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人教版高二圆锥曲线基础知识点


第八章
第一讲
知识点

圆锥曲线方程
椭圆

1.椭圆的定义 第一定义: 第二定义: 2.椭圆的标准方程和几何性质(如下图所示) 标准方程

叫做椭圆。 叫做椭圆。

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
y
B2 b A1 F1 c a F2 A2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) b2 a 2
y
A2 F2 c

图形

x

B1

b

O

B2

X

B1

F1 A1

焦点 焦距 性 范围 对 称 性 顶点 轴 质 离 心 率 准 线 方程 焦 半 径

x2 y 2 .椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 a b
另外还应熟记以下结论: 1.椭圆的焦点弦 过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦。设过椭圆



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F1(-c,0)的弦 a 2 b2

为 AB,其中 A(x1,y1),B(x2,y2), AB ? 2a ? e( x1 ? x2 ) 。

2.通径 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,其长为

H1 H 2 ?

2b 2 。 a

3.焦准距 椭圆的焦点到相应准线的距离叫做焦准距。 P= F1 K ?

a2 b2 ?c ? c c

易错点
一、忽视参数的几何意义产生的混淆 1.已知 ? ? (0,

?

则 a 与 ? 的大小关系为 二、忽视焦点的位置产生的混淆

? ) ,P 为曲线 {x?a cos? (?为参数,a ? b ? 0) 上一点, 若∠ xop ? a, a ? (0, ) , y ?b sin 2 2

?



2.中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率为

1 ,长轴为 8 的椭圆方程为 2

第二讲
知识点

双曲线

1.双曲线的定义 第一定义: 第二定义: 2. 双曲线的标准方程和几何性质(如下图所示) 标准方程

叫做双曲线。 叫做双曲线。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
y B2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
y F2 A2


F1 A1

O B1

A2 F2 x

B1 O A1 F1

B2

x

形 焦点 焦距 性 范围 对称性 顶点 轴 离心率 质 准线方程 渐近线 焦半径

3.焦参数:双曲线的焦点到相应准线的距离称为焦参数,通常用 P 表示,P=

b2 。 c

4.等轴双曲线 实轴,虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,焦点在 x 轴上,标准方程为

x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) ;焦点在 y 轴上,标准方程为: y 2 ? x2 ? a2 (a ? 0) 。其渐近线方程为
。 以坐标轴为渐近线的双曲线方程为 xy ? m(m ? 0) ,等轴双曲线的离心率为 5.共轭双曲线 双曲线 。

x2 y 2 ? ? 1 的共轭双曲线是 a 2 b2

(或写成

)双曲线与

共 轭 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 为 e1 , e2 , 则 有

1 1 ? 2 ? 2 e1 e2

,和

e1 ? e2 ?



其性质如下: (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线。 (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距(焦点不同) 6.基础三角形,如下图所示, ?AOB中, ? a, AB ? b, OB ? c, tan ∠ AOB ? OA

b , F2 D ? b . a

y B b F1 o c D F2 a A x

7.渐近线对中心,对称轴,顶点,焦点的影响: 双曲线的渐近线确定以后, 两条渐近线的交点就是双曲线的中心; 两条渐近线交成的两对对 顶角的平分线就是双曲线的对称轴;双曲线的顶点,焦点一定在其中的一条对称轴上。 8.共渐近线的双曲线系方程: 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有相同渐近线的双曲线系可设为 a 2 b2

(? ? 0) ,若 ?

0,

则双曲线的焦点在 x 轴上;若若 ? 易错点 一、忽视焦点的位置产生的混淆 1.若双曲线的渐近线方程是 y ? ? 二、忽视判别式产生混淆

0,则双曲线的焦点在 y 轴上.

1 x ,焦距为 10,则双曲线方程为 2


2.已知双曲线 C: 2 x 2 ? y 2 ? 2 与点 P(1,1) ,则以 P 为中点的弦是否存在 第三讲 抛物线 知识点 1.抛物线的定义 叫做抛物线。 2.抛物线的标准方程和几何性质(如下图所示) 标准方程

y 2 ? 2 px( p ? 0)
y M(x0,y0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
M(x0,y0)


O F

x F O

形 范围 准线方程 性 焦点 对称轴 顶点 质 离心率 焦半径 关于

F (?
对称

p , 0) 2

MF ?

p ? x0 2

标准方程

x2 ? 2 py( p ? 0)
y

x2 ? ?2 py( p ? 0)
y

图 形 范围 准线方程 性 焦点 对称轴 质 顶点 离心率

F O

M(x0,y0) x O F x M(x0,y0)

关于

对称

焦半径 3,抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦(过焦点的弦)为 AB,A(x1,y1) ,B(x2,y2),则有如 下结论: ① AB ? x1 ? x2 ? p; ② y1 y2 ? ? p2 . 易错点 概念不清产生的混淆 1.平面上一动点到定点 (1, 与定直线 x=1 的距离相等的轨迹方程 0)



第四讲
知识点 1.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系

设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆锥曲线 C 的方程为 f(x,y)=0,则由 { f ( x, y )?0 可得(消 y)

Ax ? By ?C ?0

ax2 +bx+c=0.
位置关系 相交 相切 相离 交点个数 2 1 0 方程

??0 ??0 ??0

说明: (1)上表中只对 a ? 0 时成立;当 a ? 0 时,则直线平行于双曲线的渐近线,或平行 于抛物线的对称轴,直线与曲线的位置关系仍是相交,但只有一个交点。 (2)直线与圆锥曲线的位置关系经常利用数形结合,以形助数的方法解决。 2.直线与圆锥曲线相交形成的弦长问题 ( 1 ) 斜 率 为 k 的 直 线 与 圆 锥 曲 线 交 于 两 点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则 所 得 弦 长

PP2 ? 1 ? k 2 x2 ? x1 或 PP2 ? 1 ? 1 1

1 y2 ? y1 ,其中求 x2 ? x1 与 y2 ? y1 时通常使用 k2

韦达定理,即作如下变形 x2 ? x1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , y2 ? y1 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 (2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用数轴上两点距离公式) 。 (3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称焦点弦)的长度。应用圆锥曲线的定义,转化为两个 焦半径之和,往往比用弦长公式简捷。

易错点
x2 y 2 ? ? 1 交于 A、B 两点,O 是原点,当 ? OAB 面积最大时,直 1.斜率为 1 的直线与椭圆 4 2
线的方程是 误用判别式产生的混淆
2



2.过(1,2)的直线与双曲线 x ? y ? 1只有一个公共点,这样的直线有
2

条。

第五讲

轨迹问题

知识点
1.求曲线轨迹方程的基本步骤: (1)建立适当的平面直角坐标系,设轨迹上任一点的坐标为 M(x,y) ; (2)寻找动点与已知点满足的关系式; (3)将动点与已知点满足的关系式; (4)化简整理方程; (5)证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。 通常求轨迹方程时,可以将步骤(2)和(5)省略。 2.常见的轨迹 (1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是 。 (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是 。 (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是 。 (4)平面内到定点的距离与到定直线距离之比等于常数(定点不在定直线上)的点的轨迹 是 。当常数大于 1 时,表示 ;当常数等于 1 时,表示 ;当常数大于 0 而小于 1 时,表示 。定点和定直线分别是圆锥曲线的 和 。 (5)平面内到定直线的距离等于某一定直的点的轨迹是 。 3.求轨迹的常用方法 (1)直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于 表达成含 x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方 程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五步骤,但最后的证明可以省略。 (2)定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义) ,可从曲线定义出发直 接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。 (3)代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点 P(x,y)却岁另一动点 Q (x’,y’) 的运动而有规律的运动, 且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得, 则可先将 x’,y’ 表示为 x,y 的式子, 再代入 Q 的轨迹方程, 然后整理得 P 的轨迹方程, 代入法也称相关点法。 (4)差数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助 中间变量(参数) ,使 x,y 之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨 迹方程。 (5)几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满 足的条件,然后得出动点的轨迹方程。 (6)交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时 常用此法,也可以引入参数建立这些动曲线的联系,然后消去参数得到轨迹方程。 易错点 一、概念不清产生的混淆 1.方程 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 x ? y 表示的轨迹为
2 2

二、思维定势产生的混淆 2.平面上一动点(1,0)与定直线 x=2 的距离比一常数 2 的轨迹方程为 。 三、轨迹问题还应区别是“求轨迹” ,还是“求轨迹方程” 一般说来,若是“求轨迹方程” ,求到方程就可以了;若是“求轨迹” ,求到方程还不够,还 应指出方程所表示的曲线的类型。


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