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交大附中2014版高考数学第一轮复习训练:直线与圆(word版含答案)


上海交通大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分 必备单元训练:直线与圆
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.不论 m 为何实数,直线(m-1)x-y+2m+1=0 恒过定点( ) 1 A.(1, - ) B.(-2, 0) C.(2, 3) D.(-2, 3) 2 【答案】D 2.直线 L1:ax+3y+1=0, L2:2x+ (a+1)y+1=0, 若 L1∥L2,则 a=( ) A.-3 B.2 C.-3 或 2 D.3 或-2 【答案】A 3.设直线 x ? my ? n ? 0 的倾角为 ? ,则它关于 x 轴对称的直线的倾角是( A. ? 【答案】C 4.若方程 x ? y ? 4mx ? 2 y ? 5m ? 0 表示的曲线为圆,则 m 的取值范围是(
2 2

)

B.

?
2

??

C. ? ? ?

D.

?
2

??

)

A.

1 ? m ?1 4
2

B. m ?

1 1 或m ? 1 C. m ? 4 4

D. m ? 1

【答案】B 5.圆 x ? y ? 1 上的点到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离的最小值是( A. 6 B. 4 C. 5 D. 【答案】B
2
2 2

) 1

6.与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ? 12 x ? 12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准 方程是(
2

)
2

A. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 C. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 2
2 2

【答案】C

7.曲线 C:
2 2

( 为参数)的普通方程为(
2 2 2

)
2 2 2

A.(x-1) +(y+1) =1 B. (x+1) +(y+1) =1C. (x-1) +(y-1) =1D. (x-1) +(y-1) =1 【答案】C 8.过点 (5, 2) ,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A. 2 x ? y ? 12 ? 0 B. 2 x ? y ? 12 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 【答案】B 第 1 页 共 6 页

9.直线 l :y=kx+1(k≠0),椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1 ,若直线 l 被椭圆 E 所截弦长为 d,则下列 m 4
D. kx+y=0

直线中被椭圆 E 所截弦长不是 d 的直线是( ) A. kx+y+1=0 B. kx-y-1=0 C. kx+y-1=0 【答案】D 10.直线 ? : 2 x ? y ? 3 ? 0 与圆 C: x 2 ?( y ? 1)2 ? 5 的位置关系是( A.相交 【答案】A B.相切 C.相离

) D.不确定

11.已知两条不重合的直线 l1 , l 2 的倾斜角分别为 ? 1 , ? 2 ,给出如下四个命题: ①若 sin?1 ? sin? 2 , 则l1 ∥ l 2 ③若 l1 ? l 2 , 则 tan?1 ? tan? 2 ? ?1 其中真命题是( A.①③ 【答案】B ) B.②④ C.②③ D.①②③④ ②若 cos?1 ? cos? 2 , 则l1 ∥ l 2 ④若 l1 ? l 2 , 则sin?1 sin? 2 ? cos?1 cos? 2 ? 0

12.已知圆 C: x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l : 3x ? 4 y ? k ? 0 ,圆上只有两个点到直线 l 的 距离为 1,则 k 的取值范围( A. (?17, ?7) C. (?17, ?7) ? (3,13) 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.直线 x+2y-3=0 与直线 ax+4y+b=0 关于点 A (1,0)对称,则 a+b=________. 【答案】4 14.直线 mx ? 4 y ? 2 ? 0 与 2 x ? 5 y ? n ? 0 垂直,垂足为(1, p ),则 ) B. (3,13) D. ? ?17, ?7? ? ?3,13?

m?n? p ?
【答案】20



2 2 2 2 15. M ( x0 , y0 ) 为圆 x ? y ? a (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y 0 y ? a 与该圆

的位置关系为 【答案】相离 16.若直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 2 ? y 2 恰有一个公共点,则实数 b 的取值范围是 ____________. 【答案】 ? 2 ? b ?

2或b ? ?2

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 第 2 页 共 6 页

5 17.已知点 N( ,0) ,以 N 为圆心的圆与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 都相切。 2 (Ⅰ)求圆 N 的方程;

(Ⅱ)设 l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E (4,1) ,试判断直线 l 与圆 N 的位 置关系,并说明理由.
5 【答案】 (Ⅰ)由 N( ,0)且圆 N 与直线 y=x 相切, 2 5 所以圆 N 的半径为 , 2 2

所以 圆 N 的方程 ( x ? )2 ? y 2 ? (II)设 A 点的坐标为 (a, a) ,

5 2

25 . 8

因为 AB 中点为 E (4,1) ,所以 B 点的坐标为 (8 ? a,2 ? a) , 又点 B 在直线 y ? ?x 上,所以 a ? 5 , 所以 A 点的坐标为 (5,5) ,直线 l 的斜率为 4, 所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 , 圆心 N 到直线 l 的距离
5 17 5 2 < , 4 17

所以直线 l 与圆 N 相交. 18.三角形 ABC 的顶点 A(1,7), B(?4, 2) ,重心 G ( , (1)求三角形 ABC 的面积; (2)求三角形 ABC 外接圆的方程. 【答案】 (1)由重心坐标公式可得点 C (5,5) ,所以 AB ? (?5, ?5), AC ? (4, ?2) ,那么三 角形 ABC 的面积为 S ?

2 14 ) 3 3

??? ?

????

1 (?5) ? (?2) ? (?5) ? 4 ? 15 2
2 2

(2)设三角形 ABC 外接圆为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,代入三点的坐标得

? 1 ? 49 ? D ? 7 E ? F ? 0 ? ? 16 ? 4 ? 4 D ? 2 E ? F ? 0 ? 25 ? 25 ? 5 D ? 5 E ? F ? 0 ?
x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0

? D ? ?2 ? 解得 ? E ? ?4 ,所以三角形 ABC 的外接圆方程为 ? F ? ?20 ?

19.已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l 2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 (1)试确定 m, n 的值使 l1 与 l 2 相交于点 P(m, ?1) 第 3 页 共 6 页

(2) l1 ∥ l 2 【答案】 (1)? m2 ? 8 ? n ? 0 , 2m ? m ? 1 ? 0 ,? m ? 1, n ? 7 (2)由 m ? m ? 8 ? 2 ? 0 ,得 m ? ?4 ,再由 8 ? (?1) ? n ? m ? 0 得 m ? 4, n ? ?2 或 m ? ?4, n ? 2 时, l1 ∥ l 2 20.已知圆 C : x ? y ? 9 ,点 A(?5, 0) ,直线 l : x ? 2 y ? 0 .
2 2

⑴求与圆 C 相切,且与直线 l 垂直的直线方程; ⑵在直线 OA 上 O 为坐标原点) 存在定点 B(不同于点 A ) 满足: ( , , 对于圆 C 上任一点 P , 都有

PB 为一常数,试求所有满足条件的点 B 的坐标. PA
y P

A

B O

x

【答案】⑴设所求直线方程为 y ? ?2 x ? b ,即 2 x ? y ? b ? 0 ,

?直线与圆相切,∴

| ?b | 22 ? 12

? 3 ,得 b ? ?3 5 ,

∴所求直线方程为 y ? ?2 x ? 3 5 ⑵方法 1:假设存在这样的点 B(t ,0) ,

PB | t ? 3 | ; ? PA 2 PB | t ? 3 | 当 P 为圆 C 与 x 轴右交点 (3, 0) 时, , ? PA 8 | t ?3| | t ?3| 9 依题意, ,解得, t ? ?5 (舍去) ,或 t ? ? 。 ? 5 2 8 9 PB 下面证明 点 B(? , 0) 对于圆 C 上任一点 P ,都有 为一常数。 5 PA
当 P 为圆 C 与 x 轴左交点 (?3,0) 时, 设 P( x, y ) ,则 y ? 9 ? x , ∴
2 2

第 4 页 共 6 页

9 18 81 18 ( x ? )2 ? y 2 x 2 ? x ? ? 9 ? x 2 (5 x ? 17) PB 2 9 5 5 25 25 ? ? 2 ? ? , 2 2 2 2 PA ( x ? 5) ? y x ? 10 x ? 25 ? 9 ? x 2(5 x ? 17) 25
从而

PB 3 ? 为常数。 PA 5

方法 2:假设存在这样的点 B(t ,0) ,使得
2 2 2 2 2

PB 为常数 ? ,则 PB2 ? ? 2 PA2 , PA
2 2

∴ ( x ? t ) ? y ? ? [( x ? 5) ? y ] ,将 y ? 9 ? x 代入得,

x 2 ? 2 xt ? t 2 ? 9 ? x 2 ? ? 2 ( x 2 ? 10 x ? 25 ? 9 ? x 2 ) ,即 2(5? 2 ? t ) x ? 34? 2 ? t 2 ? 9 ? 0 对 x ?[?3,3] 恒成立,
3 ? ?? ? 5 ? ?? ? 1 ?5? ? t ? 0, ? ∴? ,解得 ? 或? (舍去) , 2 2 ?t ? ? 9 ?t ? ?5 ?34? ? t ? 9 ? 0, ? ? 5 ?
2

所以存在点 B(? , 0) 对于圆 C 上任一点 P ,都有
2 2

9 5

PB 3 为常数 。 5 PA

21.过点 M(3,0)作直线 l 与圆: x ? y ? 16 交于 A,B 两点,求 l 的斜率,使△AOB 面 积最大,并求此最大面积. 【答案】要使△AOB 面积最大,则应有∠AOB=90 ,
0

此时 O 到直线 AB 的距离 d ? 4 ?

2 =2 2 . 2

又直线 AB 的方程 y ? k ( x ? 3) ,∴

3k 1? k 2

? 2 2 ∴ k ? ?2 2 ,

此时△AOB 面积有最大值 8. 22.已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ;
2 2

(1)若直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程。 (2)过点 M ? ?1,1? 的直线 l1 与圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 中点为 P ;求 P 点轨迹方程。

2 【答案】 (1)由 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 2, 得圆心 C ? ?1,? ,r ?
2 2

2

由直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距相等可假设: 第 5 页 共 6 页

①当相等的截距为 0 时,设直线 l : y ? kx 即 kx ? y ? 0



?k ? 2 k 2 ?1

? 2 得k ? 2? 6

?直线 l 2 的方程为: y ? (2 ? 6) x
②当相等的截距不为 0 时,设直线 l :

x y ? ? 1(a ? 0) 即 x ? y ? a ? 0 a a



?1 ? 2 ? a 1?1

? 2 得 a ? ?1或a ? 3

?直线 l 的方程为: x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 3 ? 0
综合○○可得,直线 l 的方程为: x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 3 ? 0 或 y ? (2 ? 6) x 1 2 (2)由 PC ? AB 得 PC ? PM

3? 1 ? ?点 P 的轨迹是以 MC 为直径的圆,圆心为 ? ?1, ? ,半径为 , 2? 2 ?
则 P 点轨迹方程为: ? x ? 1? ? ? y ?
2

? ?

3? 1 ? ? 2? 4

2

第 6 页 共 6 页


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