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考点一 圆锥曲线的定义及几何性质


考点一 圆锥曲线的定义及几何性质 1、 (2013 新课标 I 1 A.y=± x 4 【答案】 . C x2 y2 5 4) 已知双曲线 C:2- 2=1(a>0, b>0)的离心率为 , 则 C 的渐近线方程为( a b 2 1 B.y=± x 3 1 C.y=± x 2 D.y=± x )

c 5 b [解析] 离心率 = , 所以 = a 2 a

c2-a2 = a2

?c? -1=1.由双曲线方程知焦点在 x 轴上, ?a? 2

2

1 故渐近线方程为 y=± x. 2 2、 (13 年新课标Ⅱ理 11)设抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上,| MF | ? 5 ,若以

MF 为直径的圆过点 (0, 2) ,则 C 的方程为( C )
(A) y ? 4 x 或 y ? 8 x
2 2 2 2

(B) y ? 2 x 或 y ? 8 x
2 2 2 2

(C) y ? 4 x 或 y ? 16 x (D) y ? 2 x 或 y ? 16 x 提示:利用抛物线的性质:以焦半径为直径的圆与 y 轴相切于其在 y 轴上投影的中点. [解析]本题是圆的方程与抛物线的综合性问题,设点 M(x,y),圆心 B(a,b)如图,

由 MM ' ? MF ? 5得 BB' ?
方程为 ( x ? ) ? ( y ? b) ?
2 2

MM ' ? FF ' 2

?

5 5 p ? ,从而可以得到 B 的横坐标 a ? ,所以可以设圆 B 的 2 2 2

5 2

25 5 2 25 2 ? b ? 2 ,从而可以得到点 M ,将点(0,2)代入得 ( ) ? (2 ? b) ? 4 2 4

的坐标为 (5 ?

p ,4) ,代入 y 2 ? 2 px得10 p ? p 2 ? 16, 解得p ? 2或p ? 8 ,故答案选 C(注:由于图片不 2
2

清楚,有人写出该题的题设应该是 y ? 3 px( p ? 0) ,无论是哪种不会影响方法的正确性) 3、 (13 年辽宁理 15)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A , a 2 b2

B 两点,连接 AF , BF ,若 | AB | ? 10 , | AF | ? 6 , cos ?ABF ?
4、 (2012· 课标全国卷

4 5 ,则 C 的离心率为_________. 5 7

x2 y2 3a 4) 设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左右焦点,P 为直线 x= 上一点, a b 2

△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( C ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5 C π 3 [解析] 根据题意,一定有∠PF1F2=30° ,且∠PF2x=60° ,故直线 PF2 的倾斜角是 ,设直线 x= a 与 x 3 2

3 ? 轴的交点为 M,则|PF2|=2|F2M|,又|PF2|=|F1F2|,所以|F1F2|=2|F2M|.所以 2c=2? ?2a-c?,即 4c=3a,故 e c 3 = = .故选 C. a 4 5、( 2012· 课标全国卷 8 ) 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于

A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( C ) A. 2 B.2 2 C
2

C.4 D.8

x2 y2 [解析] 由题意可设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0).易知抛物线 y2=16x 的准线方程为 x=-4,联立 a a
2

x y ? ?a2-a2=1, ? ? ?x=-4,

得 16-y2=a2(*),因为|AB|=4 3,所以 y=± 2 3.代入(*)式,得 16-(± 2 3)2=a2,解得 a

=2(a>0).所以 C 的实轴长为 2a=4,故选 C. 6、 (2011 新课标 7 )已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,

| AB | 为 C 的实轴长的 2 倍,C 的离心率为( B
(A) 2 (B) 3 (C) 2

) (D) 3

7、 (2011 新课标 14) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率



2 .过点 F1 的直线 l 交 C 于 A , B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16 ,那么 C 的方程为 2

_

x2 y2 ? ? 1 ________. 16 8
3)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF ? BF =3 ,则线段

8、 (2011 辽宁

AB 的中点到 y 轴的距离为( C ) (A)

3 4

(B)1

(C)

5 4

(D)

7 4

9、(2011 辽宁 13)已知点(2,3)在双曲线 C:

x2 y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,C 的焦距为 4,则它的离心 a2 b2

率为 2 . 10、(2010 辽宁 7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 为抛物线上一点,PA⊥ l ,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么|PF|=( B ) (A) 4 3 (B)8 (C) 8 3 (D) 16

11、(2010 辽宁 9)设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,那么此双曲线的离心率为(D) (A)

2

(B) 3

(C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

x2 y 2 12、 (2009 宁夏 4)双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为(A) 4 12
(A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1

解析:双曲线

x2 y 2 =1 的焦点(4,0)到渐近线 y ? 3x 的距离为 d ? 4 12

3?4?0 2

? 2 3 ,选 A

13( 、2009 辽宁 16) 已知 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点, 则 PF ? PA 4 12

的最小值为 9 。 【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9

14、 15、


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