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空间几何体的表面积和体积公式汇总表


空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式

1、圆柱体: 表面积: 2π Rr+2π Rh 体积:π R?h

(R 为圆柱体上下底圆半径,h 为圆柱体高) 2、圆锥体: 表面积:π R?+π R[(h?+R?)的平方根]

体积:π R?h/3 (r 为圆锥体低圆半径

,h 为其高, 3、正方体 a-边长,S=6a? ,V=a? 4、长方体 a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc 5、棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 6、棱锥 S-底面积 h-高 V=Sh/3 7、棱台 S1 和 S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、拟柱体 S1-上底面积 ,S2-下底面积 ,S0-中截面积 h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6 9、圆柱 r-底半径 ,h-高 ,C—底面周长 S 底—底面积 ,S 侧—侧面积 ,S 表—表面积 C=2π r S 底=π r?,S 侧=Ch ,S 表=Ch+2S 底 ,V=S 底 h=π r?h 10、空心圆柱 R-外圆半径 ,r-内圆半径 h-高 V=π h(R^2-r^2) 11、直圆锥 r-底半径 h-高 V=π r^2h/3

12、圆台 r-上底半径 ,R-下底半径 ,h-高 V=π h(R?+Rr+r?)/3 13、球 r-半径 d-直径 V=4/3π r^3=π d^3/6 14、球缺 h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径 V=π h(3a?+h?)/6 = π h?(3r-h)/3 15、球台 r1 和 r2-球台上、 下底半径 h-高 V=π h[3(r1?+r2?)+h?]/6 16、圆环体 R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径 V=2π 2Rr? =π 2Dd?/4 17、桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高 V=π h(2D?+d?)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=π h(2D?+Dd+3d?/4)/15 (母线是抛物线形)
1.直线在平面内的判定 (1)利用公理 1:一直线上不重合的两点在平面内,则这条直线在平面内. (2)若两个平面互相垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平 面内,即若 α ⊥β ,A∈α ,AB⊥β ,则 ABα . (3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即若 A∈a,a⊥b,A∈α ,b⊥α ,则 aα . (4)过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面内,即若 Pα , P∈β ,β ∥α ,P∈a,a∥α ,则 aβ .

(5)如果一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个 平面内,即若 a∥α ,A∈α ,A∈b,b∥a,则 bα . 2.存在性和唯一性定理 (1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条; (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条; (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个; (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条; (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个; (6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个; (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个; (8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个. 3.射影及有关性质 (1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影,点的射影 还是点. (2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线,过两垂足的直线叫做直线在这平 面上的射影. 和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直线的射影是一条直线. (3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面 图形在该平面上的射影. 当图形所在平面与射影面垂直时,射影是一条线段; 当图形所在平面不与射影面垂直时,射影仍是一个图形. (4)射影的有关性质 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中: (i)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; (ii)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;

(iii)垂线段比任何一条斜线段都短. 4.空间中的各种角 等角定理及其推论 定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,则这两个角相等. 推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 异面直线所成的角 (1)定义:a、b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a′∥a,b′∥b,则 a′ 和 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角. (2)取值范围:0°<θ ≤90°. (3)求解方法 ①根据定义,通过平移,找到异面直线所成的角 θ ; ②解含有 θ 的三角形,求出角 θ 的大小. 5.直线和平面所成的角 (1)定义和平面所成的角有三种: (i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平 面所成的角. (ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面,则它们所成的角是直角. (iii)一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是 0°的角. (2)取值范围 0°≤θ ≤90° (3)求解方法 ①作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角 θ . ②解含 θ 的三角形,求出其大小. ③最小角定理 斜线和平面所成的角, 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角, 亦可 说,斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.

6.二面角及二面角的平面角 (1)半平面 直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面. (2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱, 这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成. 若两个平面相交,则以两个平面的交线为棱形成四个二面角. 二面角的大小用它的平面角来度量,通常认为二面角的平面角 θ 的取值范围是 0°<θ ≤180° (3)二面角的平面角 ①以二面角棱上任意一点为端点, 分别在两个面内作垂直于棱的射线, 这两条射线所组成的 角叫做二面角的平面角. 如图, ∠PCD 是二面角 α -AB-β 的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点 C 在棱 AB 上的位置无 关. ②二面角的平面角具有下列性质: (i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即 AB⊥平面 PCD. (ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线, 垂足必在平面角 的另一边(或其反向延长线)上. (iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直, 即平面 PCD⊥α , 平面 PCD⊥β . ③找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法 (ii)垂面法 (iii)三垂线法 (Ⅳ)根据特殊图形的性质 (4)求二面角大小的常见方法 ①先找(或作)出二面角的平面角 θ ,再通过解三角形求得 θ 的值. ②利用面积射影定理

S′=S·cosα 其中 S 为二面角一个面内平面图形的面积,S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的 面积,α 为二面角的大小. ③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小. 7.空间的各种距离 点到平面的距离 (1)定义 面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距 离. (2)求点面距离常用的方法: 1)直接利用定义求 ①找到(或作出)表示距离的线段; ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之. 2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上,则已知点到两平面交线 的距离就是所求的点面距离. 3)体积法其步骤是:①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体 积 V 和所取三点构成三角形的面积 S;③由 V=S·h,求出 h 即为所求.这种方法的优点是不 必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算. 4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求. 8.直线和平面的距离 (1)定义一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平 面的距离. (2)求线面距离常用的方法 ①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离,然后通过解三角形计算之. ②将线面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解之. ③作辅助垂直平面,把求线面距离转化为求点线距离. 9.平行平面的距离

(1)定义 个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行 平面间的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两 个平行平面的距离. (2)求平行平面距离常用的方法 ①直接利用定义求 证(或连或作)某线段为距离,然后通过解三角形计算之. ②把面面平行距离转化为线面平行距离, 再转化为线线平行距离, 最后转化为点线(面)距离, 通过解三角形或体积法求解之. 10.异面直线的距离 (1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离. 任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. (2)求两条异面直线的距离常用的方法 ①定义法 题目所给的条件,找出(或作出)两条异面直线的公垂线段,再根据有关定理、性 质求出公垂线段的长. 此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形. ②转化法 为以下两种形式:线面距离面面距离

③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法
公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内. 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面. 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. 空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类: (1)共面: 平行、 相交 (2)异面: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交. 异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线. 两异面直线所成的角:范围为 ( 0° ,90°) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法

2、若从有无公共点的角度看可分为两类: (1)有且仅有一个公共点——相交直线; (2)没有公共点—— 平行或异面 直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角. esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为 0° 角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0° ,90° ] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直 ,那么它也与这条斜线垂 直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义:如果一条直线 a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 a 和平面 互 相垂直.直线 a 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 a 的垂面. 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个 平面. 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. ③直线和平面平行——没有公共点 直线和平面平行的定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行. 直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面 平行. 直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条 直线和交线平行. 两个平面的位置关系: (1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点 (2)两个平面的位置关系: 两个平面平行-----没有公共点; 两个平面相交-----有一条公共直线. a、平行 两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行. b、相交 二面角 (1) 半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面. (2) 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的取值范围为 [0° ,180° ] (3) 二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱. (4) 二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面. (5) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射 线所成的角叫做二面角的平面角. (6) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角. esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.记为 ⊥ 两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

Attention: 二面角求法:直接法(作出平面角) 、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求 出的角与所需要求的角之间的等补关系)


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