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湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015学年高二上学期模块数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二(上)模块数学试 卷
一.选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,只有一项是符合题目要求的) 1.设命题甲为:0<x<5,命题乙为:|x﹣2|<3,则甲是乙的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数

的对数都是负数,则下列命题中为真命 题的是( ) A. (¬p)∨q B. p∧q C. (¬p)∧(¬q) D. (¬p)∨(¬q)

3.命题“若α= A. 若α≠

,则 tan α=1”的逆否命题是( ,则 tan α≠1 B. 若α=



,则 tan α≠1

C. 若 tan α≠1,则α≠

D. 若 tan α≠1,则α=

4.双曲线 A. y=±

的渐近线方程为(



B. y=±x C. y=±2x D. y=±4x

5.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于( A. e B. e C.
2



D. ln 2

6.双曲线 A.



=1 的渐近线与圆(x﹣3) +y =r (r>0)相切,则 r=(

2

2

2



B. 2 C. 3 D. 6

7.设 F1,F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P

使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|? |PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( A. B. C. D. 3



8.设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 上的点 PF2⊥F1F2, )

∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. B. C. D.

9.已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. D.

2

10.△ABC 的顶点 A(﹣5,0) ,B(5,0) ,△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的 轨迹方程是( ) A. ﹣ =1 B. =1

C.



=1(x>3) D.

=1(x>4)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若 a≤b,则 ac ≤bc ,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个 数是 . 12. “p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的 条件. ) ,则抛物线的方
2 2

13.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为 x 轴,且过点 P(﹣2,2 程为 .

14.若函数 是 .

存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围

15. 椭圆

的焦点为 F1, F2, 点 P 在椭圆上, 若|PF1|=4, ∠F1PF2 的大小为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x ﹣x﹣6≤0 或 2 x +2x﹣8>0;若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.
2 2 2

17.如图,直线 y= x 与抛物线 y= x ﹣4 交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 y= ﹣5 交于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A、B)的动点时,求△OPQ 面积的最大值.

2

18.已知椭圆

上的点 P 到左右两焦点 F1,F2 的距离之和为

,离

心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点, 若 y 轴上一点 求直线 l 的斜率 k 的值. 19.已知二次函数 f(x)满足:①在 x=1 时有极值;②图象过点(0,﹣3) ,且在该点处的 切线与直线 2x+y=0 平行. (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f(x )的单调递增区间. 20.若函数 f(x)=ax ﹣bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值为 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)=k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围. 21.已知 x=1 是函数 f(x)=mx ﹣3(m+1)x +nx+1 的一个极值点,其中 m,n∈R,m<0. (Ⅰ)求 m 与 n 的关系表达式; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间;
3 2 3 2

满足|MA|=|MB|,



(Ⅲ)当 x∈[﹣1,1]时,函数 y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的 取值范围.

2014-2015 学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二 (上) 模块 数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,只有一项是符合题目要求的) 1.设命题甲为:0<x<5,命题乙为:|x﹣2|<3,则甲是乙的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 如果能从命题甲推出命题乙,且能从命题乙推出命题甲,那么 条件乙与条件甲互为 充分必要条件,简称充要条件,如果只是其中之一,则是充分不必要条件或是必要不充分条 件. 解答: 解:∵:|x﹣2|<3, ∴﹣1<x<5, 显然,甲? 乙,但乙不能? 甲, 故甲是乙的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题主要考查了充要条件,以及绝对值不等式的解法,属于基础题.如果能从命题 p 推出命题 q,且能从命题 q 推出命题 p,那么 条件 q 与条件 p 互为充分必要条件,简称充 要条件. 2.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命 题的是( ) A. (¬p)∨q B. p∧q C. (¬p)∧(¬q) D. (¬p)∨(¬q) 考点: 复合命题的真假. 分析: 先判断命题 p 和命题 q 的真假,命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,再由真值表对 照答案逐一检验. 解答: 解:不难判断命题 p 为真命题, 命题 q 为假命题,从而? p 为假命题, ? q 为真命题, 所以 A、B、C 均为假命题, 故选 D. 点评: 本题考查复合命题的真值判断,属基本题.

3.命题“若α= A. 若α≠

,则 tan α=1”的逆否命题是( ,则 tan α≠1 B. 若α=



,则 tan α≠1

C. 若 tan α≠1,则α≠

D. 若 tan α≠1,则α=

考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p” ,直接写出它的逆否命题即 可. 解答: 解:命题“若α= “若 tan α≠1,则α≠ ,则 tan α=1”的逆否命题是 ” .

故选:C. 点评: 本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题,解题时应根据四种命题之 间的关系进行解答,是基础题.

4.双曲线 A. y=±

的渐近线方程为(



B. y=±x C. y=±2x D. y=±4x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 把双曲线 方程. 解答: 解:双曲线 其渐近线方程 整理得 y=± . 故选:A. 点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1” 为“0”即可求出渐近线方程. 5.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于( A. e B. e C.
2

,其渐近线方程是

,整理后就得到双曲线的渐近线

, ,



D. ln 2

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先对函数进行求导,然后根据 f′(x0)=2,建立等式关系,解之即可求得答案. 解答: 解:∵f(x)=xln x, (x>0) ∴f′(x)=lnx+1, ∵f′(x0)=2, ∴f′(x0)=lnx0+1=2, 解得 x0=e,

∴x0 的值等于 e. 故选:B. 点评: 本题主要考查了导数的运算,以及函数求值和对数方程的求解,同时考查了运算求 解的能力,注意函数的定义域,属于基础题.

6.双曲线 A.



=1 的渐近线与圆(x﹣3) +y =r (r>0)相切,则 r=(

2

2

2



B. 2 C. 3 D. 6

考点: 双曲线的简单性质;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 求出渐近线方程,再求出圆心到渐近线的距离,根据此距离和圆的半径相等,求出 r. 解答: 解:双曲线的渐近线方程为 y=± 圆心(3,0)到直线的距离 d= x,即 x± = , y=0,

∴r= . 故选 A. 点评: 本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式.

7.设 F1,F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P

使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|? |PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( A. B. C. D. 3



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 不妨设右支上 P 点的横坐标为 x,由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,结合 条件可得 a= b,从而 c= = b,即可求出双曲线的离心率.

解答: 解:不妨设右支上 P 点的横坐标为 x 由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a, ∵|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|? |PF2|= ab, ∴2ex=3b, (ex) ﹣a = ab ∴ b ﹣a = ab,即 9b ﹣4a ﹣9ab=0,
2 2 2 2 2 2

∴(3b﹣4a) (3b+a)=0 ∴a= b, ∴c= ∴e= = . 故选:B. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了双曲线的第二定义的灵活运用,属于中 档题. = b,

8.设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 上的点 PF2⊥F1F2, )

∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|PF2|=x,在直角三角形 PF1F2 中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率 的性质即可求得答案. 解答: 解:|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, ∴|PF1|=2x,|F1F2|= x, 又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c ∴2a=3x,2c= x, ∴C 的离心率为:e= 故选 D. 点评: 本题考查椭圆的简单性质, 求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力, 属于中档题. 9.已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. D.
2

=



考点: 直线与圆锥曲线的关系;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 先确定 x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线,再由抛物线的定义得到 P 到 l2 的距离等于 P 2 到抛物线的焦点 F(l2,0)的距离,进而转化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F (l2,0)和直线 l2 的距离之和最小,再由点到线的距离公式可得到距离的最小值. 2 解答: 解:直线 l2:x=﹣1 为抛物线 y =4x 的准线, 由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(l2,0)的距离,
2

故本题化为在抛物线 y =4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(l2,0)和直线 l2 的距离之和最小, 最小值为 F(l2,0)到直线 l2:4x﹣3y+6=0 的距离, 即 d= ,

2

故选 A. 点评: 本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,考查基础知识的综合应用.圆锥曲线 是高考的热点也是难点问题,一定要强化复习. 10.△ABC 的顶点 A(﹣5,0) ,B(5,0) ,△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的 轨迹方程是( ) A. ﹣ =1 B. =1

C.



=1(x>3) D.

=1(x>4)

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据图可得:|CA|﹣|CB|为定值,利用根据双曲线定义,所求轨迹是以 B 为焦点, 实轴长为 6 的双曲线的右支,从而写出其方程即得. 解答: 解:如图设△ABC 与圆的切点分别为 D、E、F, 则有|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以 B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支, 方程为 故选 C ﹣ =1(x>3) .

点评: 本题考查轨迹方程,利用的是定义法,定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨 迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等) ,可用定义直接探求. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若 a≤b,则 ac ≤bc ,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个 数是 2 . 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑.
2 2

分析: 首先,判断原命题为假命题,然后,分别写出它的其它三种形式的命题,然后,分 别判断真假. 解答: 解:若 a≤b,则 ac ≤bc ,为真命题; 2 2 逆命题为:若 ac ≤bc ,则 a≤b,为假命题; 2 2 否命题:若 a>b,则 ac >bc ,为假命题; 2 2 逆否命题:若 ac >bc ,则 a>b,为真命题; 故正确命题的个数为 2, 故答案为:2. 点评: 本题重点考查了四种命题的真假判断,属于中档题. 12. “p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的 必要不充分 条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据复合命题之间的关系进行判断即可. 解答: 解:若“p 或 q”为真命题,则 p,q 至少有一个为真,则此时“p 且 q”不一定为真 命题, 若“p 且 q”为真命题,则 p,q 同时为真,必要性成立, 故“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的必要不充分条件, 故答案为:必要不充分 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据复合命题之间的关系是解决本题的 关键. 13.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为 x 轴,且过点 P(﹣2,2 程为 y =﹣4x . 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设抛物线方程为 y =mx,代入 P(﹣2,2 线方程. 解答: 解:设抛物线方程为 y =mx, 代入 P(﹣2,2 ) ,可得, 8=﹣2m,即有 m=﹣4, 则抛物线的方程为 y =﹣4x. 2 故答案为:y =﹣4x. 点评: 本题考查抛物线的方程的求法,考查待定系数法的运用,考查运算能力,属于基础 题.
2 2 2 2 2 2

) ,则抛物线的方

) ,得到方程,解方程即可得到所求抛物

14.若函数 +∞) . 考点: 导数的几何意义.

存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 [2,

分析: 先对函数 f(x)求导,然后令导函数等于 0 得到关于 a,x 的关系式,再由基本不 等式可求出 a 的范围. 解答: 解:∵ ∴f'(x)=x﹣a+

由题意可知存在实数 x>0 使得 f'(x)=x﹣a+ =0,即 a=x+ 成立 ∴a=x+ ≥2(当且仅当 x= ,即 x=1 时等号取到) 故答案为:[2,+∞) 点评: 本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜 率.

15. 椭圆

的焦点为 F1, F2, 点 P 在椭圆上, 若|PF1|=4, ∠F1PF2 的大小为 120° .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,易得|PF2|,再利用余弦定理,即可求得结论. 解答: 解:∵|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|=4, ∴|PF2|=6﹣|PF1|=2. 在△F1PF2 中,cos∠F1PF2= =﹣ ,

∴∠F1PF2=120°. 故答案为:120° 点评: 本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,考查余弦定理的运用,考查学生 的计算能力,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x ﹣x﹣6≤0 或 2 x +2x﹣8>0;若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定;一元二次不等式的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用不等式的解法求解出命题 p,q 中的不等式范围问题,结合二者的关系得出关于 字母 a 的不等式,从而求解出 a 的取值范围. 解答: 解:x ﹣4ax+3a =0 对应的根为 a,3a; 由于 a<0, 则 x ﹣4ax+3a <0 的解集为(3a,a) , 故命题 p 成立有 x∈(3a,a) ; 由 x ﹣x﹣6≤0 得 x∈[﹣2,3], 2 由 x +2x﹣8>0 得 x∈(﹣∞,﹣4)∪(2,+∞) , 故命题 q 成立有 x∈(﹣∞,﹣4)∪[﹣2,+∞) . 若 p 是 q 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件,
? ? 2 2 2 2 2 2 2 2

因此有(3a,a)? (﹣∞,﹣4)或(3a,a)? [﹣2,+∞) , 又 a<0,解得 a≤﹣4 或 故 a 的范围是 a≤﹣4 或 ; .

点评: 本题考查一元二次不等式的解法,考查二次不等式与二次函数的关系,注意数形结 合思想的运用.
2

17.如图,直线 y= x 与抛物线 y= x ﹣4 交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 y= ﹣5 交于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A、B)的动点时,求△OPQ 面积的最大值.

考点: 抛物线的应用;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (1)把直线方程抛物线方程联立求得交点 A,B 的坐标,则 AB 中点 M 的坐标可得, 利用 AB 的斜率推断出 AB 垂直平分线的斜率,进而求得 AB 垂直平分线的方程,把 y=﹣5 代 入求得 Q 的坐标. (2)设出 P 的坐标,利用 P 到直线 0Q 的距离求得三角形的高,利用两点间的距离公式求得 QO 的长, 最后利用三角形面积公式表示出三角形 OPQ, 利用 x 的范围和二次函数的单调性求 得三角形面积的最大值.

解答: 解: (1)解方程组





即 A(﹣4,﹣2) ,B(8,4) ,

从而 AB 的中点为 M(2,1) , 由 kAB═ ,直线 AB 的垂直平分线方程 y﹣1=﹣2(x﹣2) . 令 y=﹣5,得 x=5,

∴Q(5,﹣5) . (2)直线 OQ 的方程为 x+y=0,设 P(x, x ﹣4) . ∵点 P 到直线 OQ 的距离 d= = ,∴S△OPQ= |OQ|d= ∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点,且 P 不在直线 OQ 上, ∴﹣4≤x<4 ﹣4 或 4 ﹣4<x≤8. ∵函数 y=x +8x﹣32 在区间[﹣4,8]上单调递增, ∴当 x=8 时,△OPQ 的面积取到最大值 30. 点评: 本题主要考查了抛物线的应用,点到直线的距离公式.考查了对解析几何基础知识 的灵活运用.
2 2



18.已知椭圆

上的点 P 到左右两焦点 F1,F2 的距离之和为

,离

心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点, 若 y 轴上一点 求直线 l 的斜率 k 的值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用椭圆的定义求出 a,根据离心率为 ,求出 c,从而可求 b,即可求椭 满足|MA|=|MB|,

圆的方程; (Ⅱ)设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,联立直线与椭圆的方程,可得 AB 的中点坐标,确定 AB 的中垂线方程,利用|MA|=|MB|,即可求直线 l 的斜率 k 的值. 解答: 解: (Ⅰ) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) ∵ 分) ∴b =a ﹣c =2﹣1=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ∴椭圆的标准方程为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (4 分)
2 2 2

,∴

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

,∴

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2

(Ⅱ)已知 F2(1,0) ,设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,A(x1,y1)B(x2,y2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣(5 分)

联立直线与椭圆的方程

,化简得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣

2

2

2

2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ∴ ,

∴AB 的中点坐标为 ﹣﹣(8 分) ①当 k≠0 时, AB 的中垂线方程为 ﹣﹣﹣﹣(9 分)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∵|MA|=|MB|, ∴点 M 在 AB 的中垂线上, 将点 M 的坐标代入直线方程得:





,解得



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣(11 分) ②当 k=0 时,AB 的中垂线方程为 x=0,满足题意.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) ∴斜率 k 的取值为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(13 分) 点评: 本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,考 查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19.已知二次函数 f(x)满足:①在 x=1 时有极值;②图象过点(0,﹣3) ,且在该点处的 切线与直线 2x+y=0 平行. (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f(x )的单调递增区间. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得 极值的条件. 专题: 计算题. 分析: (1)先根据函数模型设出函数解析式,然后对函数 f(x)求导,令 f'(1)=0,f' (0)=﹣2,f(0)=﹣3 建立方程组,解之即可得到答案; (2)将函数 f(x)的解析式代入求出函数 g(x)的解析式后求导,令导函数大于 0 求出 x 的范围即可求出函数 g(x)的单调递增区间. 解答: 解: (1)设 f(x)=ax +bx+c,则 f? (x)=2ax+b.
2 2

由题设可得:



解得

所以 f(x)=x ﹣2x﹣3. 2 4 2 3 (2)g(x)=f(x )=x ﹣2x ﹣3, g′(x)=4x ﹣4x=4x(x﹣1) (x+1) .列表: x (﹣∞,﹣1) ﹣1 (﹣1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) ﹣ 0 + 0 ﹣ 0 + f(x) ↘ ↗ ↘ ↗ 由表可得:函数 g(x)的单调递增区间为(﹣1,0) , (1,+∞) . 点评: 本题主要考查导数的几何意义、导数的正负情况和原函数的增减性的关系,属基础 题.
3

2

20.若函数 f(x)=ax ﹣bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值为 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)=k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;综合题.



分析: (1)先对函数进行求导,然后根据 f(2)=﹣ .f'(2)=0 可求出 a,b 的值,进 而确定函数的解析式. (2)根据(1)中解析式然后求导,然后令导函数等于 0 求出 x 的值,然后根据函数的单调 性与其导函数的正负之间的关系确定单调性, 进而确定函数的大致图象, 最后找出 k 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=3ax ﹣b 由题意; ,解得 ,
2

∴所求的解析式为 (Ⅱ)由(1)可得 f′(x)=x ﹣4=(x﹣2) (x+2) 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=﹣2, ∴当 x<﹣2 时,f′(x)>0,当﹣2<x<2 时,f′(x)<0,当 x>2 时,f′(x)>0 因此,当 x=﹣2 时,f(x)有极大值 当 x=2 时,f(x)有极小值 ∴函数 由图可知: . , 的图象大致如图. ,
2

点评: 本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系.导数是高等数学下放到 高中的内容,是高考的热点问题,每年必考,要给予充分重视. 21.已知 x=1 是函数 f(x)=mx ﹣3(m+1)x +nx+1 的一个极值点,其中 m,n∈R,m<0. (Ⅰ)求 m 与 n 的关系表达式; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 x∈[﹣1,1]时,函数 y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的 取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性. 分析: (Ⅰ)求出 f′(x) ,因为 x=1 是函数的极值点,所以得到 f'(1)=0 求出 m 与 n 的关系式; (Ⅱ)令 f′(x)=0 求出函数的极值点,讨论函数的增减性确定函数的单调区间; (Ⅲ)函数图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m 即 f′(x)>3m 代入得到不等式即 3m(x ﹣1)[x﹣(1+ )]>3m,又因为 m<0,分 x=1 和 x≠1,当 x≠1 时 g(t)=t﹣ ,求出 g (t)的最小值.要使 <(x﹣1)﹣ 解集求出 m 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=3mx ﹣6(m+1)x+n. 因为 x=1 是 f(x)的一个极值点,所以 f'(1)=0,即 3m﹣6(m+1)+n=0. 所以 n=3m+6. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f′(x)=3mx ﹣6(m+1)x+3m+6=3m(x﹣1)[x﹣(1+ )] 当 m<0 时,有 1>1+ ,当 x 变化时 f(x)与 f'(x)的变化如下表: x (﹣∞,1+ ) 1+ (1+ ,1) 1 (1,+∞)
2 2 3 2

恒成立即要 g(t)的最小值> ,解出不等式的

f′(x) <0 0 >0 0 <0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上表知,当 m<0 时,f(x)在(﹣∞,1+ )单调递减,在(1+ ,1)单调递增,在(1, +∞)单调递减. (Ⅲ)由已知,得 f′(x)>3m,即 3m(x﹣1)[x﹣(1+ )]>3m, ∵m<0.∴(x﹣1)[x﹣1(1+ )]<1. (*) 1 x=1 时. (*)式化为 0<1 怛成立.
0

∴m<0. 2 x≠1 时∵x∈[﹣1,1],∴﹣2≤x﹣1<0. (*)式化为 <(x﹣1)﹣ .
0

令 t=x﹣1,则 t∈[﹣2,0) ,记 g(t)=t﹣ , 则 g(t)在区间[﹣2,0)是单调增函数.∴g(t)min=g(﹣2)=﹣2﹣ 由(*)式恒成立,必有 <﹣ ? ﹣ <m,又 m<0.∴﹣ <m<0. 综上 1 、2 知﹣ <m<0. 点评: 考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力,利用导数研究函数极值和单调性的 能力,以及掌握不等式恒成立的条件.
0 0

=﹣ .


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