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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(29)


加试模拟训练题(29) (附详细答案) 1、 设 P 是△ABC 内一点,求证:∠PAB、∠PBC、∠PCA 至少有 一个小于或等于 30?. 2.设 x1,x2,…,xn 都是正数(n?2)且 ? xi ? 1 ,求证: ? i ?1 n n xi 1 ? xi ? 1 n ?1 i ?1 ? i ?1 n xi 3、在一次竞选中,一个候选人到国家各地

去游说.我们假设整个国家在一个平面上,第一 天他向东,第二天向北,第三天向西, 么第 40 天结束时,他距离第一天出发点多少公里? 4、 设 a,b,c 是正整数,且 ab c(c 2 ? c ? 1), 等于 c,另一个数等于 c 2 ? c ? 1 。 (c 2 ? 1) (a ? b) 证明:a,b 中有一个数 加试模拟训练题(29) 1、 设 P 是△ABC 内一点,求证:∠PAB、∠PBC、∠PCA 至少有一个小于或等于 30?. 【题说】 第三十二届(1991 年)国际数学奥林匹克题 5.本题由法国提供. 【证】 令 α=∠PAB,β=∠PBC,γ=∠PCA.于是, P 到 AB 的距离=PAsinα =PBsin(B-β), P 到 BC 的距离=PBsinβ =PCsin(C-γ), P 到 CA 的距离=PCsinγ =PAsin(A-α). 从而 sinα·sinβ·sinγ=sin(A-α)·sin(B-β)·sin(C-γ) 若 α+β+γ≤90?,结论显然成立,若 α+β+γ>90?,则 (A-α)+(B-β)+(C-γ)≤90? sinαsinβsinγ=sin(A-α)sin(B-β)sin(C-γ) sin(A-α)+sin(B-β)+sin(C-γ) 3 ≤( ) 3 A-α+B-β+C-γ 3 1 ≤(sin ) ≤sin330?= 3 8 由此可知α ,β ,γ 中存在一个,例如 α 满足 sinα≤ 1 2 所以,或者 a≤30?减者 α≥150?.在后一情况必有β ,γ 都小于 30?. 2.设 x1,x2,…,xn 都是正数(n?2)且 n ?x i ?1 n i ? 1 ,求证: ? i ?1 n xi 1 ? xi ? ? n ?1 i ?1 1 n xi 证明:不等式左端即 ? i ?1 xi 1 ? xi ?? i ?1 n 1 1 ? xi n ? ? 1 ? xi i ?1 n (1) ∵ ? i ?1 n 1 n2 ,取 y i ? 1 ? xi ,则 ? n yi ? yi i ?1 ? i ?1 1 1 ? xi 1 ? n2 ? i ?1 n (2) 1 ? xi 由柯西不等式有 n ? i ?1 n 1 ? xi ? (?1) 2 [? (1 ? xi )] 2 ? n(n ? 1) i ?1 i ?1 n 1 n (3) 及 ? i ?1 xi ? n 综合(1)、(2)、(3)、(4)式得: ? i ?1 n xi 1 ? xi ?? i ?1 n 1 1 ? xi ? ? 1 ? xi ? i ?1 n n2 ? i ?1 n 1 ? xi ? ? 1 ? xi i ?1 n ? n2 n(n ? 1) ? n(n ? 1) ? n ? n ?1 1 n ?1 ? i ?1 n xi 3、在一次竞选中,一个候选人到国家各地去游说.我们假设整个国家在一个平

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