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高一试卷习题(附答案)2


模块综合评估(三)
时限:120分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 3x2 1.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( 1-x 1 A.(-3,+∞) 1 1 C.(-3,3) 1 B.(-3,1) 1 D.(-∞,-3) ) 满分:150分

? ?1-x>0, 1 解析:由题意得? 解得-3<x<1,选

B. ?3x+1>0, ?

答案:B 2.下列函数 f(x)中,满足“对任意的 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是( 1 A.f(x)=x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) 1 解析:f(x)=x在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数, ∴A 正确. f(x)=(x-1)2 的减区间为(-∞,1); f(x)=ex 是 R 上的增函数; f(x)=ln(x+1)为(-1,+∞)上的增函数, ∴选 A. )

答案:A 1-x 1 3.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=2,则 f(-a)等于( 1+x 1 A.2 C.2 1 B.-2 D.-2 )

1+x 解析:设 x∈(-1,1),则 f(-x)=lg 1-x 1-x 1 =lg =-lg =-f(x). 1-x 1+x 1+x ∴f(x)是(-1,1)上的奇函数. 1 ∴f(-a)=-f(a)=-2. 答案:B 4.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象 经过点( a,a),则 f(x)等于( A.log2x 1 C.2x ) B.log1 x
2

D.x2

解析:y=ax?x=logay,f(x)=logax, 1 a=loga a=2?f(x)=log1 x. 2 答案:B 5.函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若 f(a)≤f(2),则实数 a 的取值范围是( A.a≤2 C.-2≤a≤2 ) B.a≥-2 D.a≤-2 或 a≥2

解析:因为函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,故在(-∞,0]上是增函 数时,在(0,+∞)上是减函数.当 a<0 时,根据 f(a)≤f(2)=f(-2)可 得 a≤-2.当 a>0 时,由 f(a)≤f(2),可得 a≥2.故 a≤-2,或 a≥2, 应选 D. 答案:D 6.函数 y=loga(|x|+1)(a>1)的大致图象是( )

?loga?x+1?,x≥0, ? 解析:y=loga(|x|+1)=? 图象过点(0,0),是对 ? ?loga?1-x?,x<0,

数函数图象平移后得到的,结合图象知选 B. 答案:B 7. 函数 y=ax-2+loga(x-1)+1(a>0, a≠1)的图象必经过点( A.(0,1) C.(2,1) B.(1,1) D.(2,2) )

解析:由指数与对数函数的图象性质即得答案. 答案:D 8.定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如右图所示,则在(-2,0) 上,下列函数中与 f(x)的单调性不同的是( .. )

A.y=x2+1 B.y=|x|+1
?2x+1,x≥0 ? C.y=? 2 ? ?-x +1,x<0 ?ex,x≥0 ? D.y=? -x ?e ,x<0 ?

解析:利用偶函数的对称性知 f(x)在(-2,0)上为减函数. 又 y=x2+1 在(-2,0)上为减函数; y=|x|+1 在(-2,0)上为减函数;
?2x+1,x≥0, ? y=? 2 ?-x +1,x<0 ?

在(-2,0)上为增函数.

?e ,x≥0, y=? 1 ?ex,x<0
x

在(-2,0)上为减函数.故选 C.

答案:C 9.设 f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈[1,3] 上求近似解的过程中取区间中点 x0=2,那么下一个有根区间为( )

A.[1,2] B.[2,3] C.[1,2]或[2,3]都可以 D.不能确定 解析:由于 f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,所以下一个有根区间为[1,2] 上取得. 答案:A 10.下列函数中,随 x 增大而增大速度最快的是( A.y=2 006lnx B.y=x2 006 ex C.y=2 006 D.y=2 006·x 2 解析:根据幂函数、指数函数、对数函数的变化趋势即得答案. 答案:C 1 11.已知 x2+y2=1,x>0,y>0,且 loga(1+x)=m,loga =n, 1-x 则 logay 等于( A.m+n 1 C.2(m+n) ) B.m-n 1 D.2(m-n) 1 =loga(1-x2)=logay2 = 1-x )

解析:由 m-n=loga(1+x)-loga 2logay, 1 所以 logay=2(m-n). 故选 D. 答案:D

12. 已知函数 f(x)的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞), f(x)是奇函数, 且当 x>0 时,f(x)=x2-x+a,若函数 g(x)=f(x)-x 的零点恰有两个, 则实数 a 的取值范围是( A.a<0 C.a≤1 ) B.a≤0 D.a≤0 或 a=1

解析:由于 f(x)为奇函数,且 y=x 是奇函数,所以 g(x)=f(x)-x 也应为奇函数,所以由函数 g(x)=f(x)-x 的零点恰有两个,可得两零 点必定分别在(-∞,0)和(0,+∞)上,由此得到函数 g(x)=x2-2x+a 在(0,+∞)上仅有一个零点,即函数 y=-(x-1)2+1 与直线 y=a 在 (0,+∞)上仅有一个公共点,数形结合易知应为 a≤0 或 a=1,选 D. 答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.汽车的油箱是长方体形容器,它的长是 a cm 宽是 b cm,高 是 c cm,汽车开始行驶时油箱内装满汽油,已知汽车的耗油量是 n cm3/km,汽车行驶的路程 y km 与油箱内剩余油量的液面高度 x cm 的 函数关系式为________. ab?c-x? 答案:y= (0≤x≤c) n 14.设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则 实数 m=________. 解析:∵?UA={1,2},∴A={0,3}. ∴0,3 是方程 x2+mx=0 的两根,∴m=-3. 答案:-3 15.若函数 f(x)=mx2-2x+3 只有一个零点,则实数 m 的取值是 ________.

1 解析:由题意得 m=0 或 Δ=4-12m=0,即 m=0 或 m=3. 1 答案:0 或3 16.对于函数 f(x)=log2x 在其定义域内任意的 x1,x2 且 x1≠x2, 有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)· 2); f(x ②f(x1·2)=f(x1)+f(x2); x ③ f?x1?-f?x2? >0; x1-x2

x1+x2 f?x1?+f?x2? ④f( 2 )< . 2 上述结论中正确结论的序号是________. 解析:对于①,取 x1=2,x2=4,可知 f(x1)· 2)=log22· 24=2, f(x log 而 f(x1+x2)=log26≠log24=2,因此①不成立;对于②,由对数运算性 质有 f(x1·2)=log2(x1·2)=log2x1+log2x2=f(x1)+f(x2),因此②成立;对 x x 于③ ,由 f(x)=log2x 的单调性知其成立.对于④,取 x1=2,x2=8, f?x1?+f?x2? log22+log28 x1+x2 可知 = =2, 2 )=log25, log25>log24=2, f( 而 2 2 x1+x2 f?x1?+f?x2? 此时 f( 2 )> ,因此④不成立.综上所述应填②③. 2 答案:②③ 三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程,只写最后结果的不 得分,共 70 分) 17.(10 分)设 A={-3,4},B={x|x2-2ax+b=0},B≠?且 B?A, 求 a,b. 解:由 B≠?,B?A 知 B={-3}或{4}或 B={-3,4}. 当 B={-3}时,a=-3,b=9;

当 B={4}时,a=4,b=16; 1 当 B={-3,4}时,a=2,b=-12. 18.(12 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=-x2+ 2x+2. (1)求 f(x)的表达式; (2)画出 f(x)的图象,并指出 f(x)的单调区间. 解:(1)设 x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2. 又∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x2+2x-2. 又 f(0)=0,∴f(x)=

?x +2x-2, x<0, ? ?0, x=0, ?-x2+2x+2, x>0. ?
2

(2)先画出 y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应 y =f(x)(x<0)的图象,其图象如右图所示.由图可知,其增区间为[-1,0) 和(0,1],减区间为(-∞,-1]和[1,+∞).

px2+2 5 19.(12 分)已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(2)=3. 3x+q (1)求实数 p,q 的值; (2)判断 f(x)在(1,+∞)上的单调性. p?-x?2+2 解:(1)∵f(-x)= -3x+q px2+2 =-f(x)= , -3x-q 4p+2 5 ∴q=0.又 f(2)= 6 =3,∴p=2,q=0. 2x2+2 (2)f(x)= 3x 为(1,+∞)上的增函数. 设 x1,x2 是(1,+∞)上的任意两个数且 x1<x2. 2?x2-x1??-x1x2+1? f(x1)-f(x2)= , 3x x
1 2

∵x1<x2,∴x2-x1>0.又 x1>1,x2>1. ∴1-x1x2<0. ∴ 2?x2-x1??-x1x2+1? <0, 3x1x2

即 f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(1,+∞)上单调递增. 20.(12 分)已知函数 f(x)=2x2+2x+a(-2≤x≤2). (1)写出函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的最大值为 64,求 f(x)的最小值. 解:(1)f(x)=2(x+1)2+a-1(-2≤x≤2), ∴在[-2,-1]上,f(x)为减函数; 在[-1,2]上,f(x)为增函数. 即 f(x)的减区间是[-2,-1],f(x)的增区间是[-1,2].

(2)设 U(x)=(x+1)2+a-1(-2≤x≤2),则 U(x)的最大值为 U(2) =8+a,最小值为 U(-1)=a-1. 故 f(x)的最大值为 f(2)=28+a,最小值为 f(-1)=2a-1. ∵28+a=64,∴a=-2. 1 ∴f(x)的最小值为 f(-1)=2-2-1=8. 21.(12 分)已知函数 f(x)=2a·x-2x-1. 4 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的零点; (2)若 f(x)有零点,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)=2·x-2x-1. 4 令 f(x)=0,即 2· x)2-2x-1=0, (2 1 解得 2x=1 或 2x=-2(舍去). ∴x=0.∴函数 f(x)的零点为 x=0. (2)若 f(x)有零点,则方程 2a·x-2x-1=0 有解, 4 2x+1 1 x 1 x 于是 2a= 4x =(2) +(4) 1 1 1 =[(2)x+2]2-4. 1 1 1 ∵(2)x>0,∴2a>4-4=0,即 a>0. 22.(12 分)已知定义域为[0,1]的函数 f(x)同时满足以下三个条件: ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②f(1)=1; ③当 x1, 2∈[0,1], x1+x2∈[0,1]时, 1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. x 且 f(x 称这样的函数为“友谊函数”. 请解答下列各题: (1)已知 f(x)为“友谊函数”,求 f(0)的值;

(2)函数 g(x)=2x-1 在区间[0,1]上是否为“友谊函数”?请给出 理由; (3)已知 f(x)为“友谊函数”, 假定存在 x0∈[0,1], 使得 f(x0)∈[0,1], 且 f[f(x0)]=x0,求证:f(x0)=x0. 解:(1)令 x1=1,x2=0,则 x1+x2=1∈[0,1]. 由③,得 f(1)≥f(0)+f(1),即 f(0)≤0. 又由①,得 f(0)≥0,所以 f(0)=0. (2)g(x)=2x-1 是友谊函数. 任取 x1,x2∈[0,1],x1+x2∈[0,1],有 2x1≥1,2x2≥1. 则(2x1-1)(2x2-1)≥0. 即 g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2).又 g(1)=1, 故 g(x)在[0,1]上为友谊函数. (3)取 0≤x1<x2≤1,则 0<x2-x1≤1. 因此,f(x2)≥f(x1)+f(x2-x1)≥f(x1). 假设 f(x0)≠x0, 若 f(x0)>x0,则 f[f(x0)]≥f(x0)>x0. 若 f(x0)<x0,则 f[f(x0)]≤f(x0)<x0. 都与题设矛盾,因此 f(x0)=x0.


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