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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:模块检测


模块检测
(时间:120 分钟 满分:160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生, 且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为________. 解析
2 排除法.先不考虑甲、乙同班的情况,将 4 人分成三组有 C4 =6(

种)

方法,再将三组同学分配到三个班级有 A3 3=6(种)分配方法,再考虑甲、乙同
2 3 3 班的分配方法有 A3 3=6(种),所以共有 C4A3-A3=30(种)分法.

答案

30

2.(1+2x)5 的展开式中,x2 的系数等于________. 解析 (1+2x)5 的展开式的通项为

r r r r Tr+1=Cr x, 5(2x) =2 C5·

令 r=2,得 22×C2 5=4×10=40. 答案 40

3.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少 取到 1 瓶已过保质期的概率为________(结果用最简分数表示). 解析 因为 30 瓶饮料中未过期饮料有 30-3=27 瓶,
30

2 C27 28 故其概率为 P=1-C2 =145.

答案

28 145

4.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归 直线方程是 y=-0.7x+a,则 a 等于________. 解析 x =2.5, y =3.5,

∵回归直线方程过定点( x , y ), ∴3.5=-0.7×2.5+a.

第1页 共9页

∴a=5.25. 答案 5.25

5.直线方程 Ax+By=0,若从 1,2,3,6,7,8 这六个数字中每次取两个不同的数作 为 A、B 的值,则表示不同直线的条数是________. 解析 先不考虑重合的直线,分两步完成,

共有 6×5=30(条)直线,其中当 A=1,B=2 和 A=3, B=6,A=2,B=1 和 A=6,B=3,A=1,B=3 和 A=2, B=6,A=3,B=1 和 A=6,B=2 时,两直线重合, 故不重合的直线有 30-4=26(条). 答案 26

6.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现 1 1 红灯的概率是2,两次闭合都出现红灯的概率为6,在第一次闭合后出现红灯 的条件下第二次出现红灯的概率为________. 解析 “第一次闭合后出现红灯”记为事件 A,

“第二次闭合后出现红灯”记为事件 B, 1 1 则 P(A)=2,P(AB)=6. 1 6 1 ∴P(B|A)=1=3. 2 答案 1 3

7.随机抽取 9 个同学中,至少有 2 个同学在同一月出生的概率是________(默认 每月天数相同,结果精确到 0.001). 解析 设事件 A 为“至少有 2 位同学在同一月份出生”,

则 A 的对立事件 A 为“所有人出生月份均不相同”, A9 12 则 P(A)=1-P( A )=1- 129 =1- 12×11×10×9×8×7×6×5×4 129

≈1-0.015 5=0.984 5≈0.985.
第2页 共9页

答案

0.985

8.若(2x+ 3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 (a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值是________. 答案 1

9.有 10 件产品,其中 3 件是次品,从中任取两件,若 X 表示取到次品的个数, 则 E(X)等于________. 解析
1 1 C7 C3 C2 3 X=1 时,P= C2 ;X=2 时,P=C2 , 10 10

1 7×3+2×3 3 C1 C2 7C3 3 ∴E(X)=1× C2 +2×C2 = =5. 2 C10 10 10

答案

3 5

10.将 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球放入 4 个不同盒子中 的 3 个中,使得有 1 个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法共有 ________种(用数字作答). 解析
1 先选 1 空盒:C4 ,将 4 白、5 黑、6 红分别放入其余三个盒中,每盒 1

2 个,剩 1 个白球有 3 种放法,剩 2 个黑球有 3+C3 =6(种)放法.剩 3 个红球 1 有 3+1+A2 3=10(种)放法,由分步乘法原理,得 C4×6×3×10=720(种).

答案

720

11.均值为 2,方差为 2π 的正态分布的概率密度函数为________. 解析 在密度函数 f(x)= 中, .

μ=2,σ= 2π,故 f(x)= 答案 f(x)=

12.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机 的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率________. 解析 由古典概型的概率公式得
2 2 3 2 2 2A2 2A2A3+A3A2A2 2 =5. 5 A5

P=1-

第3页 共9页

答案

2 5

?1 ? 13.对于二项式? x+x3?n(n∈N*),四位同学作出了四种判断: ? ? ①存在 n∈N*,展开式中有常数项; ②对任意 n∈N*,展开式中没有常数项; ③对任意 n∈N*展开式中没有 x 的一次项; ④存在 n∈N*,展开式中有 x 的一次项. 上述判断中正确的是________. 解析 ?1 ? 二项式? x+x3?n 的展开式的通项为 ? ?

?1?n-r 3 r r-n 3r 4r-n Tr+1=Cr · (x ) =Cr · x =Cr . n? x? nx nx ? ? 当展开式中有常数项时,有 4r-n=0, 即存在 n、r 使方程有解.当展开式中有 x 的一次项时,有 4r-n=1, 即存在 n、r 使方程有解.即分别存在 n,使展开式有常数项和一次项. 答案 ①④

14.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回 答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的 概率都是 0.8, 且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问 题就晋级下一轮的概率等于________. 解析 记“该选手回答对第 i 个问题”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5),且 P(Ai)=0.8.

选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮,则该选手第二个问题必回答错,第 三、第四个问题必回答对, ∴所求事件的概率 P=P( A 2· A3· A4)=P( A 2)· P(A3)· P(A4) =(1-0.8)×0.8×0.8=0.128. 答案 0.128

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单 随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下:
第4页 共9页

性别 是否需要志愿者 需要 不需要

男 40 160

女 30 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别 有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要 志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由. 附: P(K2≥x0) x0 n?ad-bc?2 χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 解 (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

70 年人中,需要帮助的老年人的比例的估计值为500=14%. 500×?40×270-30×160?2 (2)χ = ≈9.967. 200×300×70×430
2

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与 性别有关. (3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据 能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此 在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两 层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. 16.(本小题满分 14 分)某市公租房房屋位于 A、B、C 三个地区,设每位申请人 只申请其中一个片区的房屋,且申请其中任一个片区的房屋是等可能的,求 该市的任 4 位申请人中: (1)若有 2 人申请 A 片区房屋的概率; (2)申请的房屋在片区的个数的 X 分布列与期望.
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(1)所有可能的申请方式有 34 种, 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式有

C2 22 8 4· 2 2 C4 · 2 种,从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 34 =27. 3 1 (2)X 的所有可能值为 1,2,3.又 p(X=1)=34=27,
4 3 C2 C2 4 3?2 -2? 14 4A3 p(X=2)= =27,p(X=3)= 34 =9, 34

综上知,X 的分布列为: X p 1 1 27 2 14 27 3 4 9

1 14 4 65 从而有 E(X)=1×27+2×27+3×9=27. 1? ? 17.(本小题满分 14 分)数列{an}的通项公式为 an=?1+n?n(n∈N*),求证: ? ? (1){an}为递增数列;(2)2≤an<3. 证明 1 ?n+1 1? ? ? ?1?2 1?1? n?1?n ?n?+C2 (1)an=?1+n?n=1+Cn = n?n? +?+Cn?n? ,an+1=?1+ n+1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 ?n+1 +1? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ?2 ?+Cn ? +?+Cn 1+Cn , +1? +1? n+1? n + 1 n + 1 n + 1? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?k k ?1?k ? 观察可知当 k=0,1 时,Ck = C n+1? n?n? ; ? ? ?n+1? ? 1 ?k k ?1?k ? 当 k=2,3,?,n 时,Ck > C n+1? n?n? , ? ? ?n+1? 所以 an<an+1,即{an}为递增数列. 1? ? ?1?2 n?1? n?1?n 1?1? ?n?+C2 (2)因为 a0=?1+n?n=1+Cn n?n? +?+Cn?n? ≥1+Cn?n?=2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ?1? 2?1?2 又 an=?1+n?n=1+C1 n?n?+Cn?n? +?+ ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 n?1?n ?n? ≤2+ Cn + +?+ =3-n<3. ? ? 1×2 2×3 ?n-1?n 故 2≤an<3(n∈N*). 18.(本小题满分 16 分)某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据:

第6页 共9页

日销售量(件) 频数

0 1

1 5

2 9

3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变 ).设某天开始营业时由 该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货 补充至 3 件,否则不进货,将频率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记 X 为第二天开始营业时该商品视为件数,求 X 的分布列和数学期望. 解 (1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为 0 件”)+P(“当天

1 5 3 销售量为 1 件”)=20+20=10. (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. 5 1 P(X=2)=P(“当天销售量为 1 件”)=20=4 P(X = 3) = P(“当天商品销售量为 0 件”) + P(“当天销售量为 2 件”) + 1 9 5 3 P(“当天销售量为 3 件”)=20+20+20=4. 故 X 的分布列为 X P 2 1 4 3 3 4

1 3 11 所以 X 的数学期望为 E(X)=2×4+3×4= 4 . 19.(本小题满分 16 分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品 种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种 植品种乙. (1)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的 分布列和数学期望; (2)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在 各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表: 品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413

第7页 共9页

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结 果,你认为应该种植哪一品种? 解 (1)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,

3 1 1 C1 8 4C4 且 P(X=0)=C4=70,P(X=1)= C4 =35, 8 8 2 1 C2 C3 8 4C4 18 4C4 P(X=2)= C4 =35,P(X=3)= C4 =35, 8 8

1 1 P(X=4)=C4=70.即 X 的分布列为
8

X P X 的数学期望是:

0 1 70

1 8 35

2 18 35

3 8 35

4 1 70

1 8 18 8 1 E(X)=0×70+1×35+2×35+3×35+4×70=2. (2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: 1 χ 甲=8(403+397+390+404+388+400+412+406)=400, 1 S2甲=8(32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62)=57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: 1 χ 乙=8(419+403+412+418+408+423+400+413)=412, 1 S2乙=8(72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12)=56. 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两 品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙. 20. (本小题满分 16 分)A 高校自主招生设置了先后三道程序: 部分高校联合考试、 本校专业考试、 本校面试. 在每道程序中, 设置三个成绩等级: 优、 良、 中. 若 考生在某道程序中获得“中”,则该考生在本道程序中不通过,且不能进入 下面的程序.考生只有全部通过三道程序,自主招生考试才算通过.某中学 3 学生甲参加 A 高校自主招生考试,已知该生在每道程序中通过的概率均为4, 1 每道程序中得优、良、中的概率分别为 p1、2、p2.
第8页 共9页

(1)求学生甲不能通过 A 高校自主招生考试的概率; (2)设 X 为学生甲在三道程序中获优的次数,求 X 的概率分布及数学期望. 1 3 ? ?p1+2=4, 由题意,得? 1 ? ?p1+p2=2, 1 解得 p1=p2=4.



1 3 1 3 3 (1)设事件 A 为学生甲不能通过 A 高校自主招生考试, 则 P(A)=4+4×4+4×4 1 37 ×4=64. 37 即学生甲不能通过 A 高校自主招生考试的概率为64. (2)由题意知,X=0,1,2,3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 P(X=0)=4+2×4+2×2×4+2×2×2=16, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 P(X=2)=4×4×4+4×4×2+4×2×4+2×4×4=64,P(X=3)=4×4×4= 1 64, ∵ ?P(X=i)=1,
i=0 3

5 ∴P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X=3)=16. ∴X 的概率分布为: X P 0 9 16 1 5 16 2 7 64 3 1 64

9 5 7 1 37 X 的数学期望 E(X)=0×16+1×16+2×64+3×64=64.

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