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1.3.2函数的奇偶性练习题2(含答案)


函数的奇偶性
1.函数 f(x)=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是 A.奇函数非偶函数 B.偶函数非奇函数 ) ( )

C.奇函数且偶函数 D.非奇非偶函数 2 2. 已知函数 f (x) =ax +bx+c (a≠0) 是偶函数, 那么 g (x) =ax3+bx2+cx 是( A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 3. (20

05 重庆)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数, 且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ( ) A.(-?,2) B. (2,+?) C. (-?,-2)?(2,+?) D. (-2,2) 4.(2006 春上海) 已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数. 当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则 当 x∈(0.+∞)时,f(x)= 5. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=lg( x 2 ? 1 -x); (2)f(x)= x ? 2 + 2 ? x
? x(1 ? x) ? ? x(1 ? x) ( x ? 0), ( x ? 0).

.

(3) f(x)=

6.已知 g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值是 1,且 f(x)+g(x)是奇函数,求 f(x)的表达式。 7.定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)是减函数,且 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值 范围 8.已知函数 f ( x) ? 是增函数, (1)求 a,b,c 的值; (2)当 x∈[-1,0)时,讨论函数的单调性. 9.定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有
ax 2 ? 1 (a, b, c ? N ) 是奇函数, f (1) ? 2, f (2) ? 3, 且 f ( x)在[1, ??) 上 bx ? c

f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数;
(2)若 f(k·3 x )+f(3 x -9 x -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

10 下列四个命题: (1)f(x)=1 是偶函数; (2)g(x)=x3,x∈(-1,1 ] 是奇函数; (3)若 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 H(x)=f(x) ·g(x)一定是奇 函数; (4)函数 y=f(|x|)的图象关于 y 轴对称,其中正确的命题个数是 ( A .1 B.2 C.3 D.4 ) 11(2005 山东)下列函数既是奇函数,又在区间 ??1,1? 上单调递减的是( A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? ? x ? 1 C. f ( x) ?
1 x ? a ? a?x ? 2



D. f ( x) ? ln

2? x 2? x

12 若 y=f (x) (x∈R) 是奇函数, 则下列各点中, 一定在曲线 y=f (x) 上的是 ( A. (a,f(-a) ) C. (-lga,-f(lg ) )
4 3



B. (-sina,-f(-sina) )
1 a

D. (-a,-f(a) )

13. 已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=_____________。 14.已知 f ( x) ?
a ? 2x ? a ? 2 是 R 上的奇函数,则 a = 2x ? 1

15.若 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,又 f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为 ________ 16.已知 y=f(x)是偶函数,且在 [0,?? ) 上是减函数,则 f(1-x2)是增函数的区间是
1 ? ) 2 ?1 2
x

17.已知 f ( x) ? x(

1

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)证明 f(x)>0。

函数的奇偶性(解答部分) 1.【提示或答案】 D 【基础知识聚焦】掌握函数奇偶性的定义。 2.【提示或答案】A 【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念 3.【提示或答案】D 【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念及数形结合的思想 【变式与拓展】 1:f(x)是定义在 R 上的偶函数,它在 [0,?? ) 上递减,那么一定有( )

A. f (? 3 ) ?
4

f (a 2 ? a ? 1)

B. f (? 3 ) ?
4 3 4

f (a 2 ? a ? 1)

C. f (?

3 ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4

D. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1)

【变式与拓展】 2:奇函数 f(x)在区间[3,7]上递增,且最小值为 5,那么在区间[-7,-3] 上 是( ) A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 4. 【提示或答案】f(x)=-x-x4 【变式与拓展】已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,x>0 时,f(x)=x2-2x+3,则 f(x)=________________。 【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式 5. 【提示或答案】 解(1)此函数的定义域为 R. ∵f(-x)+f(x)=lg( x2 ? 1 +x)+lg( x2 ? 1 -x)=lg1=0 ∴f(-x)=-f(x),即 f(x)是奇函数。 (2)此函数定义域为{2} ,故 f(x)是非奇非偶函数。 (3)∵函数 f(x)定义域(-∞,0)∪(0,+∞) ,当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=(-x) [1-(-x) ]=-x(1+x)=-f(x) (x>0). 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x) (x<0). 故函数 f(x)为奇函数. 【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念并会判断函数的奇偶性 6.解:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 则

f ( x) ? g ( x) ? (a ?1) x2 ? bx ? c ? 3 是奇函数

?a ? 1 ? 0 ?a ? 1 ?? ?? , ?c ? 3 ? 0 ?c ? 3
b 1 f ( x) ? x 2 ? bx ? 3 ? ( x ? ) 2 ? 3 ? b 2 2 4 b 1 (1)当 ?1 ? ? ? 2 即 -4 ? b ? 2 时,最小值为: 3 ? b 2 ? 1 ? b ? ?2 2 4 2

?b ? ?2 2, f ( x) ? x2 ? 2 2x ? 3
b ? 2 即 b ? ?4 时,f(2)=1 无解; 2 b (3)当 ? ? ?1 即 b ? 2 时, 2

(2)当 ?

f (?1) ? 1 ? b ? 3, f ( x) ? x2 ? 3x ? 3
综上得: f ( x) ? x2 ? 2 2x ? 3 或

f ( x) ? x2 ? 3x ? 3

【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式,渗透数形结合 7. 【提示或答案】 -1<1-a<1 -1<1-a2<1 f(1-a)<- f(1-a2)=f(a2-1),1-a> a2-1 得 0<a<1 【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题 8. 【提示或答案】 解(1) f ( x) 是奇函数,则
ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? ? c ? 0 由 f (1) ? 2得 a ? 1 ? 2b , ?bx ? c bx ? c ?bx ? c

由 f (2) ? 3 ?

a?2 1 ? 0 ? ?1 ? a ? 2 又 a ? N ,? a ? 0,1 .当 a ? 0时, b ? ? N , 舍去. a ?1 2

当 a=1 时,b=1, f ( x) ?

x2 ? 1 1 ? x? x x

【基础知识聚焦】结合具体函数,考查函数性质 9【提示或答案】 分析:欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(-x)=-f(x)成立.在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中, 令 y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题, 求 f(0) 的值.令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0,f(x)是奇函数得到证明. (1)证明:

f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), ① 令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x).即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数. (2)解: f(3)=log 2 3>0, 即 f(3)>f(0), 又 f(x)在 R 上是单调函数, 所以 f(x) 在 R 上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数. f(k·3 x )<-f(3 x -9 x -2)
=f(-3 x +9 x +2),

k·3 x <-3 x +9 x +2,
3 2 x -(1+k)· 3 x +2>0 对任意 x∈R 都成立. 令 t=3 x >0, 问题等价于 t 2 -(1+k)t+2 >0 对任意 t>0 恒成立. 1? k 令 f(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴 x ? 2 1? k ? 0, 即k ? ?1 时,f(0)=2>0,符合题意; 当 2 1? k ? 0 时,对任意 t>0,f(t)>0 恒成立 当 2
?1 ? k ?0 ? ?? 2 ?? ? (1 ? k ) 2 ? 4 ? 2 ? 0 ? 解得 ? 1 ? k ? ?1 ? 2 2

综上所述,所求 k 的取值范围是 (??, ?1 ? 2 2) 【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题,使学生掌握方法。 10【提示或答案】B 11【提示或答案】D 12【提示或答案】D 【基础知识聚焦】掌握奇偶函数的性质及图象特征 13【提示或答案】6 【基础知识聚焦】考查奇偶性及整体思想 【变式与拓展】 :f(x)=ax3+bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=_____________。 14【提示或答案】由 f(0)=0 得 a=1 【基础知识聚焦】考查奇偶性。若奇函数 f(x)的定义域包含 0 ,则 f(0)=0; f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|) 15【提示或答案】画图可知,解集为 (??, ?2) ? (2, ??) ; 16【提示或答案】x<-1,0<x<1 17【提示或答案】 (1)偶函数 (2)x>0 时,f(x)>0,x<0 时-x>0,f(x)=f(-x)>0


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