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1.1.1 集合的概念


第一章 集合
1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念

(1)草地上有一群羊在吃草,又来了一群羊,一群羊 加一群羊是几群羊呢?为什么会出现这样的现象呢?



=?

(2)“集合”是日常生活中的一个常用词,现代汉语 解释为:

许多的人或物

聚在一起.
康托尔(Cantor,G.F.L.P.,1845-1918),

德国数学家,集合论的创始者。人们把康
托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早

提出集合论思想的那一天定为集合论诞生
日. 在现代数学中,集合是一种简洁、高雅的数学语言,我 们怎样理解数学中的“集合”?

(3)高一开学第二天, 学校通知:上午8点,在 学校体育馆举行军训动员 大会,试问:这个通知的对

象是全体高一学生还是个
别对象? 让我们进入本节课的学习!

(1)了解集合的含义,体会元素与集合的关系 .
(重点) (2)了解有限集、无限集、空集的意义,知道常 用数集及其记法.(难点)

思考1

在初中数学中,学习哪些知识点时,曾提到

“集合”一词? 解答:(1)在学习“不等式的解法”中曾提到:

一个不等式的所有的解组成了这个不等式解的集合,
简称不等式的解集.

(2)圆的定义中曾提到:
圆:到定点的距离等于定长的点的集合.

思考2

观察下面的实例:

(1)小于10的质数.

(2)2012年伦敦奥运会中我国运动员获得的所有
金牌.

(3)满足 3x-2>x+3 的全体实数.
(4)中国的直辖市.

(5)高一(3)班全体男同学.
(6)2013年央视春晚主持人.

(7)赵本山的弟子.
(8)初中我们学过的函数.

通过以上实例,想一想,什么是集合?
解答:集合与元素的概念:

一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个
整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的 集合(或集). 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素 (或成员).

集合通常用大写的英语字母表示,如A,B,C,P, Q, ? 元素通常用小写的英语字母表示,如a,b,c,p, q, ?

【概念补充】我们可以用大括号“{

}”来具体

表示一个集合,大括号中的元素之间用逗号“,” 隔开.

例如:世界四大洋构成的集合,我们可表示为{
北冰洋,太平洋,大西洋,印度洋}.

思考3

上面实例(1),(4)中集合的元素分别是

什么?如何用集合表示这两个实例? 解答:实例(1)中集合的元素有2,3,5,7,用

集合表示为{2,3,5,7};
实例(4)中集合的元素有重庆,北京,天津,

上海,用集合表示为{重庆,北京,天津,上海}.

思考4

集合与元素之间存在怎样的关系,怎样来描

述这种关系? 解答:集合与元素之间的关系: (1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记

作 a ? A.

(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于

A,记作 a ? A .
如上述实例(1)中, 2∈{2,3,5,7},9 ? {2,3,

5,7} ; 实例(4)中,青岛
上海}.

{ 重庆,北京,天津, ?

【提升总结】集合和元素是两个不同的概念,它 们之间是从属的关系,类似于公司与员工的关系, 因此用符号“∈”与“ ?”来表示这种关系,要 注意“∈”的开口方向,不能把a∈A颠倒过来写. 此外要辩证地理解集合和元素这两个概念 ,且注 意“∈”与“ ? ”只能表示元素和集合之间的关 系,不能用来表示集合与集合之间的关系.

回答下列问题: (1)“我们班的高个子同学”“年轻人”“接近 0的数”能否组成一个集合,为什么? (2)A={2,2,4}表示是否正确?

解答:(1)中,身高多高为“高个子”,年龄多大为 “年轻”,“接近0”的数到底有哪些,因界定的标准 不明确,这些被研究的对象模棱两可,不能确定,故 三者都不能组成集合.

(2)中集合的元素“2”虽然出现了两次,但只能算
作一个元素,实际上集合A的元素就只有2和4,应表示

为A={2,4},故A={2,2,4}表示不正确.

由以上问题可以看出,集合元素具有以下两个特性: (1)确定性:作为一个集合的元素,必须是确定 的.这就是说,不能确定的对象就不能构成集合.

也就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这
个集合的元素也就确定了.

(2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素
一定是不同的(或说是互异的).这就是说,集合中 的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入 同 一个集合时只能算作集合的一个元素.

【特别提醒】
相等集合:只要构成两个集合的元素是一样的,

我们就称这两个集合是相等的.

【提升总结】对集合元素两个特性的理解:
(1)对于确定性,关键是理解“确定”的含义,

对任意对象都能确定它是不是集合的元素,这是集
合的最基本特征.没有确定性就不能成为集合.如 “很大的数”“聪明的人”都不能构成集合.

(2)互异性是判断是否构成集合的另一标准,通
常通过检验的方法看集合是否满足互异性,如 {x,x2}与 {1,x}元素完全相同,则x2=1,即 x=±1,但当x=1时集合变为{1,1}不满足互异性, 故只能x=-1.

思考5

根据所含元素的个数应将集合如何分类?

解答:集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:

有限集:含有有限个元素的集合.
无限集:含有无限个元素的集合.

思考6 些?

方程x-3=x-1的解构成的集合的元素有哪

解答:因为方程x-3=x-1无解,所 以它构成的集合中不含有任何元素. 一般地,我们把不含任何元素 的集合叫做空集,记作 ? .
空集是一特殊的 集合哟!

思考7

数学中的“数”是怎样分类的?

解答:最先认识的诸如0,1,2,3,…这样的数 都是自然数,它包括正整数和零,自然数和负整

数构成了整数,整数和分数构成了有理数,有理
数和无理数构成实数.
自然数 整数 有理数 实数

思考8 系?

这些“数”与我们现在学的集合有什么联

解答:这些“数”都是数的集合,它们是数集. 对于这些常见的数集,在高中我们还会经常用到,

以后为了方便表示它们,现对它们用统一的符号
规定如下.

常见数集的专用符号:
N:自然数集(全体非负整数的集合)

N*或 N ? :正整数集(N内排除0剩下的元素组成的
集合) Z:整数集(全体整数的集合) Q:有理数集(全体有理数的集合) R:实数集(全体实数的集合)
?:空集(不含任何元素的集合)

【提升总结】它们之间的关系如图所示:

正整数集: N+或N*
自然数集: N 整数集: 有理数集: Z Q

实数集:

R

1.下列说法正确是

. (填序号)

(1)地球周围的行星能确定一个集合.

(2)实数中不是有理数的所有数的全体能确定一个
集合.

3 6 1 (3)由1, , ,∣ ? ∣,0.5 这些数组成的集合 2 4 2 有5个元素.
(4){1,2,3}与{1,2,-3}是不同集合.

分析:这类题目主要考查对集合概念的理解,解 决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互 异性为标准作出判断.

解:(1)是错误的,因为“周围”是个模糊的概念,

随便找一颗行星无法判断是否属于地球的周围,因
此它不满足集合元素的确定性.

(2)是正确的,虽然满足条件的数有无数多个,但
任何一个元素都能判断出来是否属于这个集合.

3 = 6 ,∣- 1 ∣=0.5,因此,由 (3)是错误的, 2 4 2 1, 3 ,6 ,∣? 1∣,0.5 这些数组成的集合为
2 4
2
3 ,0.5},共有3个元素. {1, 2

(4)是正确的,满足集合的两个条件:确定性、互
异性. 答案:(2)(4)

2.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,

则此三角形一定不是(
A.锐角三角形 C.钝角三角形

)D
B.直角三角形 D.等腰三角形

3.若集合A含有两个元素0,1,则( B ) A.1 ? A C.0 ? A B.0∈A D.2∈A

? (1)2_____N.

4.用符号∈和 ? 填空.

? (2) 2_____Q.

? ?. (3)0______

? ?0? . (4)0______

? ?a,b,c? . (5)b______

? *. (6)0______N

【特别提醒】 求解此类问题必须要做到以下两点: ①熟记常见的数集的符号;

②正确理解元素与集合之间的“属于”关系.

5.若集合A中含有三个元素分别为x - 2,2x2 + 5x, 12,

且 -3∈A,求x的值.

分析:-3∈A说明集合A中x-2=-3或者2x2+5x=-3, 可分类讨论求解.

解:由题意可知,x-2=-3或
2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,

逐个验证, 看是否满足 互异性

把x=-1代入2x2+5x,值为-3,不满足集合元素的
互异性. 当2x2+5x=-3时,x= ? 3 或x=-1(舍去);
2 3 2 3 故x= ? . 2

把x=

?

代入集合A中,满足集合元素的互异性,

本节课主要学习了:
(1)集合与元素的概念. (2)集合与元素之间的“属于”“不属于”关系. (3)集合元素的两个特性: ①确定性;②互异性. (4)常见数集的专用符号.

在学业的峰峦上,有汗水的溪流飞淌;在智慧的 珍珠里,有勤奋的心血闪光。


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