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【人教A版】高中数学必修二:4.2.3直线与圆的方程的应用学案设计 新人教A版必修2


第四章 4.2 4.2.3

圆与方程

直线、圆的位置关系 直线与圆的方程的应用

学习目标 1.理解直线与圆的位置关系的几何性质; 2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 3.会用“数形结合”的数学思想解决问题. 教学重点难点 重点:直线与圆的方程的应用. 难点:直线与圆的方程的应用. 学习过程 一、设计问题

,创设情境 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.直线与圆的方程在实际 生活以及平面几何中的应用. 圆的标准方程是什么?一般方程是什么?点到直线的距离公式是什么? 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用,本节通过几个例子说明 直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用. ①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离. ②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线 的距离与半径的关系来解决.

例如:某圆拱形桥一孔圆拱的示意图(如图),这个圆的圆拱跨度 AB=20 m,拱高 OP=4 m, 建造时每间隔 4 m 需要用一根支柱支撑,求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01 m). 二、学生探索,尝试解决 对于以上实例应该考虑建立直角坐标系,确定圆的方程进而求解. 如何用坐标法解决几何问题呢? 三、信息交流,揭示规律 1.用坐标法解决几何问题时,先用 表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何 问题转化为 问题;然后通过代数运算解决代数问题; 2.最后解释代数运算结果的 ,得到几何问题的结论.这就是用 解决几 何问题的“三步曲”: 第一步: ; 第二步: ; 第三步: . 四、运用规律,解决问题

3.对于以上实例解析如下: 分析:建立如图所示的直角坐标系,只需求出 P2 的纵坐标,就可得出支柱 A2P2 的高度.

总结规律:(试总结如何把几何问题转化为代数问题进行求解?) 4.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直 ,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对 边长的一半. 证明:

总结规律:(试总结如何把几何问题转化为代数问题进行求解?) 五、变练演编,深化提高 本节的问题主要围绕直线和圆的位置关系来设计,例如求圆的方程中条件的设计:直线 与圆相切,直线与圆相交产生的弦长问题——垂径定理的运用等. 5.例如:求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的标准方程. 同学们可以仿照例题和所考查的知识点来进行编写.

(设计意图:通过学生的自主编题,掌握确定用坐标法解决几何问题的关键所在和具体步 骤,使学生进一步提高分析问题、解决问题的能力.) 六、信息交流,教学相长 几何问题可以转化为代数计算来解决,转化的思想和具体步骤是什么?和纯粹的几何证 明相比有什么优点? 5.例如:求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的标准方程. 解:圆心到直线的距离为 r=, 2 2 所以所求圆的方程为(x-1) +(y-3) =. 七、反思小结,观点提炼 用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、 直线、 圆将几何问 题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得 到几何问题的结论,这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何 问题转化为代数问题. 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 布置作业 课本 P132 练习第 2,3,4 题. 参考答案

三、1.坐标和方程 代数 2.几何含义,坐标方法,建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几 何元素 , 将平面几何问题转化为代数问题 ; 通过代数运算 , 解决代数问题 ; 把代数运算结果 “翻译”成几何结论. 四、3.建立如图所示的直角坐标系,使圆心在 y 轴上, 2 2 2 设圆心的坐标是(0,b),圆的半径为 r,那么圆的方程为:x +(y-b) =r , 因为点 P(0,4),B(10,0)在圆上,所以,有解得 2 2 2 所以,圆的方程为:x +(y+10.5) =14.5 2 2 2 把 P2 的横坐标 x=-2 代入圆的方程,得(-2) +(y+10.5) =14.5 , 由题意可知 y>0,解得:y=3.86 答:支柱 A2P2 的高度约为 3.86 米. 4.以四边形 ABCD 互相垂直的对角线 CA,BD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴,建立如图所示的 直角坐标系,设 A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d),

过四边形外接圆的圆心 O'分别作 AC、BD、AD 的垂线,垂足为 M,N,E,则 M、N、E 分别为 AC、BD、AD 的中点,由中点坐标公式,有: xO'=xM=,yO'=yN=,xE=,yE=, 由两点间的距离公式,有: |O'E|=, 又|BC|=,所以,|O'E|=|BC|. 即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半. 2 2 5.解:圆心到直线的距离为 r=,所以所求圆的方程为(x-1) +(y-3) =.


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