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高一年级第一次月考数学试题(有答案)


高一年级第一次月考数学试题
考试时间:120 分钟(另有附加题) 命题人: 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={1,2},B={1, m ,3},如果A∩B=A,那么实数 m 等于( )
A.﹣1 B.0 2.下列关系正确的是( A. 1??0,1? C.2

) D.4 C. 1 ? ?0,1?
2

B. 1??0,1?

D. ?1? ??0,1? ) D. M ? N ? N )

3.已知集合M={ x |﹣1< x <1},N={ x | x <2},则( A. M ? N ? N B. N ? M

C. M ? N ? ?0?
2

4. 已知全集 U=R, 则正确表示集合 M={﹣1, 0, 1}和 N={x|x +x=0}关系的韦恩 (Venn) 图是 ( A. B. C. D.

5.已知函数 f ( x) ? ? A.

?3x ? 2, x ? 1

1 2

2 ? x ? ax, x ? 1 4 B. C.2 5

若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a 等于( D.9



6.设集合 M 满足 ?1, 2? ? M ? ?1,2,3,4? ,则满足条件的集合 M 的个数为( A.1 B.2 C.3. D.4 )



2 7.已知集合M={﹣1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系:① y ? x ,② y ? x ? 1 ,

③ y ? x ? 1 ,④ y ? x ,其中能构成从M到N的函数是( A.① B.②
2

C.③

D.④ )

8.函数 f ( x) ? x ? 4x ? 5 在区间[0, m]上的最大值为 5, 最小值为 1, 则m的取值范围是 ( A.[2,4] B.[2,+∞) C. (﹣∞,2] D.[0,2] 9.如果 f ( x ) 是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( ) A. y ? x ? f ( x ) B. y ? xf ( x) C. y ? x ? f ( x )
2

D.y ? x f ( x)
2

2 2 ) , B( , 0) ,顶点C,D位于第一象限, 2 2 直线 t : x ? t (0 ? t ? 2) 将正方形ABCD分成两部分,记位于直线 t 左侧阴影部 分的面积为 f (t ) ,则函数 s ? f (t ) 的图象大致是( )
10.如图,正方形ABCD的顶点 A(0,

A.

B.

C.
1

D.

11.已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? A. ?

3 4

B.

3 4

?2 x ? a, x ? 1 ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值为( ?? x ? 2a, x ? 1 3 3 C. ? D. 5 5



12.如果奇函数 f ( x ) 在区间 ?3,7? 上是增函数且最小值为 5,那么 f ( x ) 在区间 ? ?7, ?3? 上是 ( ) A.增函数且最小值为﹣5 C.减函数且最小值为﹣5 B.增函数且最大值为﹣5 D.减函数且最大值为﹣5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填写在答题纸相应 的位置上。 B ? ? x x ? a ? 0, x ? R? , A? B, 13. 集合 A ? ?2,0,1,6? , 则实数 a 的取值范围是__________.
14. 函数 y ?

x ? 2x ( x ? 0 )的最大值为________. (2a ? 1) x ? 1 ? 1 为奇函数,则 a =________. 15.若函数 f ( x) ? x ? x x ?b 16.若函数 f ( x) ? 在 (a, a ? 6) (b ? ?2) 上的值域为(2,+∞) ,则a+b=________. x?2 三、解答题:本大题共 5 小题,共 56 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤。 1 0 17.(10 分) (Ⅰ)求函数 f ( x) ? 4 ? 2 x ? ( x ? 1) ? 的定义域; (要求用区间表示) x ?1
2 (Ⅱ)若函数 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) 的解析式及 f (3) 的值.

18. (10 分)已知集合 A ? x x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x x ? (a ? 1) x ? a ? 0, a ? 1 .
2 2

?

?

?

?

(Ⅰ)求集合A,B; (Ⅱ)若 (CR A) ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

2

1 ? 2 , x ??1, ??? . 2x (Ⅰ)判断函数 f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上的单调性;
19.(12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? (Ⅱ)解不等式: f (2 x ? ) ? f ( x ? 1007) .

1 2

20.(12 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ?1 (Ⅰ)若 f (1) ? 2 ,求实数 a 的值,并求此时函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若 f ( x ) 为偶函数,求实数 a 的值; (Ⅲ)若 f ( x ) 在 ? ??, 4? 上是减函数,那么实数 a 的取值范围.

3

21.(12 分)已知不等式 (2 ? x)(3 ? x) ? 0 的解集为A,函数 f ( x) ? 的定义域为B. (Ⅰ)求集合 A; (Ⅱ)若集合 B 中仅有一个元素,试求实数 k 的值; (Ⅲ)若 B ? A ,试求实数 k 的取值范围.

kx2 ? 4 x ? k ? 3 ( k <0)

附加题(10 分) 设 f ( x ) 的定义域为D, f ( x ) 满足下面两个条件,则称 f ( x ) 为闭函数.
如果 f ( x) ? 2x ? 1 ? k 为闭函数,求 k 的取值范围.

① f ( x ) 在D内是单调函数;②存在 ? a, b? ? D , f ( x ) 在[a,b]上的值域为[a,b].

4

高一月考数学答案
一、选择题 1—12 CBDBC DDABC AB 二、填空题 13. (0, ??) 三、解答题 14.

1 8

15. ﹣1

16. ﹣10

?4 ? 2 x ? 0 ? 17. (1)要使函数 f ( x ) 有意义需满足 ? x ? 1 ? 0 ,解得 x ≤2 且 x ≠1 且 x ≠﹣1. ?x ?1 ? 0 ?
所以函数的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1)∪(1,2].…………5 分 (2)∵ f ( x ? 1) ? x2 ? 2 x ? ( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 3 ,故 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 , (x? R) . ∴ f (3) ? 0 …………10 分 18. (1)A=(﹣∞,1)∪(2,+∞) , x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 , ( x ? 1)( x ? a) ? 0

Q a ? 1 ∴1 ? x ? a
(2) CR A ? ?1,2?

? B ? ?1, a? …………5 分

Q (CR A) ? B ? B

? CR A ? B ,即 ?1, 2? ? ?1, a?

? a ? 2 ,即所求实数 a 的取值范围为 ?2, ??? .…………10 分
19. (Ⅰ)设 x2 ? x1 ? 1 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

x ?x 1 1 1 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 ) ? 2 1 ? ( x1 ? x2 )(1 ? ). 2 x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 ? 0 ,∴ ( x1 ? x2 )(1 ? )?0, 2 x1 x2 2 x1 x2

由题设可得 x1 ? x2 ? 0 , 1 ?

故有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故函数 f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数.…………6 分 (Ⅱ)∵函数 f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上为增函数,

5

1 ? 2x ? ? 1 ? 1 ? 2 ∴ f (2 x ? ) < f ( x ? 1007) ,等价于 ? . 2 ?2 x ? 1 ? x ? 1007 ? ? 2
解得

3 2015 ? 3 2015 ? ?x? ,故原不等式解集为 ? , ? .…………12 分 4 2 ?4 2 ?
( 1 ) 由 题 可 知 ,

20.

f (1) ? 1 ? 2a ? 1 ? 2 , 即 a ? 1 , 此 时 函 数

f ( x) ? x2 ? 2x ?1 ? ( x ? 1)2 ? 2 ? ?2 ,故当 x ? ?1 时,函数 f ( x)min ? ?2 .…………4 分
(2)若 f ( x ) 为偶函数,则有对任意 x ? R ,都有 f (? x) ? f ( x) , ∴ (? x)2 ? 2a(? x) ?1 ? x2 ? 2ax ?1恒成立,即 4ax ? 0 恒成立,故 a ? 0 .…………8 分 (3)函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ?1 的单调减区间是 ? ??, ?a? ,而 f ( x ) 在 ? ??,4? 上是减函数, ∴ 4 ? ? a ,即 a ? ?4 ,故实数 a 的取值范围为 ? ??, ?4? .…………12 分 21. (1)解不等式 (2 ? x)(3 ? x) ? 0 得, ?2 ? x ? 3 ,故 A= ? ?2,3? ;…………3 分 (2)∵集合 B 中仅有一个元素,∴△= 16 ? 4k (k ? 3) ? 0 ,解得, k =﹣4 或 k =1(舍去) ; 故 k =﹣4.…………7 分

?? =16 ? 4k (k ? 3) ? 0 ? ??2 ? ? 4 ? 3 3 ? (3)由题意得, ? ,解得, ?4 ? k ? ? .…………12 分 2k 2 ? 4k ? 8 ? k ? 3 ? 0 ? ? ?9k ? 12 ? k ? 3 ? 0
附加题 解:∵ k 是常数,函数 y ? 2x ? 1 是定义在 ? ?

? 1 ? , ?? ? 上的增函数, ? 2 ?

∴函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? k 是 ? ?

? 1 ? , ?? ? 上的增函数,…………2 分 ? 2 ?

因此,若函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? k 为闭函数,则存在区间 ? a, b? ? D ,
6

使 f ( x ) 在 ? a, b? 上的值域为 ? a, b? . 可得函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? x 相交于点 ( a, a ) 和 (b, b) (如图所示) ∴?

? ? 2a ? 1 ? k ? a ? ? 2b ? 1 ? k ? b

,可得方程 k ? x ? 2x ? 1 在 ? ?

? 1 ? , ?? ? 上 ? 2 ?

有两个不相等的实数根 a 、 b …………5 分 令t ?

2 x ? 1 ,得 x ?

t 2 ?1 ,设函数 F ( x) ? x ? 2x ? 1 ? g (t ) , (t ? 0 ) 2

1 2 1 1 t ? t ? , 在 t ??0,1? 时,g (t ) 为减函数 ?1 ? g (t ) ? ? ;在 t ??1, ??? 时,g (t ) 2 2 2 1 为增函数∴ g (t ) ? ?1 ;∴当 ?1 ? k ? ? 时,有两个不相等的 t 值使 g (t ) ? k 成立,相应地有 2
即 g (t ) ? 两个不相等的实数根 a 、 b 满足方程 k ? x ? 2x ? 1 ,当 f ( x) ? 2x ? 1 ? k 为闭函数时,实 数 k 的取值范围是: ?1 p k ? ?

1 .…………10 分 2

7


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