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2015年高中数学人教a版选修2-3教学课件 (27)


第三章

导数及其应用

3.4

生活中的优化问题举例

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第三章

导数及其应用

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第三章

导数及其应用

1.知识与技能 了解导数在实际问题中的应用,对给出的实际问题, 如使利润最大、效率最高、用料最省等问题,体会导数在

解决实际问题中的作用.
2.过程与方法 能利用导数求出某些特殊问题的最值.

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导数及其应用

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第三章

导数及其应用

本节重点:利用导数知识解决实际中的最优化问题. 本节难点:将实际问题转化为数学问题,建立函数模 型.

解决最优化问题的关键是建立函数模型,因此需先审
清题意,细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设 定所求最大值或最小值的因变量 y 与自变量 x ,把实际问题 化为数学问题,即列出函数关系式 y =f(x) ,根据实际问题 确定y=f(x)的定义域.

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导数及其应用

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等
问题,这些问题通常称为 优化问题 .

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导数及其应用

[例1] 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等 的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底 箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积
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是多少?

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导数及其应用

[解析]

设箱高为xcm,则箱底边长为(60-2x)cm,则

得箱子容积V是x的函数, V(x)=(60-2x)2·x(0<x<30) =4x3-240x2+3600x. ∴V′(x)=12x2-480x+3600,
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令V′(x)=0,得x=10,或x=30(舍去)
当0<x<10时,V′(x)>0, 当10<x<30时,V′(x)<0. ∴当 x =10 时, V(x) 取极大值,这个极大值就是 V(x) 的 最大值V(10)=16000(cm3)

第三章

导数及其应用

答:当箱子的高为10cm,底面边长为40cm时,箱子的

体积最大,最大容积为16000cm3.
[点评] 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内 只有一个极值点,那么只需根据实际意义判定是最大值还 是最小值.不必再与端点的函数值进行比较.
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第三章

导数及其应用

[例2] 将一段长为100cm的铁丝截成两段,一段弯成 正方形,一段弯成圆,问如何截法使正方形与圆面积之和 最小?
[解析] 设弯成圆的一段铁丝长为 xcm, 则另一段长为(100
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-x)cm,记正方形与圆的面积之和为 S,则正方形的边长 a= 100-x x 4 ,圆的半径 r=2π. 100π 令 S′=0,则 x= (cm) 4+π

第三章

导数及其应用

?100-x? ?x? ?2 2 ∴S=π?2π? +? ? ? (0<x<100) 4 ? ? ? ?

x 1 2 x 100-x 又 S′=2π+16(x -200x+10000)′=2π- 8

100π 当 0<x< 时 S′<0, 4+π 100π 当 <x<100 时 S′>0, 4+π 100π ∴当 x= 时 S′取极小值,这个极小值也就是函数 4+π 的最小值, 100π 故当弯成圆的铁丝长为 cm 时,面积之和最小. 4+π

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导数及其应用

[点评] 该题中涉及的量较多,一定要通过建立各个 量之间的关系,通过消元法达到建立函数关系式的目的.
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[例3] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入

成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5000辆, 人
本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投 入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出 厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加.已知 年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售
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量.

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导数及其应用

(1)若年销售量增加的比例为 0.4x,写出本年度的年利润 p(万元)关于 x 的函数关系式; (2)若年销售量关于 x 的函数为
? 5? 2 y=3240?-x +2x+3?, 则 ? ?
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当 x 为何值时,本年度年利润最大?最大年利润是多少?

[解析] (1)由题意得:本年度每辆车的投入成本为
10×(1+x);出厂价为13×(1+0.7x),年销售量为5000×(1 +0.4x).因此本年度的年利润为: p=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)=(3 - 0.9x)×5000×(1 + 0.4x) = - 1800x2 + 1500x +

15000(0<x<1).

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导数及其应用

(2) 本 年 度 的 年 利 润 为

f(x) = (3 -

? 5? 2 0.9x)×3240× ?-x +2x+3? = 3240×(0.9x3 - 4.8x2 + 4.5x + ? ?

5), 则 f′(x)=3240×(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3), 5 令 f′(x)=0.所以 x=9或 x=3(舍). 5 5 5 当 0<x<9时 f′(x)>0, 当9<x<1 时 f′(x)<0, 所以 x=9时 f(x)有最大值
?5? f?9?=20000. ? ?

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5 所以当 x= 时,本年度的年利润最大,最大年利润为 9 20000 万元.

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导数及其应用

[ 例 4]

甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶

到乙地,速度不得超过 c 千米 / 时,已知汽车每小时的运输 成本 ( 以元为单位 ) 由可变部分和固定部分组成:可变部分 与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分 为a元.
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(1) 把全程运输成本 y( 元 ) 表示为速度 v( 千米 / 时) 的函数,
并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

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[误解]

(1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用

?a ? s s ? ? 2 s + b v 时间为v,全程运输成本为 y=a· + b v · = s ?,所求 v v ? ?v ?

函数及其定义域为

?a ? ? y=s?v+bv? ?,v∈(0,c]. ? ?

(2)由题意知 s、a、b、v 均为正数, 由
? a? ? y′=s?b-v2? ?=0 ? ?

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得 v=±

a b,又 0<v≤c,所以当

ab v= b 时,全程运输成本 y 最小.

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[辨析]

ab 第(2)问中 与 c 未进行比较大小而直接得出 b
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结论,故错误.

[正解] 且当
? v∈? ?0, ?

ab ab ①若 b ≤c, 则 v= b 是使 y 的导数为 0 的点,
? a? ? ? 时, y ′≤ 0 ; v ∈ ? b? ? ?

a ? ? 时,y′≥0.所以 , c b ? ?

ab 当 v= b 时,全程运输成本 y 最小.

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导数及其应用

ab ②若 >c,v∈(0,c],此时 y′<0,即 y 在(0,c] b 上为减函数. 所以当 v=c 时,y 最小. 综上可知,为使全程运输成本 y 最小. ab ab ab 当 b ≤c 时,行驶速度 v= b ;当 b >c 时,行 驶速度 v=c.
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3.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生 产一单位产品,成本增加 100 元,已知总收益 R 与年产量 x 1 ? ?400x- x2 (0≤x≤400) 2 的关系是 R(x)=? ,则总利润最大 ? ?80000 (x>400) 时,每年生产的产品是 A.100 C.200 B.150 D.300 ( )
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[答案] D
[解析] 由题意,总成本为:C=20000+100x,所以
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x2 ? ?300x- -20000 0≤x≤400 2 总利润为 P=R-C=? , ? ?60000-100x x>400 P′ =
? ?300-x ? ? ?-100

0≤x≤400 x>400

, 令 P′ = 0 , 当

0≤x≤400 时,得 x=300;当 x>400 时,P′<0 恒成立, 易知当 x=300 时,总利润最大.

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4.设底为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表 面积最小时,底面边长为 A. V C. 4V 3 3 B. 2V D.2 V 3 3 ( )
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[答案] C

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[ 解析 ] x2· sin60° · l,

1 设底面边长为 x ,侧棱长为 l , 则 V = 2

4V 2 ∴l = sin60° +3· x· l 2,∴S 表=2S 底+3S 侧=x · 3x 3 2 4 3V =2x+ x . 4 3V 3 3 ∴V′= 3x- x2 =0.∴x =4V,即 x= 4V. 又当 x∈(0, 4V)时 y′<0,x∈( 4V,V)时,y′>0, 3 ∴当 x= 4V时,表面积最小. 3 3

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二、填空题
5.面积为S的一切矩形中,其周长最小的是 ________.
[答案] 以 S为边长的正方形
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[解析]

S 设矩形的长为 x,则宽为 , x

S S 其周长 l=x+ (0<x<S),l′=1- 2, x x 令 l′=0 得 x= S,此时宽为 S, 当 0<x< S时,l′<0,当 S<x<S 时,l′>0. ∴当 x= S时,l 取极小值,这个极小值就是最小值.

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故面积为S的一切矩形中,其周长最小的是以为边长的
正方形.
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三、解答题
7.用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先 在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90°角, 再焊接成水箱.问:水箱底边的长取多少时,水箱容积最 大?最大容积是多少?
[ 解析 ] (cm).
3 x 水箱容积 V=V(x)=60x2- (0<x<120)(cm3). 2
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x 设水箱底边长为 xcm ,则水箱高为 h =60 - 2

3 2 V′(x)=120x- x . 2

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令V′(x)=0得,x=0(舍)或x=80.

当x在(0,120)内变化时,导数V′(x)的正负如下表:
x (0,80) 80 (80,120)

V′(x)



0



因此在 x=80 处,函数 V(x)取得极大值,并且这个极 大值就是函数 V(x)的最大值. 将 x=80 代入 V(x),得最大容积
3 80 V=802×60- 2 =128000(cm3).

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答:水箱底边长取 80cm 时,容积最大,最大容积为
128000cm3.

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