 重心 O: OA ? OB ? OC ? 0 (2) 内心 O: a OA ? b OB ? c OC ? 0 (3) 垂心 O:
a cos A OA ? b cos B OB ? c cos C OC ? 0

(4) 外心 O: sin 2 A ? OA ? sin 2 B ? OB ? sin 2 C ? OC ? 0 (5) A 对的旁心 O: ?
a OA ? b OB ? c OC ? 0

; B 对的旁心 O: a OA

? b OB ? c OC ? 0

C 对的旁心 O: a OA ? b OB ? c OC ? 0 .


推荐相关:

三角形“五心”的充要条件的向量表示

联系到不少刊物上纷纷将 三角形五心”用各种形式的向量来表示,其实由以上结论出发倒可以很简便地得到三角形五心”的一种向量表示。真是“踏破铁鞋无觅处,...


关于三角形内的向量表示对应的点与五心的位置关系的问题

关于三角形内的向量表示对应的点与五心的位置关系的问题_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 78份文档 笑翻神图 爆笑图片汇集 搞笑图片乐翻人 cs3简单制作动态搞笑...


三角形五心及其性质

三角形五心及其性质_初二数学_数学_初中教育_教育专区。本文介绍了三角形的五心...在三角形外 。 的旁心, 若设 O 为△ ABC 的旁心 , 用向量表示则有 aOA=...


向量---三角形五心试题

向量---三角形五心试题_数学_高中教育_教育专区。适合高考,竞赛,自招考生!向量...z. 则 OP =___(用 a, b, c, x, y, z 表示) 23 .已知平面上三...


向量和三角形的五心

用向量表示三角形的五心 2页 2财富值 向量与三角形的五心 33页 1财富值 三角...內心向量性質的充要條件與證明。 傍心向量性質的充要條件與證明。 外心向量性質...


向量 补充:三角形的五心

向量 补充:三角形的五心_高一数学_数学_高中教育_教育专区。向量 三角形的五心...个向量向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ...


向量中的三角形“五心”研究

向量中的三角形五心”研究 1. ( 1 )已知 G 为 ?ABC 内一点,求证: G 为 ?ABC 的重心的充要条件为 AG ? BG ? CG ? 0 . (2)在 ?ABC 中,G ...


三角形五心及其性质

三角形五心及其性质_数学_初中教育_教育专区。三角形的三条高的交点叫做三角形...若设 O 为△ ABC 的旁心 ,用向量表示则有 aOA=bOB+cOC 1、三角形一内角...


三角形五心性质总汇

三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的五心”,在解题时有很多应用,在...3、P 为ΔABC 所在平面上任意一点,点 I 是ΔABC 内心的充要条件是:向量 ...


三角形五心定律

三角形五心定律_数学_高中教育_教育专区。垂心 三角形的三条高的交点叫做三角形...计算下列临时变量:d1,d2,d3 分别是三角形三个顶点连向另 外两个顶点向量的...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com