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2-1离散型随机变量及其分布


第二章 随机变量及其分布
Random Variable and Distribution

§2.1离散型随机变量及其分布

一、随机变量的概念
1、随机变量概念的产生 在许多实际问题中,人们发现以一个变量的取值 代表随机事件在解题时更方便。由此就产生了随机 变量的概念.

1. 有些试验结果

本身与数值有关(本身就是一个数)
例:某人在射击训练中,射击一次,命中的环数.
试验的 结果 用数字 表示试 验结果
命中0环 命中1环 命中2环

... ...

命中10环

0

1

2

10

例:掷一枚骰子一次,向上的点数.
试验的 出现1点 出现2点 出现3点 结果
出现4点 出现5点 出现6点

用数字 表示试 验结果

1

2

3

4

5

6

2. 在有些试验中,试验结果与数值无关,但我们可
以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说, 把试验结果数值化.
例:掷一枚硬币,可能会出现哪几种结果?能否用数字 来刻画这种随机试验的结果呢?
试验的结果 正面向上 反面向上 用数字表示 试验结果 1 0

2. 在有些试验中,试验结果与数值无关,但我们可
以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说, 把试验结果数值化. 例:从装有黑色,白色,黄色,红色四个球的箱子中摸 出一个球,可能会出现哪几种结果?能否用数字来刻画 这种随机试验的结果呢?
试验的结果 用数字表示 试验结果 黑色 白色 黄色

红色 4

1

2

3

思考:从上述四个问题中你发现它们有无共同的特征?

每一个试验结果都可以用一个确定的数字来表示

随机变量定义 在随机试验中,确定了一个对应关系,使得每一

个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应
关系下,数字随着试验结果变化而变化,像这样随

着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.

e.

X(e)
RX

s

随机变量常用字母X,Y,ξ、η...等表示.

2、引入随机变量的意义
有了随机变量,随机试验中的各种事件,就可以 通过随机变量的关系式表达出来.

例如: 单位时间内某电话交换台收到的呼叫
次数用 X 表示,它是一个随机变量. 事件{收到不少于1次呼叫} ?{ X 事件{没有收到呼叫} ?{X= 0}

? 1}

例 1 一报童卖报,每份 0.15 元,其成本为 0.10 元 . 报馆每天给报童 1000 份报,并规定他不得把卖不 出的报纸退回 . 设 X为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.

解:分析
{报童赔钱} {卖出的报纸钱不够成本}

当 0.15 X<1000× 0.1时,报童赔钱 故{报童赔钱} ? {X ? 666}

3、随机变量的分类
通常分为两类: 随 机 变 量 离散型随机变量

取值为有限个或 如“取到次品的个数”, 可数无穷个 “收到的呼叫数”等.
连续型随机变量 例如,“电视机的寿 命”,实际中常遇到 的“测量误差”等.

全部可能取值不仅 无穷多,而且还不能 一一列举,而是充满 一个区间

设 X 是一个离散型随机变量,它可能取的值 是 x1, x2 , … .

为了描述随机变量 X ,我们不仅需要知道 随机变量X的取值,而且还应知道X取每个值的 概率.

二、离散型随机变量的分布律
引例
如图中所示,从中任取 3 个球 取到的白球数 X 是一个随机变量 X可能取的值是0,1,2 取每个值的概率为: 2 1 1 2 3 C C 6 C 3 C3 1 3 2 3 C2 P( X ?1)? 3 ? P( X ?2)? 3 ? P ( X ?0)? 3 ? C5 10 C5 10 C5 10

且:

? P( X ? i ) ? 1
i ?0

2

1.定义: 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为

? X ? xk ? 的概率为:
P( X ? xk ) ? pk

xk , k ? 0,1,2?其各个可能取值 即事件
k ? 0,1, 2??

则 称 P( X ? xk ) ? pk 为离散型 随机变量

X 的 概率分布 或 分布律.
注: 分布律可以列表给出

X

x0
p0

x1 x2 ?? xn ??
p1 p2 ?? pn ??

Pk

2. 性 质

(1). pk ? 0, k ? 0,1, 2?
(2).

?p
k ?0

?

k

?1

用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数

注 ▲ 一般:求分布律时需验证这两条性质。若成 立则称得上是分布律,否则说明分布律求错 .
▲ 具有离散型随机变量才具有分布律

例2 将一枚硬币连掷两次, X表示正面出现的次数,求X 的分布律. (P33,例5) 解: X的所有可能取值为0,1,2

分布律为:

1 P( X ? 0) ? 4
列表为:

1 P( X ? 1) ? 2

1 P( X ? 2) ? 4

X P

0 1 4

1 1 2

2 1 4

例3 一批产品共R+N件,其中正品N件,次品R件, 从中 任取K件(K≤R, K≤N),用X表示K件中的次品数,求 (P33,例6) X的分布律。 解 : X的所有可能取值为0,1,2,…,k

C C P( X ? x) ? k , CN ? R
列表为: X 0 1 2

x R

k ?x N

x=0,1,2,…,k



P

K 2 K ?2 1 K ?1 CN CR CN … CR CN K K K CN C CN ?R N ?R ?R

K K CR K CN ?R

例4 某射手连续向一目标射击,直到命中为止,已 知他每发命中的概率是p,求所需射击发数X 的概率 函数. (P33,例7) 解: 显然,X 可能取的值是1,2,… 计算 P(X =k ), k = 1,2, …

P( X ?k)?(1 ? p) ? p

k ?1

k?1,2,??

这就是求所需射击发数X的概率函数. 若随机变量 X 的概率函数如上式,则称 X 具有几何分布.

三、常用的三种离散型随机变量的分布律
1、0-1分布(两点分布) 设随机变量X只取1,0两个值, 且对应的概率 分别为p,q (0<p<1, q=1-p),

则称X服从0—1分布(也叫两点分布)。
其分布律可写为: P( X ? k ) ? pk q1?k 列表:

(k ? 0,1)

X P

0 1 q p

凡试验只有两个结果, 常用0 – 1分布描述, 如 产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、 电力消耗是否超标等等.

2、二项分布
设X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数 则X的可能取值为0,1,2, … ,n。 n次试验中事件A发生k次的概率为:

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n?k

, k ? 0,1, 2,?, n

其中p为每次试验中事件A发生的概率, 称X服从参数为n,p的二项分布,记为

X ~ b(n, p)

它满足:
(1) pk ? C n p (1 ? p )
k k n?k

? 0 (k ? 0,1, 2,? , n)

(2)

?C
k ?0

n

k n

p (1 ? p)
k

n?k

? [ p ? (1 ? p)] ? 1
n

当n=1时二项分布就是0-1分布,可见二项分 布是0-1分布的推广。

例5 一大批产品,次品率为0.1。现从中任取10件, 写出此10件产品中次品数X的分布律 (P35,例8) 解 次品数 X ~ b(10, 0.1) 从而X的分布律为:

X P

0

1
10 1

?
9

10
10 ? 0.1 C 10 10

C 10 ? 0.9
? 0.349

0

C 10 ? 0.1? 0.9
? 0.384

? 0.000

例6 某人射击,命中率为0.02,独立射击400次, 求击中次数不小于2的概率。 (P35,例9) 解 设X为击中次数,则 X ~ b(400,0.02) 所求概率为

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1)
其中

P( X ? 0) ? C 400 ? 0.02 ? 0.98
0

0

400

P( X ? 1) ? C 400 ? 0.021 ? 0.98399
很明显,这里的计算是很麻烦的,一搬当 X ~ b(n, p), 而参数n很大,p很小的情形下,我们有下面的泊松定理

1

泊松定理 设
n ??

np ? ? ? 0
k n k

, 则对固定的 k
n?k

lim C p (1 ? p)

k! k ? 0,1, 2,?

?e

??

?k

泊松定理说明若X ~ b( n, p), 则当n 较大, p 较小 (n ≥10, p ≤0.1) ,而 np=λ适中, 则可以用近似公式

C p (1 ? p )
k n k

n?k

? ?e , k!
?? k

k ? 0,1,2,?

由此,上例6中,n=400,p=0.02, 用泊松定理可求得

? ? np ? 8

P( X ? 0) ?

?0

0! 1 ? ?? ?8 P( X ? 1) ? e ? 8e 1! ?8 P( X ? 2) ? 1 ? 9e ? 0.997

e

??

?e

?8

这个概率近似于1,说明尽管每次射击击中的概率 很小,只要射击次数足够多,击中两次以上几乎 是必然的。因此,我们日常生活的小概率事件是 不可忽视的。

3、 泊松分布 设随机变量X的可能取值为0, 1, … , n, …

P( X ? k ) ? e
其中

??

?

k

? ? 0 是常数,则称 X为 服从参数为λ 的泊松分布. 记作 X ~ ? (? ) 或 P (? ) k ? ??
(1) pk ?
?

k!

, k ? 0,1, 2,?, n,?

(2)

? k!
k ?0

?

k!
k

e

? 0 (k ? 0,1, 2,?)
??

e

??

?e

? k!
k ?0

?

?

k

? e ? ? e? ? 1

▲ 泊松分布 X ~ P (? ) 的图形特点:

▲ 二项分布与泊松分布的关系 由泊松分布的定义及泊松定理可知: 当 n ? ? 泊松分布是二项分布的

近似。
(这是1837 年由法国数学家泊松引入的 ) 在实际中,许多随机现象服从或近似 服从泊

松分布。 若把在每次试验中出现概率很小
的事件称作稀有事件。 比如:

比如:

地震、火山爆发、特大洪水、 意外事故 等等

由泊松定理,n 重贝努利试验中稀有事件

出现的次数近似地服从泊松分布.

例7 电话局每分钟接到用户呼唤的次数X服从参 数 ? ? 4 的泊松分布。求: (1)每分钟恰好接到3次呼唤的概率。 (2)每分钟接到呼唤次数不超过4次的概率。 (P37,例10) 解

(1) P( X ? 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) k k ? ? 4 ?4 4 ?4 ? ? e ?? e k ?3 k ! k ?4 k ! ? 0.7619 ? 0.5665 ? 0.1954 (2) P( X ? 4) ? 1 ? P( X ? 5) ? 4k ?4 ? 1? ? e k ?5 k !
? 1 ? 0.3712 ? 0.6288

例8 已知随机变量 X ~ ? (? ) 且 P( X ? 1) ? P( X ? 2)
求 P( X ? 4)及P( X ? 2) (P ,例11) 37 解 由 P( X ? 1) ? P( X ? 2) ?

? ? ? 0, ? ? 2
由 ? ?0 可知 ? ? 2

e 1 !

?

??

?

?2

e 2!

??

P( X ? 4) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5)

? 0.0902
2 ?2 P( X ? 2) ? ? e ? 0.3233 k ?3 k !
? k

例9 设有80台同类型的设备,各台工作相互独立。每台 设备发生故障的概率均为0.01,且一台设备的故障只需 一人维修即可。考虑下列两种配备维修工人的方案,问 哪种方案较好。 (1)由4人维修,每人负责20台; (2)由3人维修,共同维修80台; (P38,例12) 解 方案1: 设X表示同一时刻某人负责的20台中发生 故障设备的台数, X ~ b(20,0.01)

? ? 20 ? 0.01 ? 0.2



X ~ ? (0.2)

以Ai (i=1,2,3,4)表示事件“第i人维护 的20台中发生故障不能及时维修”

则 P( A ) ? P( A ) ? P( A ) ? P( A ) ? P( X ? 1) 1 2 3 4

0.2k ?0.2 ?? e ? 0.0175 k ?2 k !

?

则设备发生故障不能得到及时维修的概率为

P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? 1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 )

? 1? P( A1 A2 A3 A4 ) ? 1 ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 )
? 1 ? (1 ? 0.0175)4 ? 0.068184
或者 (教材38页)

P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? P( A1 ) ? P( X ? 1) ? 0.0175

方案2:

设Y表示同一时刻80台设备中发生故障的设备的 台数,则 Y ~ b(80,0.01)

? ? 80 ? 0.01 ? 0.8
?

X ~ ? (0.8)

则设备发生故障不能得到及时维修的概率为

0.8k ?0.8 P(Y ? 3) ? ? e ? 0.0091 k ?4 k !
可见用第二方案不但可以少用一人,而且设备发生 故障不能得到及时维修的概率又小,因此第二方案 优于第一方案


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