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高中数学必修5自主学习导学案:1.1.1 正弦定理


§ 1.1.1 正弦定理(教师版)
1.新课引入 我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系,我们是否能得到这个边.角关系准 确量化的表示呢? 思考:在直角三角形中,“边”与“角”的关系如何? 在 RT ?ABC 中, a ? c sin A, b ? c sin B ,

a b a b c ?c? ? ? ,? sin C ? 1

,? sin A sin B sin A sin B sin C

思考:对于一般三角形,上述结论是否成立?

(1)若三角形是锐角三角形

CD CD , sin B ? ,所以 CD=asinB=bsinA, b a a b b c a b c ? ? ? ? 即 ,同理可得 ,? sin A sin B sin B sin C sin A sin B sin C
分析:过点 C 作 CD⊥AB 于 D, 此时有 sin A ? (2)若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗? 2.正弦定理 正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.

a b c ? ? . sin A sin B sin C ? 证明:(外接圆法)作外接圆 O, 过 B 作直径 BC/,连 AC/, ? ?BAC? ? 90 , ?C ? ?C ? , c c a b a b c ? sin C ? sin C ? ? ? 2 R ,同理 ? 2R , ? 2 R ,? ? ? ? 2R , 2 R sin C sin A sin B sin A sin B sin C
即 3.对正弦定理的理解 (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,该正数为 2 R , (2)正弦定理的基本作用为: ①已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角. ②已知两角和一边,求其他角和边. (3)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形. 4.正弦定理的常见公式变形 a sinA a sinA b sinB (1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC; (2) = , = , = ; b sinB c sinC c sinC a+b+c a b c (3) = = = ; (4)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; sinA sinB sinC sinA+sinB+sinC a b c (5)sinA= ,sinB= ,sinC= ; (6)A<B?a<b?2RsinA<2RsinB?sinA<sinB. 2R 2R 2R

1 1 1 1 ah ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2 2 1 1 证明:过点 C 作 CD⊥AB 于 D,此时有 CD ? b sin A , S ?ABC ? c ? CD ? bc sin A , 2 2 1 1 1 同理可得 S ?ABC ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2
5.三角形的面积公式: S ?ABC ?

※ 典型例题 考点 1:已知两角和任意边,求其他两边和一角(唯一解) 【例 1】在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , B ? 60? , a ? 2 ,解三角形. 分析:可先由 A+B+C=180° 求出角 C,再用正弦定理求出 b 和 c. 解:由题意, C ? 180? ? A ? B ? 75? ,由正弦定理 得

a b c ? ? , sin A sin B sin C

2 b c ? ? ,解得: b ? 6 , c ? 1 ? 3 . ? ? sin 45 sin 60 sin 75?

变式 1.(1)在△ABC 中,已知 A=45° ,B=30° ,c=10,求 b. (2)在 ?ABC 中,已知 B ? 45? , C ? 60? , a ? 12 cm,解三角形. 解析:(1)∵A+B+C=180° ,∴C=180° -45° -30° =105° , ∴sinC=sin105° =sin75° =sin(45° +30° )=sin45° cos30° +cos45° sin30° = 1 10× 2 5×4 b c csinB 10sin30° ∵ = ,∴b= = = = =5( 6- 2). sinB sinC sinC sin105° sin75° 6+ 2 (2)由题意, A ? 180? ? B ? C ? 75? ,由正弦定理 得 6+ 2 . 4

a b c ? ? , sin A sin B sin C

12 b c ? ? ,解得: b ? 12 3 ? 12 , c ? 36 ?12 3 . ? ? sin 75 sin 45 sin 60?

考点 2:已知两边和其中一边的对角,求其他边和角(解的情况:无解、一解、两解) 【例 2】在△ABC 中, A ? 45? , c ? 6 , a ? 2 ,求 b , B 和 C . 解答:∵△ABC 中, A ? 45? , c ? 6 , a ? 2 , ∴利用正弦定理可得:
6 2 3 ? ,∴ sin C ? ? sin C sin 45 2

∵C∈(0,π),∴ C ? 120? 或 60? 当 C ? 120? 时, B ? 15? ,∵ 当 C ? 60? 时, B ? 75? ,∵

2 b , b ? 3 ? 1; ? sin 45? sin15?

2 b , b ? 3 ? 1. ? ? sin 45 sin 75?
90?

变式 2.(1)已知△ABC 中,a=4,b=8,∠A=30°,则∠B 等于 (2)在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60 , c ? 1, 求a和A, C .
?



解答:∵△ABC 中, B ? 60? , b ? 3 , c ? 1 ,∴利用正弦定理可得: ∵C∈(0,π), b ? c ,∴ C ? 30? , ∴ A ? 180? ? 30? ? 60? ? 90? , a ? 2 .

3 1 1 ? ,∴ sin C ? . sin 60? sin C 2

变式 3.在△ABC 中,已知 a= 2,b=2,A=30° ,解这个三角形. 分析:本题考查正弦定理,已知两边和其中一边的对角,求另外的边和角,可利用正弦定理结合三角形 内角和定理解决. a b bsinA 2sin30° 2 解析:由 = ,得 sinB= = = . sinA sinB a 2 2

∵a<b,∴B>A=30° ,∴B 为锐角或钝角,∴B=45° 或 B=135° . (1)当 B=45° 时,C=180° -(A+B)=180° -(30° +45° )=105° . 6+ 2 2× 4 c a asinC 2sin105° ∵ = ,∴c= = = = 3+1. sinC sinA sinA sin30° 1 2 (2)当 B=135° 时,C=180° -(A+B)=180° -(30° +135° )=15° . 6- 2 2× 4 asinC 2sin15° ∴c= = = = 3-1. sinA sin30° 1 2 综上可得 B=45° ,C=105° ,c= 3+1 或 B=135° ,C=15° ,c= 3-1. 考点 3.讨论三角形解的个数 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,要注意根据两边和其中一边的对角之间的关系对三角 形解的个数进行判断,可能有一解、两解或无解,否则可能导致错误. 在△ABC 中,已知 a,b,A,以点 C 为圆心,以边长 a 为半径画弧,与除去顶点 A 的射线 AB 交点的个 数即为三角形解的个数,其解的情况如下表: A 为锐角 A 为钝角或直角

图形

关系 解的个数

a<bsinA 0

a=bsinA 1

bsinA<a<b 2

a≥b 1

a≤b 0

a>b 1

【例 3】 在△ABC 中,分别根据下列条件指出解的个数. (1)a=4,b=5,A=30° ; (2)a=5,b=4,A=60° ; (3)a= 3,b= 2,B=120° ; (4)a= 3,b= 6,A=60° . 5 解析:(1)∵a<b,bsinA= <4=a,∴bsinA<a<b,∴有两解. 2 (2)∵a>b,A<90° ,∴B<A<90° ,∴有一解. (3)∵B>90° ,a>b,∴无解. 3 3 2 (4)a<b,bsinA= 6× = ,∵a<bsinA,∴无解. 2 2 变式 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=4,A=30° ,b=x(x>0),判断此三角形解的个 数. 解析:由于 b 是不确定的边长,无法知道 a 与 b 的大小关系,即无法判断 B 是锐角还是钝角,这就需要 对 x 的取值进行分类讨论. xsinA 1 解法一:当 0<x≤4 时,由大边对大角知 B 为锐角,sinB= ≤ ,此时三角形有唯一解. a 2 xsinA 1 当 4<x<8 时,sinB= ,∴ <sinB<1,B 不一定为锐角,∴B 有两种结果,此时△ABC 有两解. a 2 当 x=8 时,sinB=1,则 B=90° ,此时△ABC 有一解. xsinA 当 x>8 时,sinB= >1,B 无解,此时△ABC 无解. a 综上可知:当 0<x≤4 或 x=8 时,△ABC 有一解;当 4<x<8 时,△ABC 有两解;当 x>8 时,△ABC 无解. 解法二:A=30° ,是锐角,分三种情况: ①当 a=bsinA 或 a≥b,即 4=xsin30° 或 4≥x,即 x=8 或 0<x≤4 时,三角形有一解. ②当 xsin30° <4<x,即 4<x<8 时,三角形有两解.

③当 4<xsin30° ,即 x>8 时,三角形无解. 综上可知,当 0<x≤4 或 x=8 时,△ABC 有一解;当 4<x<8 时,△ABC 有两解;当 x>8 时,△ABC 无解. 考点 4.正弦定理性质的应用 例 4.在 ?ABC 中,已知 a ? 5, b ? 3 , sin A : sin B 的值是( A ) 3 3 5 5 A. B. C. D. 7 7 5 3 sin A a 5 a b ? ? ,选 A. 解析:由 = ,∴ sinA sinB sin B b 3 a b 例 5.在△ABC 中,若 = ,则△ABC 是( ) cosA cosB A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 a b sinA sinB 解析:由 = ,∴ = ,∴sinAcosB-cosAsinB=0,∴sin(A-B)=0, cosA cosB cosA cosB ∴A-B=0,∴A=B,即为等腰三角形.答案:A 变式 5.在△ABC 中,A∶B∶C=4∶1∶1,则 a∶b∶c=( ) A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C. 2∶1∶1 D. 3∶1∶1 解析:∵A+B+C=180° ,A∶B∶C=4∶1∶1,∴A=120° ,B=30° ,C=30° .由正弦定理的变形公式, 3 1 1 得 a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=sin120° ∶sin30° ∶sin30° = ∶ ∶ = 3∶1∶1.故选 D. 2 2 2 变式 6.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( D ) A. 30 或60
0 0 0 0 0 0 0 0

B. 45 或60

C. 120 或60

D. 30 或150

变式 7.在 ?ABC 中,一定成立的等式是( C ). A. a sin A ? b sin B B. a cos A ? b cos B C. a sin B ? b sin A 变式 8. 在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,试判断 ?ABC 的形状. 【解析】等腰三角形或直角三角形

D. a cos B ? b cos A

※ 当堂检测
1.已知 ? ABC 中, ? A ? 60? , a ? 3 ,则 2.在 ?ABC 中,若 a ?

a?b?c = sin A ? sin B ? sin C

2



5 5 _____ b, A ? 2 B , 则 cos B ? ____ 4 2

3.已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶1∶4,则 a∶b∶c 等于( C ). A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶ 3 D.2∶2∶ 3 4.在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为( A ). A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B D. A . B 的大小关系不能确定 cos A b 5.在 ?ABC 中,若 ? ,则 ?ABC 是( B ). cos B a A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6.在△ ABC 中,若

a b c ,则△ ABC 是 ? ? cos A cos B cos C

等边三角形

7. 已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 120? ,解此三角形. 解:∠C=180°-30°- 120? =30°,由正弦定理

BC AC AB ? ? ,解得 BC=6, AC ? 6 3 . sin A sin B sin C

考点 5.三角形面积公式的应用 【例 6】在△ABC 中,已知 A=30° ,a=8,b=8 3,求△ABC 的面积.

a b b 8 3 3 解析:由 = ,得 sinB= sinA,∴sinB= · sin30° = . sinA sinB a 8 2 又∵8 3· sin30° <8<8 3,即 bsinA<a<b,∴三角形的解有两种情况. 3 ∵sinB= ,∴B=60° 或 120° ,∴C=90° 或 30° . 2 1 1 1 ∴S△ABC= ab· sinC= ×8×8 3×sin90° =32 3或 S△ABC= ×8×8 3×sin30° =16 3, 2 2 2 ∴△ABC 的面积为 32 3或 16 3. 练习 1.在△ABC 中,已知 b=1,c=3,A=60 ,则 S△ABC=
0

3 3 4



2.在△ABC 中,AB=2,BC=5,△ABC 的面积为 4,则 cos∠ABC 等于( B ) 3 3 3 2 A. B.± C.- D.± 5 5 5 5 1 1 4 3 解析:由 S= AB· BC· sin∠ABC,得 4= ×2×5×sin∠ABC,∴sin∠ABC= ,从而 cos∠ABC=± .答案:B 2 2 5 5 5 【例 7】 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 tanA=3,cosC= . 5 (1)求角 B 的大小.(2)若 c=4,求△ABC 的面积. 5 2 5 解析:(1)∵cosC= ,∴sinC= ,tanC=2. 5 5 tanA+tanC 3+2 π 又∵tanB=-tan(A+C)=- =- =1,且 0<B<π,∴B= . 4 1-tanAtanC 1-3×2 2 4× 2 π b c csinB 3 10 +C?,得 sinA= (2)由正弦定理 = ,得 b= = = 10,由 sinA=sin(B+C)=sin? , 4 ? ? sinB sinC sinC 10 2 5 5 1 ∴△ABC 的面积 S△ABC= bcsinA=6. 2 1.在 ?ABC 中,下列等式总能成立的是( A. a cos C ? c cos A
?

D ) C. ab sin C ? bc sin B ) D. D. a sin C ? c sin A

B. b sin C ? c sin A

2.在 ?ABC 中,已知 a ? 8, B ? 60 ,C=75°,则 b 等于( C A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6

32 3

3.在 ?ABC 中,A=60°, a ? 4 3, b ? 4 2 ,则角 B 等于( C ) A.45°或 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 4.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是( D ) A. a ? 8, b ? 16, A ? 30 ,有两解
?

B. b ? 18, c ? 20, B ? 60 ,有一解
?

C. a ? 5, b ? 2, A ? 90 ,无解
? ? ?

D. a ? 30, b ? 25, A ? 150 ,有一解
?

5.已知 ?ABC 中, a ? 10, B ? 60 , C ? 45 ,则 c 等于( B A. 10 ? 3
2

) D. 10 3

B. 10( 3 ? 1)
2

C. 10( 3 ? 1)

6.在 ?ABC 中,已知 a tanB ? b tan A ,则此三角形是( D ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.直角或等腰三角形 7.在 ?ABC 中, 已知 a ? x, b ? 2, B ? 45 , 如果利用正弦定理,三角形有两解, 则 x 的取值范围是 ( A )
?

A.2< x < 2 2

B. x > 2 2

C. 2 < x <2

D.0< x <2 )

8.三角形两边之差为 2,夹角的余弦值为 A.3 和 5 B.4 和 6

3 .该三角形的面积为 14,则这两边分别为( C 5
C.5 和 7 D.6 和 8

? ? 9.在 △ ABC 中, AB ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? ____ 3 ? 3 ______

10.在 ?ABC 中,若 a ? 2, b ? 2 3, ?B ? 60 ,则 c=
?

4

, ?C ?

90?

. 7:5:3

11.在 ?ABC 中,已知 (b ? c) : (c ? a ) : (a ? b) ? 4 : 5 : 6 ,则 sin A : sin B : sin C 等于 12.在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 1, B ? 30 ,则三角形的面积等于
?

3 2



13.已知在 ?ABC 中,A=45°, AB ? 6 , BC ? 2 ,求其他边和角. 解析:由正弦定理:

AB BC 6 2 3 ? ,即 ,解得 sin C ? ,所以 AB ? BC , ? ? sin C sin A sin C sin 45 2

所以 C=60°或 C=120°, 当 C=60°,B=75°, AC ? 3 ? 1 当 C=120°,B=15°, AC ? 3 ? 1 14.在△ABC 中,已知 c=10cm,A=45 ,C=30 求 a , b . 解:∠B=180°-45°-30°=105°,由正弦定理 解得 a ? 10 2 , b ? 5( 2 ? 6) . 15.在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,∠B=30° ,判断△ABC 的形状. 1 3 3 解析:由 csinB=3 3× = ,即 csinB<b<c,故此题有两解. 2 2 csinB 3 由正弦定理,得 sinC= = . b 2 ∴∠C=60° 或∠C=120° . 当∠C=60° 时,∠A=180° -(∠B+∠C)=90° ,△ABC 为直角三角形; 当∠C=120° 时,∠A=180° -(∠B+∠C)=30° =∠B,△ABC 为等腰三角形. 1 16.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sinB= . 3 (1)求 sinA 的值;(2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. π 解析:(1)∵sin(C-A)=1,-π<C-A<π,∴C-A= . 2 π π π 1 ? ∵A+B+C=π,∴A+B+A+ =π,∴B= -2A,∴sinB=sin? ?2-2A?=cos2A=3, 2 2 1 1 3 ∴1-2sin2A= ,∴sin2A= ,∴sinA= . 3 3 3 π 6 6 ? (2)由(1)知,A 为锐角,∴cosA= ,sinC=sin? ?2+A?=cosA= 3 . 3 6 6× 3 AC· sinC 1 1 3 由正弦定理,得 AB= = =6,∴S△ABC= AB· AC· sinA= ×6× 6× =3 2. sinB 1 2 2 3 3
a b 10 ? ? , sin 45? sin105? sin 30?
. .

§ 1.1.1 正弦定理(学生版)
1.新课引入 我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系,我们是否能得到这个边.角关系准 确量化的表示呢? 思考:在直角三角形中,“边”与“角”的关系如何? 在 RT ?ABC 中, a ? c sin A, b ? c sin B ,

a b a b c ?c? ? ? ,? sin C ? 1 ,? sin A sin B sin A sin B sin C

思考:对于一般三角形,上述结论是否成立?

(1)若三角形是锐角三角形

CD CD , sin B ? ,所以 CD=asinB=bsinA, b a a b b c a b c ? ? ? ? 即 ,同理可得 ,? sin A sin B sin B sin C sin A sin B sin C
分析:过点 C 作 CD⊥AB 于 D, 此时有 sin A ? (2)若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗? 2.正弦定理 正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.

a b c ? ? . sin A sin B sin C ? 证明:(外接圆法)作外接圆 O, 过 B 作直径 BC/,连 AC/, ? ?BAC? ? 90 , ?C ? ?C ? , c c a b a b c ? sin C ? sin C ? ? ? 2 R ,同理 ? 2R , ? 2 R ,? ? ? ? 2R , 2 R sin C sin A sin B sin A sin B sin C
即 3.对正弦定理的理解 (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,该正数为 2 R , (2)正弦定理的基本作用为: ①已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角. ②已知两角和一边,求其他角和边. (3)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形. 4.正弦定理的常见公式变形 a sinA a sinA b sinB (1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC; (2) = , = , = ; b sinB c sinC c sinC a+b+c a b c (3) = = = ; (4)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; sinA sinB sinC sinA+sinB+sinC a b c (5)sinA= ,sinB= ,sinC= ; (6)A<B?a<b?2RsinA<2RsinB?sinA<sinB. 2R 2R 2R

1 1 1 1 ah ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2 2 1 1 证明:过点 C 作 CD⊥AB 于 D,此时有 CD ? b sin A , S ?ABC ? c ? CD ? bc sin A , 2 2 1 1 1 同理可得 S ?ABC ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 2 2 2
5.三角形的面积公式: S ?ABC ?

※ 典型例题 考点 1:已知两角和任意边,求其他两边和一角(唯一解) 【例 1】在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , B ? 60? , a ? 2 ,解三角形. 分析:可先由 A+B+C=180° 求出角 C,再用正弦定理求出 b 和 c.

变式 1.(1)在△ABC 中,已知 A=45° ,B=30° ,c=10,求 b. (2)在 ?ABC 中,已知 B ? 45? , C ? 60? , a ? 12 cm,解三角形.

考点 2:已知两边和其中一边的对角,求其他边和角(解的情况:无解、一解、两解) 【例 2】在△ABC 中, A ? 45? , c ? 6 , a ? 2 ,求 b , B 和 C .

变式 2.(1)已知△ABC 中,a=4,b=8,∠A=30°,则∠B 等于 (2)在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60 , c ? 1, 求a 和A, C .
?

90?



变式 3.在△ABC 中,已知 a= 2,b=2,A=30° ,解这个三角形. 分析:本题考查正弦定理,已知两边和其中一边的对角,求另外的边和角,可利用正弦定理结合三角形 内角和定理解决.

考点 3.讨论三角形解的个数 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,要注意根据两边和其中一边的对角之间的关系对三角 形解的个数进行判断,可能有一解、两解或无解,否则可能导致错误. 在△ABC 中,已知 a,b,A,以点 C 为圆心,以边长 a 为半径画弧,与除去顶点 A 的射线 AB 交点的个 数即为三角形解的个数,其解的情况如下表: A 为锐角 A 为钝角或直角

图形

关系 解的个数

a<bsinA 0

a=bsinA 1

bsinA<a<b 2

a≥b 1

a≤b 0

a>b 1

【例 3】 在△ABC 中,分别根据下列条件指出解的个数. (1)a=4,b=5,A=30° ; (2)a=5,b=4,A=60° ; (3)a= 3,b= 2,B=120° ; (4)a= 3,b= 6,A=60° .

变式 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=4,A=30° ,b=x(x>0),判断此三角形解的个 数. 解析:由于 b 是不确定的边长,无法知道 a 与 b 的大小关系,即无法判断 B 是锐角还是钝角,这就需要 对 x 的取值进行分类讨论.

考点 4.正弦定理性质的应用 例 4.在 ?ABC 中,已知 a ? 5, b ? 3 , sin A : sin B 的值是( ) 3 3 5 5 A. B. C. D. 7 7 5 3 a b 例 5.在△ABC 中,若 = ,则△ABC 是( ) cosA cosB A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 变式 5.在△ABC 中,A∶B∶C=4∶1∶1,则 a∶b∶c=( ) A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C. 2∶1∶1 D. 3∶1∶1 变式 6.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( D ) A. 30 或60
0 0

D.等腰直角三角形

B. 45 或60

0

0

C. 120 或60

0

0

D. 30 或150

0

0

变式 7.在 ?ABC 中,一定成立的等式是( C ). A. a sin A ? b sin B B. a cos A ? b cos B C. a sin B ? b sin A 变式 8. 在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,试判断 ?ABC 的形状.

D. a cos B ? b cos A

※ 当堂检测

1.已知 ? ABC 中, ? A ? 60? , a ? 3 ,则 2.在 ?ABC 中,若 a ?

a?b?c = sin A ? sin B ? sin C



5 b, A ? 2 B , 则 cos B ? _________ 2 3.已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶1∶4,则 a∶b∶c 等于( ). A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶ 3 D.2∶2∶ 3 4.在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为( ). A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B D. A . B 的大小关系不能确定 cos A b 5.在 ?ABC 中,若 ). ? ,则 ?ABC 是( cos B a A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 a b c 6.在△ ABC 中,若 ,则△ ABC 是 ? ? cos A cos B cos C 7. 已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 120? ,解此三角形.

考点 5.三角形面积公式的应用 【例 6】在△ABC 中,已知 A=30° ,a=8,b=8 3,求△ABC 的面积.

练习 1.在△ABC 中,已知 b=1,c=3,A=60 ,则 S△ABC=
0

。 )

2.在△ABC 中,AB=2,BC=5,△ABC 的面积为 4,则 cos∠ABC 等于( 3 3 3 2 A. B.± C.- D.± 5 5 5 5 【例 7】 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 tanA=3,cosC= (1)求角 B 的大小.(2)若 c=4,求△ABC 的面积.

5 . 5

1.在 ?ABC 中,下列等式总能成立的是( A. a cos C ? c cos A
?

) C. ab sin C ? bc sin B ) D. D. a sin C ? c sin A

B. b sin C ? c sin A

2.在 ?ABC 中,已知 a ? 8, B ? 60 ,C=75°,则 b 等于( A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6

32 3


3.在 ?ABC 中,A=60°, a ? 4 3, b ? 4 2 ,则角 B 等于(

A.45°或 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 4.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是( ) A. a ? 8, b ? 16, A ? 30 ,有两解
?

B. b ? 18, c ? 20, B ? 60 ,有一解
?

C. a ? 5, b ? 2, A ? 90 ,无解
?

D. a ? 30, b ? 25, A ? 150 ,有一解
?

5.已知 ?ABC 中, a ? 10, B ? 60 , C ? 45 ,则 c 等于(
? ?

) D. 10 3 ) D.直角或等腰三角形 ) D.0< x <2 )

A. 10 ? 3
2

B. 10( 3 ? 1)
2

C. 10( 3 ? 1)

6.在 ?ABC 中,已知 a tanB ? b tan A ,则此三角形是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 A.2< x < 2 2 B. x > 2 2 C. 2 < x <2

7.在 ?ABC 中,已知 a ? x, b ? 2, B ? 45? ,如果利用正弦定理,三角形有两解,则 x 的取值范围是(

8.三角形两边之差为 2,夹角的余弦值为 A.3 和 5 B.4 和 6

3 .该三角形的面积为 14,则这两边分别为( 5
C.5 和 7 D.6 和 8

? ? 9.在 △ ABC 中, AB ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? __________

10.在 ?ABC 中,若 a ? 2, b ? 2 3, ?B ? 60 ,则 c=
?

, ?C ?



11.在 ?ABC 中,已知 (b ? c) : (c ? a ) : (a ? b) ? 4 : 5 : 6 ,则 sin A : sin B : sin C 等于 12.在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 1, B ? 30 ,则三角形的面积等于
?



13.已知在 ?ABC 中,A=45°, AB ? 6 , BC ? 2 ,求其他边和角.

14.在△ABC 中,已知 c=10cm,A=45 ,C=30 求 a , b .





15.在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,∠B=30° ,判断△ABC 的形状.

1 16.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sinB= . 3 (1)求 sinA 的值;(2)设 AC= 6,求△ABC 的面积.


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