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大浪淘沙


中学数学研 究

2013 年 第6 期


)



淘 # 沙
(33 2 00 0 ) 段训明 帅 敏
(2 ) 当夕 二二 (

谈2 0 1 2 年江西高考数学理科压轴题

江西省九江市第一中学
纵观 20

1 2 的江西高考数学卷 , 不难发现整套试 卷是精心设计 的, 各层次 的试题 比例较为得 当(但 中档题相对偏少) , 试卷既保 留了近年 的原创风格 ,
也关注 了 各层面考生的实际情况 , 是一套好 的试卷.

" 二刃 #) , 由 !(: ) 二二 , 得 *x令

+ Zx: 一l = 0( * ). ? 当 ^ = o 时, 中介元 x " 二

下面就其 中的理科压轴题谈谈 自己的一些想法 , 恭
斧 正.

( 合 )0 ;? 当 *>一 ,且 Ao时 ,由 (* ) 可得 :告=
l

题目

若 函数h(x) 满足 :? h(0 ) 二l , h (l) 二

了 l + A + l e (o , l) 或 :告
1);得中介元 x "二

0 ; ?对任意a 二[0 , l] , 有 h(h (a) ) = a; ? 在 (0 , ) 上单调递减.则称h l ( x ) 为补函数. 已知 函数h ( x ) 皿 二 兰 ) (A > 一l , p > 0 ).
l + Ax P .

不贵青 / O.
了1 十^ + 1

一 二吕一 .综 上Q) ? 有 对 了l + A + l )"

任意的入 > 一1 , 中介元 气
N +) , 于 是 , 当 A > -

=( 下李下) / ( n二
时, 有s "= 艺x - =
J l + A + l )/ 二 生 ) 丫 石下

(l ) 判断函数 h ( 习 是否为补函数, 并证明你的结
论;

(2) 若存在 " 二[0 , 1] , 使得 h( ") 二 ", 称 m
是 函数h ( x ) 的中介元.记p 二上( " 二万#) 时 !(x)

艺( 下井导下. ) -二
泣 二1 了 l

侧 了 下下

+



十 l

六 /

的中 介 元为x " , 且s " 二艺x ,若 对 任意 的" 二 N .,
云 二1

<. 畏一 无 限 增 大 时 , c一 无 限 了l + 入, 当" 了l 些+ A +一 l )#
,! ! , 于 一0 _ ,S !二 一~ , ! , 于二 一 1 二 , 故对 二 _! 任 ._. 意 - 的 ., n 二 接近 无 限接近 士

都 有 s二 !冬 ,求 入 的 取 值 范 围 ;
0一 / 一 几 一2 . 一 , 一一 , .- 一 . / ~ .

一一 . 一 .一 /一.-一 一 . 丫石丁 . 一 . -. 一 -一,

(3 ) 当 入 二0 , x 二 (0 , l ) 时 , 函数 y 二h (x ) 的

N.+,.一 5.< 冬成 立 等 于 一 "冬 ,.一 即 人 "= 3 ,. 一 / 一2 一 .一 /价 /0 j性一; 一 下 玩碑 一2 -0 一 一
+ a 0 ).

图像总在直线 y = 1 一 x 的上方 , 求 p 的取值范围. 题解 :( 法一 )(命 题者提供 的解答 )(l )
( x h ) 是补 函数. 证 明如下 :

函数

(3 ) 当人二o 时,* (二 ) = (l 一 扩)食 , 中介元是
(令 )

, l 一0 !上 . , ,.! , l 一 l !上 ? h (0 ) = Li万万少 . = l ,n L -) 二Li下下) . =

; ? 对任意 a e [0 , l 2 0 , 有 h(h (a )) 二
吸 s e w l 了 z 吸 s e !
一 . 几

? 当0 < p 续 1 时 , 上 ) 1 中介 元为 x, 二 P

刁 丝 兰
+ 一

几1 , 11 1 )1

\ \l + A 了 - 1 1

)止 p ! 1! 1 一了 !



(l + 人 )ap
1 + A

(冬 )合" 冬 ,所 以 点 (:" ,, (二 , ))不 在 直 线 ,=一 :
乙 乙

的上方 , 不符合条件; ? 当p > 1 时 , 依题意只须(1
x 在 x 二 (0 , l ) 时恒成 立 , 也 即 扩 + ( 1 一扩 )艾> 1 一

l + A了

= a ; ? 令 g (x )

=

(h (x ) )p ,

有 g , (x )

) 时恒成立 , 设 职 (x ) 一x )p < 1 在 x E (0 , l
"_ ,. x = 下 1 , 兰 ! ,.x U 日仟 丁, 且


=

扩 +

一 酬一 (1 + 对 ) 一(1 一 心入 卫 犷 卫=
(l + Ax P )

(l 一 (一 x)p , x 二 [0 , l 2 , 则甲 , (: ) 二风扩一 , _

二 葵毕煞攀 为 *, 一 1,, , " ,所 以 当 :" (" , (l + Ax P )- ,因
l) 时 , g , (x ) < 0 , 所 以g (x ) 在 (0 , l ) 上单调 递 减 , 故 函数 h (x ) 在 (0 , l ) 上 单调递减 .

x) .一 , ] , 由中 , (:) =
时, 钾 , (x ) < 0 , 当x

, U" , 不一 1 .) ! - 气


二 ( 合 ,)时 ,, !# , >0 ,又 因 为

甲(O ) 二甲(l ) 二l , 所 以当x 二 (0 , 1) 时冲 (x ) < l

20 13 年 第 6 期 恒成 立. 综上 , p 的取 值 范 围为 ( 1 , + o ( 法二 )( l ) 略.

中学数 学研 究 折 , 是命 题 组 的老 师 历 经 多次修 正 并 不 断 提 炼才 得 以完善 , 真是 大 浪 淘 沙 , 留下 的是 金 子 , 是 经 典. 因
由 !(二 ) = 二 , 得 * x令+ 此 , 我们 有足 够 理 由去 审 视 !研 究 和 欣 赏这 道 压 轴
题.

( 2)当 , =令 (二 N#
l

2 尤下 一l

= O ( i = l ,2 , 3


0 . ,n

与S"

!冬矛 盾, 所 以 人尹 O , 此 时 v = 4 ( 1 + A )
2 l

.若 *=0,则 X +=合 ,
> = l ,2 ,3 , , ,n ) , 又 因

首先 , 本题 体现 了高考 试卷 压 轴题 的原创 性. 虽
面 目有 点 / 狰 狞 0, 但 字 里 行 间 还 是 夹 杂 几 分 / 亲

0 . 令f ( x ) 为f ( 0) =

A x丁 + Z x丁 一l

切 0 ;对 多数 中等以上考 生来说 , 绝对不是一道 / 废 题 0, 应 该 说 是 一道 区分 度 很 高 的好 题. 主 要 体 现 在: ? 与时俱进. 透过题设 , 不难发现命题人采用 了高 等 数学 / 布 尔 代 数 0 中 的 / 反 演 规 则 0, 并 结 合

( x) 二 一l < 0 , ( l ) 二人+ 1 > 0 , 故 方程f f

下+ 2 x 下一1 二0 ( i

l , 2 , 3 , ,, n ) 在 (0 , l ) 内有

解,不 妨 记 作 二 ,,由 题 设 二 幸 =二 ,,故 二 =二 : , ,从 而又
= 艺x ,对 任意的 "二 N , ,都 有凡 !冬等 价 于 O<
云 二l 乙

初等数学中 常见的函数y = 1 一 二 ,y = 币下飞 了 ,y =

毕 在1 O ,1 2 上 皆 满 足 条 件 (l), ( 2), (3), 构 造了 1 + x 一 -一 . 一/ 一 曰 r , / ! 小 . - ! 一/ , / 一/ , / 一产, ,一 J~ ,
函数 h (x ) = (生二了- 下 (A > 一1 ,p > O ) , 应该 说 . l + 人x P
A扩

一 / ,且 六 合 ,即 0一
A x Z + Z x 一l =
J

从 而方 程 一上 3

" 在 (" ,冬] 内 有 解 ,也即 A = (与 ,

这 样 的设 计恰 到好处 地 将代 数 式 中 的整 式 !分 式和
根 式集于 一身 , 可谓 匠心独具.

一 号 ,专已 1 3, 十 二 )成 立 ,所 以 * 二1 3, +二 ) .
价 于 l 一x P 一( l 一二 )p > 0 , x 二 (0 , l ). 令 g (x ) =

? 机智灵活. 为避免有超纲之嫌 , 特将传统教 材 中 / 反 函数 0 的说 法 改成 了 当今 高考 命 题 中较 为
流行 的一种 / 信 息题 0, 即所谓 的 / 补 函数 0, 这 种 以

(3)^ = o 时 ,, (x) = (l 一 扩)告 , 二二(o , l) 时 , 函数 y 二h (劝 的图像 总在直 线 y = 1 一x 的上方 等
0 , l ] , 则 g , (x ) = 尹 [(l l 一x P 一( l 一x )p, x 二 1 二 )p一 - 一扩一 , ] , 由 g .(x ) 二O 得 x


高等 数学 特别是 工程 数 学 中 一种 说 法 , 并 以 即 时定
义 的方 式呈现 , 真是煞 费苦心.

? 高起低落.本题 以高等数学中的数学模型为
背景 , 营造 了较 为公平 的一个 函数模 型 , 模样 着 实可

工 l 2 .
l _.

怕 , 应该说 起点很 高 , 但随着 参 数 p 和 人 的先 后相 对

i ) 若 p > l , 即p 一l > o , 当 " < x

< 了盯

固定 , 三个 问题 又 回到 了高 中数 学 的常见情 景 中, 考
生一 旦排 除心理 干预 , 也有充 分得 分 的机会.

有 l 一x > x , 故 ( l 一x )夕 一 , > 扩一 , , 即g (x ) > o , 当

? 突 出主体. 本题 涉及 到 的知 识 点 分 布广 , 涵
盖 了函数 !方 程 !不 等 式和 导 数 等代 数 中多个 知 识

合<二 <, 时 ,有一<二 ,故 ( 1一 ) p 一 <一 .,即
g , (x ) < 0 , 所 以g (x ) 在 o < x

点 , 坚 持 在 主 干 知 识 的交 会 点 处 设 计 考 题 ; 另 外 ,
/ 数咧 极 限 0 也 巧 妙 地 通 过 / 量 词 0 得 到 很 好 的表 现. 解答 本题 应具备 的数 学 思 想较 多 , 函数 思想 !分

!冬时 递 增




l

万 <

x < 1 时递 减 , 又 因为 以 0 ) = g (l ) (l 一x )p > 0 , x e (0 , l) 成 立 ;

= O , 即1 一 扩-

类 讨论 !等价 转换 !数形结 合等 都包含 其 中. 因此 , 对 考 生综合 使用 数 学思想要 求很 高.

(i l ) 若 0 < 夕< l 时 , 同理可得 g (二 ) 在0 < 二

! 冬时 递 减


<

X

的最小值 = 一 ) 1 1 2

,在 合 " ( 合 )

< 1 时递 增 , 此 时必须 g (x )

? 综合全面.本题所涉及的字符数共20 5 个, 题 中的 函数 h (x ) 含有 多个参 数且 结构 繁 杂 , 不 熟悉 的
概念 又 比 比 皆是 , , 这 样对 考 生 的 阅读 能力及 信 息

! , 1 !" 二 1 一乙又7 )r -

> o, 得 (冬 ), !


筛选 , 甚 至心理 承 受等 能力 都 有较 高 的要求. 再之 , 本题 解法 具有 多样 性. 以上 (2 ) 的两种解
法 , 不难 发现命 题组提 供 的解 法 一更 加直 接简单 , 因

即p > 1 , 矛 盾 ; ( i )p = l 时 , g (x ) = 0 , 二二 (0 显然 不成 立. 综 上知 ,p > l 时 x e (0 , l ) 时 , 函

为这毕竟是经过反复修正提炼后的结果 , 这种解法

数 y = h (二 ) 的图像 总在直线 y = 1 一 二的上方. 反思 :一道好 的 高考 考 题 的 出现 往 往 要 几 经周

对代数式变形要求较高, 尤其是



l

丫 z +^ + l

中学数 学研 究 这 一结 果 的产 生是 不 容 易 做 到 的 , 当然 一 旦得 出这

2 0 13 年 第 6 期

证考 题 的公正 性和 区分 度 , 而 且在 问题 的设 置 上 也
是花 了不 少功 夫来保 证 问题 间 的独 立 和联 系 , 命 题 组这 种严 谨 !务 实的治 学精 神值得 我们 肯定. 需要强

一 结果 , 也 就锁 定 了中介 元 x "=

了l + 人 + 1

) 0, 后

面 的过 程也 就 水到 渠 成 了; 相 比较 解 法 二是 不 解 方 程 , 综合 运 用 了函数 !方 程 和 不 等 式 , 达 到 了避 重就 轻 的效 果 , 更 符合解 题 人 的 思维 方 式 , 应该 说是较 为
自然 的解 法.

调 的是命 题 人 的 良苦 用心是 很难 在考试 过程 中被 考 生领 会 的 , 即考 生是 很 难按 照参 考 答 案 的解 法解 答 的. 事 实上 , 三个 问题 中 的(2 ) 最 难 , 但 他 们 彼 此 独 立 , 若 考 生 能注 意 到 问题 (3 ) 中 入二0 时 , h ( x ) 二( 1

当然 , 题 中的 / 中介元 0 的引入不仅 是问题(2 ) 的一个 落脚 点 , 同时也是 问题 (3 ) 的一个 支 点 , 由此
不 难发 现解 法 一 的 三个 问题 的求 解 过 程 一脉 相 承,
可见 , 考题 的设 计 者 不仅 注 重 问题 情景 的创设 , 以保

一扩)食 , 二二( 0 , 1) 时 , 函数y = h ( 二 ) 的图像总在直 线y 二1 一 x 的上方 等价 于 1 一扩 > ( 1 一 ) / , x E (0 , x
1 ) , 则 至少 问题 (3 ) 就 可 以争 取更 多 的分 数.

问 / 题 0哪得 清 如许
)
浙江省温州 中学
在 高 三 的复 习备 考 中, 我 们 经常 会选 择 高考 题 进 行 解题教 学. 这 是 因为 高 考 题凝 聚 了命 题 专 家 的
智 慧和心血 , 极 富有代 表 性和 示 范性. 对其进 行深入

唯 有 高 考源 头 来
陈重 阳

活用高考题进行高三解题教学的若干途径浅探
(3 2 5 1 0 )

究. 当我们追问此题是如何编创 出来?背景又在哪里 的时候? 就 需要 我们 去挖掘 隐藏在 问题背 后 的本 源.
(l ) 追 溯题 目背景 高 数背 景 :本题 与 二项 式定理 背 景相 关 外 , 还 与

剖析 !变式反 思 ! 挖 掘 其 潜 在 的价 值 , 有利 于把 握 高 考动向 ! 提 升 高 三数 学复 习备 考 的有效 性. 笔者从 自 身 的教 学实践 中撷 取 三例 , 浅 谈 活 用 高考 题 进 行 高
三解题教 学的途 径, 1. 通 过溯 源刨 根 , 揭 示 题 目背后 的本 源
一 x 2Z


高等 数学 中的泰勒 级 数有 联 系. 由于 ln ( x + l )
一 x 33
+


二x

一 x 44

. 二( 一1 < x 蕊 1 ) , 当O < x 蕊 1 时 , +
2

我们容 易证 明 In (x + l) > x -

X

x33 一
+


一 x 44

-二-

数 学家莱 布尼 茨说 过 : / 解 题 既 要 展 示 -解 . 的
过 程 , 又 要探 索 -解 . 的 内部 境 界 0. 这 就 告 诉 我们 , 解 题教 学不但 要 展 示解 题 的过 程 , 还 要 呈现 题 目潜

Z

> 扩 一

二 3 , 当 二 = 工 时 , 就证 明 了原 题 中的不 等 式.

在 的教 育教 学功 能和 价 值 , 努 力 揭 开 覆 盖在 高考 题
表 面 的 / 面纱 0, 揭 示 数 学本 质 , 回 归数 学本 源 , 彰 显

几何 背 景 : 如 图 1 , 作 函

高考题 的理 和美. 案例 1 (0 7 年 山东 高考理 科 第 22 题 ) 设 函数 ( x ) = 扩 + 6In (x + l ) # f , 其 中b 尹0.( I )( 1 ) 略;

数 , =专 ,有 如 下 的 面 积 关 系

与" </ B邵A 蝙 ,得 击
!厂 告 编 !
J I 不

D 淤( (
A

上( " " N .
图 1
l ! l , 一 ) < 一 气 n
n n

( , .证 明 对 任 0 正 整 数 一 不 等 /h i青#)>方
一 兴都 成 立 .
本题难度主要在第( u I ) 步 , 标准答案是借助于 第 ( I ) 题 的思 路 , 构 造 函数 尸 (x ) = x3 一xZ + In (x
+ 1 ) , 通 过 导数研 究单 调 性来 求解. 翻 阅近几 年各省 的高考 试 卷 , 这 类 问题 有 一定 的普 遍性 , 值得 我们研

即 共二 <I n(, +
几 十 l

e N . l
>

, 现在 要证 明原 题 中 的不 等 式 , 即证 不 等 式
一牙 一 今

1

n + l

(n E N , ) , 这 是容 易 的.

(2 ) 刨 挖 问题 题根 基 于上 述 的几何 背 景 , 对 问题 就会 有直 观 的认


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