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高考数学第九章 平面解析几何第10课时 直线与圆锥曲线的综合应用


《最高考系列 高考总复习》2014 届高考数学总复习(考点引领 +技巧点拨) 第九章 平面解析几何第 10 课时 直线与圆锥曲线的综 合应用

考情分析 会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置 关系,解决有关交点弦、弦长、中点及直线 与圆锥曲线的有关问题.

考点新知 会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的 位置关系,解决有关弦长及直线与圆

锥曲线 的有关问题.

x y 1. 直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是________. 9 4 答案:相交 解析:由于直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线 与椭圆必相交. 2 2 x y 2. 椭圆 + =1 的两焦点为 F1、F2,一直线过 F1 交椭圆于 P、Q,则△PQF2 的周长为 25 9 ________. 答案:20 解析:△PQF2 的周长=4a=20. 2 y 2 3. 已知双曲线方程是 x - =1,过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1、P2 两点,并使 2 P(2,1)为 P1P2 的中点,则此直线方程是____________. 答案:4x-y-7=0 2 2 y1 y2 y2-y1 2(x2+x1) 2 2 解析: 设点 P1(x1, y1), P2(x2, y2), 则由 x1- =1, x2- =1, 得 k= = 2 2 x2-x1 y2+y1 2×4 2 = =4,从而所求方程为 4x-y-7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得 14x -56x+ 2 51=0,Δ >0,故此直线满足条件. 2 2 2 x y 4. 若斜率为 的直线 l 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)有两个不同的交点,且这两个交点在 2 a b x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为________. 2 答案: 2 2 2 b ? b? - - ? ? 2 2 a ? a? b b 解析: 由题意易知两交点的横坐标为-c、c, 纵坐标分别为- 、 ,所以由 a a c-(-c) = 2 2 2 得 2b = 2ac=2(a - 2 c ),即 2e + 2e-2=0,解得 e=
2 2

2

2

2 或 e=- 2(负根舍去). 2 5. 已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为____________.

x y 答案: - =1 4 5 x y 2 2 解析: 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0, b>0), 由题意知 c=3, a +b =9.设 A(x1, a b 2 2 x1 y1 2- 2=1, 2 2 2 a b y1-y2 b (x1+x2) -12b 4b y1),B(x2,y2),则有 2 2 两式作差得 = 2 = 2= 2,又 AB 的 x1-x2 a (y1+y2) -15a 5a x2 y2 2- 2=1, a b -15-0 2 2 2 2 2 2 斜率是 =1,所以将 4b =5a 代入 a +b =9 得 a =4,b =5,所以双曲线的标准方 -12-3 2 2 x y 程是 - =1. 4 5
2 2

2

2

? ? ? ? ?

1. 直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时, 通常是将直线方程与曲线方程联立, 消去变量 y(或 2 2 x)得关于变量 x(或 y)的方程:ax +bx+c=0(或 ay +by+c=0). 若 a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ ,有: Δ >0 ?直线与圆锥曲线相交; Δ =0 ?直线与圆锥曲线相切; Δ <0 ?直线与圆锥曲线相离. 若 a=0 且 b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点. 2. 圆锥曲线的弦长问题 2 设直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 AB= 1+k |x1 1 -x2|或 1+ 2|y1-y2|. k [备课札记]

题型 1 如何研究直线与圆锥曲线中的分线段成比例的问题 ? 3 ? 2 2 例 1 已知曲线 E:ax +by =1(a>0,b>0),经过点 M? ,0?的直线 l 与曲线 E 交于点 ?3 ? → → A、B,且MB=-2MA. (1) 若点 B 的坐标为(0,2),求曲线 E 的方程; (2) 若 a=b=1,求直线 AB 的方程. 3 3 3 ? → → ? 解:(1) 设 A(x0,y0),由已知 B(0,2), M( ,0),所以MB=?- ,2?,MA=(x0- , 3 3 ? 3 ? y0). ? ?x0= 3, 3 3 3 → → 2 由于MB=-2MA,所以(- ,2)=-2(x0- ,y0),所以? 即 A( ,-1), 3 3 2 ? ?y0=-1,

a=1, ? 3?2 ?a·? ? ? ? +b·(-1) =1, 将 A、B 点的坐标代入曲线 E 的方程,得? ? 2 ? 解得? 1 b= , ? ? 4 ?a·0 +b·2 =1,
2 2 2

y 2 所以曲线 E 的方程为 x + =1. 4 2 2 (2) 当 a=b=1 时,曲线 E 为圆 x +y =1, → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2).又MB=-2MA, 3 3 ? ? 所以?x2- ,y2?=-2(x1- ,y1), 3 3 ? ?

2

?2x1+x2= 3, 2 2 2 2 即有? x1+y1=1 ①,x2+y2=1 ②,由①×4-②,得(2x1+x2)(2x1-x2) ?2y1+y2=0, 3 3 1 1? ? 3 =3, 所以 2x1-x2= 3, 解得 x1= , x2=0.由 x1= , 得 y1=± .当 A? ,- ?时, B(0, 2 2 2 2? ?2
-1),此时 kAB=- 3,直线 AB 的方程为 y=- 3x+1; ? 3 1? 当 A? , ?时,B(0,1),此时 kAB= 3,直线 AB 的方程为 y= 3x-1. ? 2 2? 备选变式(教师专享)

x y 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,与过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线相 a b 2 → → 交于 A、B 两点.若AF=3FB,则 k=________. 答案: 2 解析:定点 F 分线段 AB 成比例,从而分别可以得出 A、B 两点横坐标之间关系式、纵坐 2 2 x y 标之间关系式,再把 A、B 点的坐标代入椭圆方程 2+ 2=1,四个方程联立方程组,解出根, a b 得出 A、B 两点的坐标,进而求出直线 AB 的方程. 2 c b 3 由已知 e= = 1- 2= ,所以 a=2b, a a 2 2 c 所以 a= c,b= . 3 3 2 2 x y 3 2 2 2 椭圆方程 2+ 2=1 变为 x +3y =c . a b 4 → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2),又AF=3FB, 所以(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2), ? ? ?c-x1=3(x2-c), ?x1+3x2=4c, 所以? 所以? ?-y1=3y2, ?y1+3y2=0, ? ? 3 2 2 2 x1 + 3y1 = c ,① 4 3 2 2 2 x2 + 3y2 = c ,② 4

2

2

3 3 2 ①-9×②,得 (x1+3x2)(x1-3x2)+3(y1+3y2)(y1-3y2)=-8c ,所以 ×4c(x1-3x2) 4 4 2 =-8c , 8 2 10 所以 x1-3x2=- c,所以 x1= c,x2= c. 3 3 9 从而 y1=- 2 2 c,y2= c, 3 9

2 ? ?10 2 ? ?2 所以 A? c,- c?,B? c, c?,故 k= 2. 3 ? ?9 9 ? ?3

题型 2 有关垂直的问题

x y 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 的顶点,过坐标原 4 2 点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连结 AC, 并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k. (1) 若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2) 当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3) 对任意 k>0,求证:PA⊥PB. (1) 解:由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),所以线段 MN 中点的 2? ? 坐标为?-1,- ?.由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点.又直线 PA 过 2 ? ? 例2 2 - 2 2 坐标原点,所以 k= = . -1 2
2 2 x y 2 ?2 4? (2) 解:将直线 PA 的方程 y=2x 代入椭圆方程 + =1,解得 x=± ,因此 P? , ?, 4 2 3 ?3 3? 4 0+ 3 2 4? 2 ? 2 ? ? A?- ,- ?.于是 C? ,0?,直线 AC 的斜率为 =1,故直线 AB 的方程为 x-y- =0.因 3 3 3 2 2 3 ? ? ? ? + 3 3 ?2-4-2? ?3 3 3? ? ? 2 2 此,d= = . 2 2 3 1 +1

2

2

(3) 证明:设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0), 0-(-y1) y1 设直线 PA、 PB、 AB 的斜率分别为 k、 k1、 k2.因为 C 在直线 AB 上, 所以 k2= = x1-(-x1) 2x1 2 2 k y2-y1 y2-(-y1) 2y2-2y1 = . 从 而 k1k + 1 = 2k1k2 + 1 = 2 · · +1= 2 2 +1= 2 x2-x1 x2-(-x1) x2-x1 2 2 2 2 (2y2+x2)-(2y1+x1) 4-4 = 2 2=0. 2 2 x2-x1 x2-x1 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 备选变式(教师专享)

如图,F 是中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C 的右焦点,直线 l:x=4 是椭圆 C 的右 准线,F 到直线 l 的距离等于 3. (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 点 P 是椭圆 C 上动点, PM⊥l, 垂足为 M.是否存在点 P, 使得△FPM 为等腰三角形? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 2 a =4, 2 2 c ? ?a=2, x y 解:(1) 设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),由已知,得 2 ∴? ∴ a b ?c=1. a ? -c=3, c

? ? ? ? ?

b= 3. x y 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 PF 1 1 (2) 由 =e= ,得 PF= PM.∴PF≠PM. PM 2 2 ①若 PF=FM,则 PF+FM=PM,与“三角形两边之和大于第三边”矛盾,∴PF 不可能与 PM 相等. 2 2 2 ②若 FM=PM,设 P(x,y)(x≠±2),则 M(4,y).∴ 3 +y =4-x,∴9+y =16-8x 2 2 x y 3 2 3 2 2 2 2 +x .又由 + =1,得 y =3- x .∴9+3- x =16-8x+x , 4 3 4 4 7 2 4 2 ∴ x -8x+4=0.∴7x -32x+16=0.∴x= 或 x=4. 4 7 4 3 15? 3 15? ?4 ?4 ∵x∈(-2,2),∴x= .∴P? ,± ?.综上,存在点 P? ,± ?,使得△PFM 为 7 7 7 7 7 ? ? ? ? 等腰三角形. 题型 3 直线与圆锥曲线
2 2

x y 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1 的左、右顶点为 A、B,右 9 5 焦点为 F.设过点 T(t,m)的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M(x1,y1)、N(x2,y2),其中 m>0, y1>0,y2<0. 2 2 (1) 设动点 P 满足 PF -PB =4,求点 P 的轨迹; 1 (2) 设 x1=2,x2= ,求点 T 的坐标; 3 (3) 设 t=9,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关). 2 2 2 (1) 解:设点 P(x,y),则 F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0).由 PF -PB =4,得(x-2) 9 9 2 2 2 +y -[(x-3) +y ]=4,化简得 x= ,故所求点 P 的轨迹为直线 x= . 2 2 20? 1 ? 5? ?1 (2) 解:将 x1=2,x2= 分别代入椭圆方程,以及 y1>0,y2<0 得 M?2, ?、N? ,- ?. 9? 3 ? 3? ?3 例3

2

2

y-0 x+3 1 y-0 x-3 5 直线 MTA 的方程为 = ,即 y= x+1.直线 NTB 的方程为 = ,即 y= x 5 2+3 3 20 1 6 -0 - -0 - 3 3 9 3 x=7, ? ? 5 ? 10? - .联立方程组,解得? 10 所以点 T 的坐标为?7, ?. 3? 2 ? y= , ? 3 ? y-0 x+3 m (3) 证明:点 T 的坐标为(9,m),直线 MTA 的方程为 = ,即 y= (x+3).直 m-0 9+3 12 y-0 x-3 m 线 NTB 的方程为 = ,即 y= (x-3). m-0 9-3 6 2 2 x y 分 别 与 椭 圆 + = 1 联 立 方 程 组 , 同 时 考 虑 到 x1 ≠ - 3 , x2 ≠ 3 , 解 得 9 5 2 2 3(80-m ) 40m ? 3(m -20) 20m ? , M? ,- 2 2?、N( 2 2). 80+m ? 20+m 20+m ? 80+m 2 20m 3(m -20) y+ x- 2 2 20+m 20+m (证法 1)当 x1≠x2 时,直线 MN 的方程为 = , 2 2 40m 20m 3(80-m ) 3(m -20) - 2+ 2 2 2 80+m 20+m 80+m 20+m 令 y=0,解得 x=1,此时必过点 D(1,0);当 x1=x2 时,直线 MN 的方程为 x=1,与 x 轴交 点为 D(1,0),所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0). 2 2 240-3m 3m -60 (证法 2)若 x1=x2,则由 2 = 2 及 m>0,得 m=2 10,此时直线 MN 的方程为 80+m 20+m x=1,

过点 D(1,0).若 x1≠x2,则 m≠2 10. 40m 2 80+m 10m 直线 MD 的斜率 kMD= = 2 2, 240-3m 40-m 2 -1 80+m -20m 2 20+m 10m 直线 ND 的斜率 kND= 2 = 2, 3m -60 40-m 2 -1 20+m 得 kMD=kND,所以直线 MN 过 D 点. 因此,直线 MN 必过 x 轴上的点 D(1,0). 变式训练 2 2 x y 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 .直线 y=k(x-1) a b 2 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1) 求椭圆 C 的方程; 10 (2) 当△AMN 的面积为 时,求 k 的值. 3

a=2, ? ?c 2 解:(1) 由题意得? = , 解得 b= a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

x y 2,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2

2

2

y=k(x-1), ? ? 2 2 2 2 2 2 (2) 由?x y 得(1+2k )x -4k x+2k -4=0.设点 M,N 的坐标分别为(x1, + =1, ? ?4 2 y1),(x2,y2), 则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), 2 2 4k 2k -4 x1+x2= 2,x1x2= 2, 1+2k 1+2k 所以 MN= (x2-x1) +(y2-y1) 2 2 = (1+k )[(x1+x2) -4x1x2] 2 2 2 (1+k )(4+6k ) = . 2 1+2k
2 2

又因为点 A(2, 0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= |k| 4+6k |k| 4+6k 10 = .由 = ,解得 k=±1. 2 2 1+2k 1+2k 3
2 2

|k|

1 , 所以△AMN 的面积为 S= MN· d 2 1+k
2

【示例】 (本题模拟高考评分标准,满分 16 分) 2 2 x y 已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点到渐近线的距离等于 3,过右焦点 F2 的直线 a b l 交双曲线于 A、B 两点,F1 为左焦点. (1) 求双曲线的方程; (2) 若△F1AB 的面积等于 6 2,求直线 l 的方程. 学生错解:解:(2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),F(2,0),直线 l:y=k(x-2), y=k(x-2), ? 2 2 ? 4k 4k +3 2 2 2 2 由? 2 y2 消元得(k -3)x -4k x+4k +3=0,x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k -3 k -3 x - =1, ? 3 ? y1-y2=k(x1-x2), 2 2 2 2 (4k ) -4(k -3)(4k +3) △F1AB 的面积 S=c|y1-y2|=2|k|·|x1-x2|=2|k| 2 |k -3| 6 k +1 4 2 2 =2|k|· 2 =6 3? k +8k -9=0 ? k =1 ? k=±1,所以直线 l 的方程为 y=±(x |k -3| -2). 审题引导: (1) 直线与双曲线相交问题时的处理方法; (2) △F1AB 面积的表示. c 规范解答: 解:(1) 依题意,b= 3, =2 ? a=1,c=2,(4 分) a 2 y 2 ∴ 双曲线的方程为 x - =1.(6 分) 3 (2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),F2(2,0),直线 l:y=k(x-2), ?y=k(x-2), 由?
2

?

y 2 x - =1, ? 3 ?

2

消元得(k -3)x -4k x+4k +3=0,(8 分)

2

2

2

2

4k 4k +3 k≠± 3时,x1+x2= 2 ,x1x2= 2 ,y1-y2=k(x1-x2),(10 分) k -3 k -3 △ F1AB 的 面 积 S = c|y1 - y2| = 2|k|·|x1 - x2| = 2 2 2 2 2 (4k ) -4(k -3)(4k +3) k +1 4 2 2 2|k|· =2|k|· 2 =6 3? k +8k -9=0 ? k =1 2 |k -3| |k -3| ? k=±1,(14 分) 所以直线 l 的方程为 y=±(x-2).(16 分) 错因分析: 解本题时容易忽略二次项系数不为零,即 k≠± 3这一条件.

2

2

1. 设抛物线 y =8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则 直线 l 的斜率的取值范围是________. 答案:[-1,1] 2 解析:易知抛物线 y =8x 的准线 x=-2 与 x 轴的交点为 Q(-2,0),于是,可设过点 2 ?y =8x, ? 2 2 Q(-2,0)的直线 l 的方程为 y=k(x+2)(由题可知 k 是存在的), 联立? ?kx ?y=k(x+2) ? 2 2 2 2 4 2 +(4k -8)x+4k =0.其判别式为Δ =(4k -8) -16k =-64k +64≥0,可解得-1≤k≤1.

2

2. 如图,过抛物线 C:y =4x 上一点 P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物 线交于点 A(x,y1),B(x2,y2). (1) 求 y1+y2 的值; (2) 若 y1≥0,y2≥0,求△PAB 面积的最大值. 2 2 y1 y2 ? ? ? ? 2 解:(1) 因为 A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 C:y =4x 上,所以 A? ,y1?,B? ,y2?, ?4 ? ?4 ? y1+2 4(y1+2) 4 4 4 4 kPA= 2 = = , 同理 kPB= , 依题意有 kPA=-kPB, 因为 =- , 2 y1 y1-4 y1-2 y2-2 y1-2 y2-2 -1 4 所以 y1+y2=4. 2 2 y2-y1 y1 y1 (2) 由(1)知 kAB= 2 2=1,设 AB 的方程为 y-y1=x- ,即 x-y+y1- =0,P 到 y2 y1 4 4 - 4 4 2 ?3+y1-y1? ? 2 2 4? 1 ? ? ?y1 y2? AB 的距离为 d= ,AB= 2·? - ?= 2|y1-y2|=2 2|2-y1|,所以 S△PAB= 2 ?4 4? 2 ×

2

?3+y1-y1? ? 4? ? ?
2

2

1 2 1 2 ×2 2|2-y1|= |y1-4y1-12||y1-2|= |(y1-2) -16|·|y1-2|, 令 y1-2 4 4

1 3 1 3 =t, 由 y1+y2=4, y1≥0, y2≥0, 可知-2≤t≤2.S△PAB= |t -16t|, 因为 S△PAB= |t -16t| 4 4 3 3 2 为偶函数,只考虑 0≤t≤2 的情况,记 f(t)=|t -16t|=16t-t ,f′(t)=16-3t >0,故 f(t)在[0,2]是单调增函数,故 f(t)的最大值为 f(2)=24,故 S△PAB 的最大值为 6.

3. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C:(x+1) +y =16,点 F(1,0),E 是圆 C 上 的一个动点,EF 的垂直平分线 PQ 与 CE 交于点 B,与 EF 交于点 D. (1) 求点 B 的轨迹方程; (2) 当点 D 位于 y 轴的正半轴上时,求直线 PQ 的方程; (3) 若 G 是圆 C 上的另一个动点,且满足 FG⊥FE,记线段 EG 的中点为 M,试判断线段 OM 的长度是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 解:(1) 连结 BF,由已知 BF=BE,所以 BC+BF=BC+BE=CE=4, 2 2 x y 所以点 B 的轨迹是以 C、F 为焦点,长轴为 4 的椭圆,所以 B 点的轨迹方程为 + =1. 4 3 (2) 当点 D 位于 y 轴的正半轴上时,因为 D 是线段 EF 的中点,O 为线段 CF 的中点,所 以 CE∥OD,且 CE=2OD,所以 E、D 的坐标分别为(-1,4)和(0,2). 1 因为 PQ 是线段 EF 的垂直平分线,所以直线 PQ 的方程为 y= x+2,即直线 PQ 的方程 2 为 x-2y+4=0. ?x1+x2,y1+y2?,因 (3) 设点 E、G 的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则点 M 的坐标为? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 为点 E、G 均在圆 C 上,且 FG⊥FE,所以(x1+1) +y1=16,① (x2+1) +y2=16,② (x1-1)(x2-1)+y1y2=0,③ 1 2 2 2 2 2 2 所以 x1+y1=15-2x1,x2+y2=15-2x2,x1x2+y1y2=x1+x2-1.所以 MO = [(x1+x2) 4 1 1 2 2 2 2 2 +(y1+y2) ]= · [(x1+y1)+(x2+y2)+2(x1x2+y1y2)]= [15-2x1+15-2x2+2(x1+x2-1)] 4 4 =7,即 M 点到坐标原点 O 的距离为定值,且定值为 7. 2 2 x y 2 2 4. 给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0), 称圆心在原点 O、 半径是 a +b 的圆为椭圆 C 的“准 a b 圆”.已知椭圆 C 的一个焦点为 F( 2,0),其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3. (1) 求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2) 若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点,B、D 是椭圆 C 上的两相异点, → → 且 BD⊥x 轴,求AB·AD的取值范围; (3) 在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P,过点 P 作直线 l1,l2,使得 l1,l2 与椭圆 C 都 只有一个交点,试判断 l1,l2 是否垂直?并说明理由. 2 x 2 2 2 解:(1) 由题意知 c= 2,且 a= b +c = 3,可得 b=1,故椭圆 C 的方程为 +y 3 2 2 =1,其“准圆”方程为 x +y =4. 2 m 2 (2) 由题意,可设 B(m,n),D(m,-n)(- 3<m< 3),则有 +n =1,又 A 点坐标为 3 2 m? → → → → ? 2 2 2 (2,0),故AB=(m-2,n),AD=(m-2,-n),故AB·AD=(m-2) -n =m -4m+4-?1- ? ? 3? 4 2 4? 3?2 4? 3?2 → → = m -4m+3= ?m- ? ,又- 3<m< 3,故 ?m- ? ∈[0,7+4 3],所以AB·AD的取值 2? 3 3? 3? 2? 范围是[0,7+4 3). 2 2 (3) 设 P(s,t),则 s +t =4.当 s=± 3时,t=±1,则 l1,l2 其中之一斜率不存在,

2

2

另一斜率为 0,显然有 l1⊥l2.当 s≠± 3时,设过 P(s,t)且与椭圆有一个公共点的直线 l 2 2 的斜率为 k,则 l 的方程为 y-t=k(x-s),代入椭圆 C 方程可得 x +3[kx+(t-ks)] =3, 2 2 2 2 2 2 2 即(3k +1)x +6k(t-ks)x+3(t-ks) -3=0,由Δ =36k (t-ks) -4(3k +1)[3(t-ks) 2 2 2 2 -3]=0,可得(3-s )k +2stk+1-t =0,其中 3-s =0,设 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2, 2 2 1-t 1-(4-s ) 则 k1,k2 是上述方程的两个根,故 k1k2= =-1,即 l1⊥l2.综上可知, 2= 2 3-s 3-s 对于椭圆 C 上的任意点 P,都有 l1⊥l2. 2 x 2 5. 如图,已知椭圆 C 的方程为 +y =1,A、B 是四条直线 x=±2,y=±1 所围成的 4 矩形的两个顶点. → → → (1) 设 P 是椭圆 C 上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点 Q(m,n)在定圆上运动, 并求出定圆的方程; (2) 若 M、N 是椭圆 C 上两个动点,且直线 OM、ON 的斜率之积等于直线 OA、OB 的斜率 之积,试探求△OMN 的面积是否为定值,并说明理由.

x0 2 → → → (1) 证明:易知 A(2,1),B(-2,1).设 P(x0,y0),则 +y0=1.由OP=mOA+nOB,得 4 2 ?x0=2(m-n), ? 4(m-n) 1 2 2 2 2 2 ? 所以 +(m+n) =1,即 m +n = ,故点 Q(m,n)在定圆 x +y 4 2 ?y0=m+n, ? 1 = 上. 2 y1y2 1 2 2 2 2 2 (2) 解:(解法 1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 =- ,平方得 x1x2=16y1y2=(4-x1)(4 x1x2 4 2 2 2 -x2),即 x1+x2=4.因为直线 MN 的方程为(y1-y2)x-(x1-x2)y+x1y2-x2y1=0,所以 O 到 |x1y2-x2y1| 1 1 直线 MN 的距离为 d= , 所以△OMN 的面积 S= MN· d= |x1y2-x2y1| 2 2 2 2 (x2-x1) +(y2-y1) 1 2 2 2 2 = x1y2+x2y1-2x1x2y1y2 2 x2? 2? x1? 1 2 2 1 2? x1?1- ?+x2?1- ?+ x1x2 2 ? 4? ? 4? 2 1 2 2 = x1+x2=1,故△OMN 的面积为定值 1. 2 = 1 (解法 2)设 OM 的方程为 y=kx(k>0),则 ON 的方程为 y=- x(k>0).联立方程组 4k ? y = kx , ? ? 2 解得 2 ?x +4y =4, ? ? 2 , 2k ? ? 4k , -1 ? M? 2 2?.同理可得 N? 2 2?. 1+4k ? 1+4k ? ? 1+4k ? 1+4k 因为点 N 到直线 OM 的距离为 d =
2 2 2

2

1+4k 1+k

2

2

, OM =
2

? 2 ?2 ? 2k ?2 ? 2? +? 2? = ? 1+4k ? ? 1+4k ?
1+k 2=1,故△OMN 的面积 1+4k
2

1+k 1 1 1+4k ·2 2,所以△OMN 的面积 S= d·OM= · 2 1+4k 2 2 1+k 为定值. 2

x y 2 1. 若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y a b =2bx 的焦点分成 7∶3 的两段,则此双曲线的离心率为________. 5 答案: 3 b 7 4 2 2 解析:依题意得,c+ = ×2c,即 b= c(其中 c 是双曲线的半焦距),a= c -b 2 7+3 5 3 c 5 5 = c,则 = ,因此该双曲线的离心率等于 . 5 a 3 3

2

2

x y 2. 如图,设 E: 2+ 2=1(a>b>0)的焦点为 F1 与 F2,且 P∈E,∠F1PF2=2θ .求证: a b 2 △PF1F2 的面积 S=b tanθ . 1 证明:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 S= r1r2sin2θ . 2 又|F1F2|=2c, 2 2 2 2 2 由余弦定理有 (2c) = r 1 + r 2 - 2r1r2cos2 θ = (r1 + r2) - 2r1r2 - 2r1r2cos2 θ = (2a) - 2r1r2(1+cos2θ ), 2 2 2 于是 2r1r2(1+cos2θ )=4a -4c =4b . 2 2b 所以 r1r2= . 1+cos2θ 2 1 2b 22sinθ cosθ 2 这样即有 S= · sin2θ =b =b tanθ . 2 2 1+cos2θ 2cos θ x y 2 3. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,短轴的一个端点为 M(0,1),直线 l: a b 2 1 y=kx- 与椭圆相交于不同的两点 A、B. 3 4 26 (1) 若 AB= ,求 k 的值; 9 (2) 求证:不论 k 取何值,以 AB 为直径的圆恒过点 M. c 2 (1) 解:由题意知 = ,b=1. a 2 由 a =b +c 可得 c=b=1,a= 2, 2 x 2 ∴ 椭圆的方程为 +y =1. 2 1 y=kx- , 3 4 16 2 2 由 2 得(2k +1)x - kx- =0. 3 9 x 2 +y =1 2 16 2 64 ? 16? 2 2 Δ = k -4(2k +1)×?- ?=16k + >0 恒成立, 9 9 9 ? ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 2 2 2

2

2

? ? ? ? ?

则 x1+x2=

4k 16 ,x1x2=- . 2 2 3(2k +1) 9(2k +1)
2 2 2 2 2

4 (1+k )(9k +4) ∴ AB= 1+k · |x1- x2|= 1+k · (x1+x2) -4x1x2= = 2 3(2k +1) 4 26 4 2 2 2 ,化简得 23k -13k -10=0,即(k -1)(23k +10)=0,解得 k=±1. 9 → → (2) 证明:∵ MA=(x1,y1-1),MB=(x2,y2-1), 2 4 16 16(1+k ) → → 2 ∴ MA·MB=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k )x1x2- ·k(x1+x2)+ =- - 2 3 9 9(2k +1) 2 16k 16 + =0. 2 9(2k +1) 9 ∴ 不论 k 取何值,以 AB 为直径的圆恒过点 M. 2 2 x y 3 ? 12? 4. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 P?4, ?,A 为上顶点,F 为右焦 5? a b 5 ? 点.点 Q(0,t)是线段 OA(除端点外)上的一个动点,

? ? ?5? 2 2 2 12? 4 x y ? ? ? =1(a>b>0), ∵ P?4, ?在椭圆上, ∴ ∴ 椭圆方程为 + = 2+ 2 =1 解得 k=1, 5? 25k 16k 25 16 ?
1.

过 Q 作平行于 x 轴的直线交直线 AP 于点 M,以 QM 为直径的圆的圆心为 N. (1) 求椭圆方程; (2) 若圆 N 与 x 轴相切,求圆 N 的方程; (3) 设点 R 为圆 N 上的动点,点 R 到直线 PF 的最大距离为 d,求 d 的取值范围. 2 2 3 x y 解:(1) ∵ e= 不妨设 c=3k,a=5k,则 b=4k,其中 k>0,故椭圆方程为 2+ 2 5 25k 16k 2 12

12 -4 5 2 2 (2) kAP= =- , 则直线 AP 的方程为 y=- x+4, 4 5 5 5(4-t) ?5(4-t),t? . ∵ Q(0 , t)∴ 令 y = t (0<t<4) , 则 x = ∴ M? ? 2 2 ? ? 5 ( 4 - t ) ? ,t? N? ?, 4 ? ? 5(4-t) 5(4-t) ∵ 圆 N 与 x 轴相切,∴ =t ,由题意 M 为第一象限的点,则 =t, 4 4 2 2 20 ?20 20? ? 20? ? 20? 400 解得 t= .∴ N? , ?,圆 N 的方程为?x- ? +?y- ? = . 9? 9? 9 81 ?9 9? ? ? 12 12 (3) F(3,0),kPF= ,∴ 直线 PF 的方程为 y= (x-3)即 12x-5y-36=0, 5 5 ?15(4-t)-5t-36?=?24-20t?= 4 |6-5t|, ∴ 点 N 到直线 PF 的距离为? ? ? 13 ? 13 13 ? ? ? ? 4 5 ∴ d= |6-5t|+ (4-t),∵ 0<t<4, 13 4

6 4 5 356-145t ∴ 当 0<t≤ 时,d= (6-5t)+ (4-t)= , 5 13 4 52 7 89 此时 ≤d< , 2 13 6 4 5 164+15t 7 56 当 <t<4 时,d= (5t-6)+ (4-t)= ,此时 <d< , 5 13 4 52 2 13 7 89 ? ? ∴ 综上, d 的取值范围为? , ?. ?2 13? 1. 直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求 曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用. 2. 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算 弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的 斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与 量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点, 韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”. 请使用课时训练(A)第 10 课时(见活页). [备课札记]


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