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2014届高考数学一轮复习 第69讲《随机抽样、用样本估计总体、正态分布》热点针对训练 理


第69讲

随机抽样、用样本估计总体、正态分布

1.(2012·山东省临沂市 3 月一模)将参加夏令营的 500 名学生编号为: 001,002, ?, 500,采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003,这 500 名 学生分住在三个营区,从 001 到 200 在第一营区,从 201 到 355 在第二

营区,从 356 到 500 在第三营区,三个营区被抽中的人数分别为( B ) A.20,15,15 B.20,16,14 C.12,14,16 D.21,15,14 解析:根据系统抽样特点,被抽到号码 l=10k+3,k∈N,第 353 号被抽到,因此第二 营区应有 16 人,所以三个营区被抽中的人数分别为 20,16,14,故选 B. 2 2.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ),且 P(ξ <4)=0.8,则 P(0<ξ <2)等 于( C ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析:由 P(ξ <4)=0.8 知 P(ξ >4)=P(ξ <0)=0.2, 故 P(0<ξ <2)=0.3,故选 C. 3.(2013·宁波市四中高三上期末)200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方 图如下图所示 ,则时速不低于 60 km/h 的汽车数量为( B )

A.65 辆 B.76 辆 C.88 辆 D.95 辆 解析:设时速不低于 60 km/h 的汽车数量为 n, =(0.028+0 .010)×10=0.38, 200 所以 n=0.38×200=76. 4 5 4.(2012·上海卷)设 10≤x1<x2<x 3<x4≤10 ,x5=10 ,随机变量 ξ 1 取值 x1、x2、x3、 x1+x2 x2+x3 x3+x4 x4+x5 x5+x1 x4、x5 的概率均为 0.2,随机变量 ξ 2 取值 、 、 、 、 的概率也均 2 2 2 2 2 为 0.2.若记 Dξ 1、Dξ 2 分别为 ξ 1、ξ 2 的方差,则( A ) A.Dξ 1>Dξ 2 B.Dξ 1=D ξ 2 C.Dξ 1<Dξ 2 D.Dξ 1 与 Dξ 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关 1 - - 2 2 解析:Dξ 1= [( x -x1) +?+( x -x5) ] 5 1 2 2 -2 2 2 2 = (x1+x2+x3+x4+x5)- x , 5 1 - x1+x2 2 - x5+x1 2 Dξ 2= [( x - ) +?+( x - )] 5 2 2 1 x1+x2 2 x5+x1 2 -2 = [( ) +?+( ) ]- x 5 2 2 1 2 2 -2 2 2 2 < (x1+x2+x3+x4+x5)- x , 5 所以 Dξ 1>Dξ 2,故选 A. 5.(2012·浙江省慈溪市 5 月模拟)某市有大型超市 200 家、 中型超市 400 家、 小型超 则

n

1

市 1400 家,为掌握各类超市的营业情况, 现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本, 应抽取中型超市 20 家. 400 解析:n=100× =20. 200+400+1400 6.(2012·嘉兴市高三教学测试)在一次运动员的选拔中,测得 7 名选手身高(单位: cm)分布的茎叶图如图所示.已知记录的平均身高为 174 cm,但有一名候选人的身高记录不 清楚,其末位数记为 x,那么 x 的值为 7 . 18 17 16 0 1 0 3 x 8 9

10+11+3+x-2-1 解析:将所有数据都减去 170,根据平均数的计算公式可得 =4, 7 解得 x=7. 7.(2012·南通市教研室模拟)给出如下 10 个数据: 63,65,67,69,66,64,66,64,65,68. 1 根据这些数据制作频率分布直方图,其中[64.5, 66.5)这组所对应的矩形的高为 . 5 频率 解析: 落在区间[64.5,66.5)的数据依次为 65,66,66,65, 4 个, 共 则矩形的高等于 组距 4 10 1 = = . 66.5-64.5 5 8.在某篮球比赛中,根 据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图.

(1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定; (2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好. 解析: (1)茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图, 且保留了所有原始数据的信息, 所以从数与形的特征来看,甲和乙的得分都是对称的,叶的分布是“单峰”的,但甲全部的 5 叶都集中在茎 2 上,而乙只有 的叶集中在茎 2 上,这说明甲发挥得更稳定. 7 20+21+25+26+27+28+28 - (2) x 甲= =25, 7 17+23+24+25+26+29+31 - x 乙= =25, 7 1 s2 = [(20-25)2+(21-25)2+(25-25)2+(26-25)2+(27-25)2+(28-25)2+(28- 甲 7 2 25) ]≈9.14, 1 s2 = [(17-25)2+(23-25)2+(24-25)2+(25-25)2 +(26-25)2+(29-25)2+(31- 乙 7 2 25) ]≈17.43. - - 2 2 因为 x 甲= x 乙,s甲<s乙,所以甲发挥得更好. 9.(2012·江南十校联考)某制造商 3 月生产了一批乒乓球, 随机抽样 100 个进行检查, 测得每个球的直径(单位:mm),将数据分组如下表: 分组 频数 频率 [39.95,39.97) 10 [39.97,39.99) 20

2

[39.99,40.01) 50 [40.01,40.03] 20 合计 100 (1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数),并在下图中画出频率分布直 方图;

(2)若以上述频率作为概率,已知标准乒乓球的直径为 40.00 mm,试求这批乒乓球的直 径误差不超过 0.03 mm 的概率; (3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值 是 40.00)作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数). 解析:(1)频率分布表及频率分布直方图如下: 频率 分组 频数 频率 组距 [39.95,39.97) 10 0.10 5 [39.97,39.99) 20 0.20 10 [39.99,40.01) 50 0.50 25 [40.01,40.03] 20 0.20 10 合计 100 1

(2)误差不超过 0.03 mm,即直径落在[39.97,40.03]范围内,其概率为 0.2+0.5+0.2 =0.9. (3) 整 体 数 据 的 平 均 值 约 为 39.96×0.10 + 39.98×0.20 + 40.00×0.50 + 40.02×0.20≈40.00(mm).

3


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