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第一部分 专题3 第二讲能量转化和守恒


第2讲

能量转化和守恒

1.解决功能关系问题应该注意的两个方面

(1)分析清楚是什么力做功,并且清楚该力是做正功,还是做负功
;根据功能之间的一一对应关系,判定能的转化形式,确定能量之

间的转化多少.
(2)也可以根据能量之间的转化情况,确定是什么力做功,尤其可 以方

便计算变力做功的多少.

2.常见的几种功能关系

(2012· 安徽高考)如图3-2-1所示,在竖直平面内有一半径为 R的圆弧轨道,半径OA水平、OB竖直,一个质量为m的小球自A的正上 方P点由静止开始自由下落,小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没 有压力.已知AP=2R,重力加速度为g,则小球从P到B的运动过程中 ( ) A.重力做功2mgR B.机械能减少mgR C.合外力做功mgR 1 D.克服摩擦力做功2mgR

【解析】 小球到达B点时,恰好对轨道没有压力,只受重力作 mv2 用,根据mg= R 得,小球在B点的速度v= gR.小球从P到B的过程 1 中,重力做功W=mgR,故选项A错误;减少的机械能ΔE减=mgR-2 1 1 1 mv2=2mgR,故选项B错误;合外力做功W合=2mv2=2mgR,故选项C 1 2 1 2 错误;根据动能定理得,mgR-Wf=2mv -0,所以Wf=mgR-2mv 1 =2mgR,故选项D正确.

【答案】

D

1.(2012· 潍坊模拟)质量为m的物体,以某一速度从固定斜面底端 3 冲上倾角α=30° 的斜面做减速运动,加速度大小为4g,物体沿斜面上 升的最大高度为h,此过程中( 1 A.动能减少2mgh B.重力势能增加mgh 3 C.机械能减少2mgh 1 D.机械能减少2mgh )

【解析】 物体在斜面上运动,对其受力分析,由牛顿第二定律 1 可得mgsin α+f=ma,解得f=4mg;由动能定理可得W=ΔEk,ΔEk=- 3 2mgh,选项A错误;重力势能的变化量等于重力做的功,即ΔEp= mgh,选项B正确;机械能的减少量等于除重力外克服其他力所做的 1 功,即ΔE=f×2h=2mgh,选项C错误,选项D正确.

【答案】

BD

2.(2012· 广州一中模拟)升降机底板上放有一质量为100 kg的物体,

物体随升降机由静止开始竖直向上移动5 m时速度达到4 m/s,则此过
程中(g取10 m/s2)( ) A.升降机对物体做功5 800 J

B.合外力对物体做功5 800 J
C.物体的重力势能增加5 000 J D.物体的机械能增加5 000 J

【解析】 物体高度变化,重力势能增加ΔEp=mgh=100×10×5
J=5 000 J,且有速度故有动能.升降机对物体做功为重力势能+动 能=5 800 J,选项A、C正确;合外力做功为动能增加量等于800 J, B错误;机械能总增加量为动能增加量+势能增加量>5 000 J,选项 D错误. 【答案】 AC

3. (2012·沈阳模拟)如图3-2-2所示,建筑工地上载人升降机用不 计质量的细钢绳跨过定滑轮与一有内阻的电动机相连,通电后电动机 带动升降机沿竖直方向先匀加速上升后匀速上升.摩擦力及空气阻力 均不计.则( )

A.升降机匀加速上升过程中,升降机底板 对人做的功等于人增加的动能 B.升降机匀速上升过程中,升降机底板对 人做的功等于人增加的机械能 C.升降机上升的全过程中,电动机消耗的 电能等于升降机增加的机械能 D.匀速上升过程中电动机的输出功率一定 小于匀加速上升过程中电动机的最大输出功率

【解析】

人在升降机里受到重力mg和底板对人的支持力F,升

降机匀加速上升时,由牛顿第二定律有:F合=F-mg=ma,F>mg, 则升降机底板对人做的功W=Fh=mgh+mah=ΔEp+ΔEk=ΔE机, 则选项A错误;升降机匀速上升时,有F=mg,ΔEk=0,升降机底 板对人做的功W=Fh=mgh=ΔEp=ΔE机,则选项B正确;因电动机 消耗的能量E消=E出+E内,而E出=E机,则选项C错误,选项D正 确.

【答案】 BD

1.研究对象的选取

研究对象的选取是解题的首要环节,有的问题选
单个物体(实为一个物体与地球组成的系统)为研 究对象,机械能不守恒,但选此物体与其他几个

物体组成的系统为研究对象,机械能却是守恒的,
如图3-2-3所示单选物体A机械能减少,但由物 体A、B二者组成的系统机械能守恒.

2.研究过程的选取
有些问题的研究对象的运动过程分几个阶段,有的阶段机械能守 恒,而有的阶段机械能不守恒,因此在应用机械能守恒定律解题时

要注意过程的选取.

3.机械能守恒表达式的选取 (1)守恒观点:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2. (2)转化观点:ΔEp=-ΔEk. (3)转移观点:ΔEA增=ΔEB减. 守恒观点的表达式适用于单个或多个物体机械能守恒的问题,解题 时必须选取参考平面,而后两种表达式都是从“转化”和“转移”的 角度来反映机械能守恒的,不必选取参考平面.

(12分)(2012· 长春模拟)如图3-2-4所示,左侧为一个半径为R的半 球形的碗固定在水平桌面上,碗口水平,O点为球心,碗的内表面及碗口光 滑.右侧是一个固定光滑斜面,斜面足够长,倾角θ=30° .一根不可伸长的不计 质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上,线的两端分别系有 可视为质点的小球m1和m2,且m1>m2.开始时m1恰在碗口右端水平直径A处,m2 在斜面上且距离斜面顶端足够远,此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸 直.当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开,不计细绳断开 瞬间的能量损失. (1)求小球m2沿斜面上升的最大距离s; (2)若已知细绳断开后小球m1沿碗的内 m1 侧上升的最大高度为R/2,求m . 2

【规范解答】 (1)设重力加速度为g,小球m1到达最低点B时m1、m2 速度大小分别为v1、v2, 由运动合成与分解得v1= 2v2①(1分) 对m1、m2系统由机械能守恒定律得 1 1 2 m1gR-m2gh=2m1v1+2m2v2②(2分) 2 h= 2Rsin 30° ③(1分) 设细绳断开后m2沿斜面上升的距离为s′,对m2由机械能守恒定律 得 1 m2gs′sin 30° 2m2v2④(2分) = 2 小球m2沿斜面上升的最大距离s= 2R+s′⑤(1分) 2m1- 2m2 联立得s=( 2+ )R.⑥(2分) 2m1+m2

(2)对m1由机械能守恒定律得 1 R 2 2m1v1=m1g 2 ⑦(2分) m1 2 2+1 联立①②③⑦得m = 2 ≈1.9.(1分) 2

2m1- 2m2 【答案】 (1)( 2+ )R (2)1.9 2m1+m2

1.如图3-2-5所示,劲度系数为k的轻质弹簧,一端系在竖直放置 的半径为R的圆环顶点P,另一端系一质量为m的小球,小球穿在圆环上 做无摩擦的运动.设开始时小球置于A点,弹簧处于自然状态,当小球 运动到最低点时速率为v,对圆环恰好没有压力.下列分析正确的是 ( ) A.从A到B的过程中,小球的机械能守恒 B.从A到B的过程中,小球的机械能减少 mv2 C.小球过B点时,弹簧的弹力为mg+ R v2 D.小球过B点时,弹簧的弹力为mg+m2R

【解析】 小球从A至B的过程中,除了小球的重力做功外,弹簧 弹力对小球也做了功,因此,小球的机械能不守恒,因为弹力做负 功,小球的机械能减少,选项A错,而选项B对;小球运动到B位置 v2 时,对圆环恰好没有压力,根据牛顿第二定律得F-mg=m R ,F为弹 簧上的弹力,选项C正确,D错误.

【答案】 BC

2. (2012· 江西四市联考)如图3-2-6所示,A、B分别为竖直放置的 光滑圆轨道的最低点和最高点,已知小球通过A点时的速度大小为vA= 2 5 m/s,则该小球通过最高点B的速度值可能是( A.10 m/s C.3 m/s B. 5 m/s D.1.8 m/s )

【解析】 设圆轨道半径为R时,小球恰好通过最高点时速度最
2 vB 小,即只有重力充当向心力,有mg=m R ;由最低点到最高点过程中,

1 1 由动能定理有-mg· 2R=2mv2 -2mv2 ,解得:vB=2 m/s,由机械能守恒 B A 定律可知,小球通过最高点时速度一定小于在最低点时的速度,故B、 C项正确.

【答案】 BC

3. (2012·银川模拟)质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量
的细绳两端,绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上, 斜面固定在水平地面上,开始时把物体B拉到斜面底端,这时物体A 离地面的高度为0.8 m,如图3-2-7所示.若摩擦力均不计,从静 止开始放手让它们运动.求:(g=10 m/s2) (1)物体A着地时的速度; (2)物体A着地后物体B沿斜面上滑的最大距离.

【解析】 (1)从开始放手到物体A着地,对A、B由机械能守恒定 律得 1 mgh=2×2mv2+mghsin 30° 1 解得v =2gh=4 m2/s2
2

则v=2 m/s 1 2 (2)物体A着地后,物体B继续沿斜面上滑,对B物体E机守恒有2mv =mgs1sin 30° 则s1=v2/g=4/10=0.4(m).

【答案】

(1)2 m/s

(2)0.4 m

1.对定律的理解 (1)某种形式的能减少,一定存在其他形式的能增加,且减少量和 增加量一定相等.即ΔE减=ΔE增. (2)某个物体的能量减少,一定存在其他物体的能量增加,且减少 量和增加量一定相等.即ΔEA减=ΔEB增. 2.应用能量守恒定律解题的步骤 (1)分清有多少形式的能[如动能、势能(包括重力势能、弹性势能 、电势能)、内能等]在变化. (2)明确哪种形式的能量增加,哪种形式的能量减少,并且列出减 少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式. (3)列出能量守恒关系式:ΔE减=ΔE增.

如图3-2-8所示,传送带与水平面之间的夹角为θ= 30° ,其上A、B两点间的距离为l=5 m,传送带在电动机的带动下以v= 1 m/s的速度匀速运动,现将一质量为m=10 kg的小物体(可视为质点)轻 3 放在传送带的A点,已知小物体与传送带之间的动摩擦因数为μ= 2 , 在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中,(g取10 m/s2)求: (1)传送带对小物体做的功; (2)电动机做的功.

【解析】 (1)根据牛顿第二定律知, 1 μmgcos θ-mgsin θ=ma,解得a=4g=2.5 m/s2, 当小物体的速度为1 m/s时,小物体的位移为 v2 l1=2a=0.2 m, 即小物体匀速运动了l2=l-l1=4.8 m,由功能关系可得 1 W=ΔEk+ΔEp=2mv2+mglsin θ=255 J. (2)电动机做功使小物体机械能增加,同时小物体与传送带间因摩 擦产生热量Q. v 小物体与带的相对位移l′=v·-l2=0.2 m a 摩擦生热Q=Ffl′=μmgcos θl′=15 J, 故电动机做的功为W总=W+Q=255 J+15 J=270 J.

【答案】

(1)255 J

(2)270 J

1.足够长的水平传送带始终以速度v匀速运动,某时刻放上一个
小物体,质量为m,初速度大小也是v,但方向与传送带的运动方向 相反,最后小物体的速度与传送带相同.在小物体与传送带间有相 对运动的过程中,滑动摩擦力对小物体做的功为W,小物体与传送 带间摩擦生热为Q,则下面的判断中正确的是( A.W=mv2/2,Q=mv2 C.W=0,Q=mv2 )

B.W=mv2,Q=2mv2 D.W=0,Q=2mv2

【解析】 小物体在传送带上运动时只有滑动摩擦力对其做功, W=ΔEk=0;小物体在与传送带相对运动过程中,设相对运动时间为 2v t,由运动公式得v=(-v)+μgt,即t=μg 2v2 S物=0 S带=vt= μg 2v2 则Q=μmgS相=μmg μg =2mv2,选项D对.

【答案】

D

2.(2012· 四川高考)四川省“十二五”水利发展规划指出,若按 现有供水能力测算,我省供水缺口极大,蓄引提水是目前解决供水 问题的重要手段之一.某地要把河水抽高20 m,进入蓄水池,用一 台电动机通过传动效率为80%的皮带,带动效率为60%的离心水泵 工作.工作电压为380 V,此时输入电动机的电功率为19 kW,电动

机的内阻为0.4 Ω.已知水的密度为1×103 kg/m3,重力加速度取10
m/s2.求: (1)电动机内阻消耗的热功率; (2)将蓄水池蓄入864 m3的水需要的时间(不计进、出水口的水流 速度).

【解析】

(1)设电动机的电功率为P,则P=UI

设电动机内阻r上消耗的热功率为Pr,则Pr=I2r 代入数据解得Pr=1×103 W (2)设蓄水总质量为M,所用抽水时间为t.已知抽水高度为h,容积 为V,水的密度为ρ,则M=ρV

设质量为M的河水增加的重力势能为ΔEp,则ΔEp=Mgh
设电动机的输出功率为P0,则P0=P-Pr 根据能量守恒定律得P0t×60%×80%=ΔEp 代入数据解得t=2×104 s. 【答案】 (1)1×103 W (2)2×104 s

如图3-2-9所示,一轻弹簧左端固定在长木板M的左端, 右端与小木块m连接,且m、M及M与地面间摩擦不计.开始时,m和 M均静止,现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2,设两物 体开始运动以后的整个运动过程中,弹簧形变不超过其弹性限度.对 于m、M和弹簧组成的系统( ) A.由于F1、F2等大反向,故系统机械能守恒 B.当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时,m、 M各自的动能最大 C.由于F1、F2大小不变,所以m、M各自一直做匀加速运动

D.由于F1、F2均能做正功,故系统的机械能一直增大

【解析】

由于F1、F2对系统做功之和不为零,故系统机械能不

守恒,A错误;当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时,速度达到最 大值,故各自的动能最大,B正确;由于弹力是变化的,m、M所受 合力是变化的,不会做匀加速运动,C错误;由于F1、F2先对系统 做正功,当两物块速度减为零时,弹簧的弹力大于F1、F2,两物块 再加速相向运动,F1、F2对系统做负功,系统机械能开始减少,D 错误.

【答案】 B

如图3-2-10所示,质量为m=2 kg的小球系在轻质弹簧 的一端,另一端固定在悬点O处,将弹簧拉至水平位置A处,且弹簧

处于自然状态,弹簧的原长lOA=0.3 m;然后小球由静止释放,小球
到达距O点下方h=0.5 m处的B点时速度为vB=2 m/s,g取10 m/s2. (1)求小球从A运动到B的过程中弹簧的弹力做的功和此时弹簧的

弹性势能;
(2)求该弹簧的劲度系数.

【解析】 (1)取B位置的重力势能为零,小球从A至B的过程中,弹 簧与小球组成的系统机械能守恒,则有 1 2 mgh=EpB+2mvB 解得EpB=6 J 由功能关系可知:克服弹簧弹力做的功等于弹簧上弹性势能的增加 量 W=-EpB=-6 J (2)小球运动到B点时,根据牛顿第二定律 v2 B F-mg=m h 根据胡克定律知F=kx=k(h-lOA) 代入数值,联立以上两式可得k=180 N/m.

【答案】 (1)-6 J

6 J (2)180 N/m


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