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2015-2016学年高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2


第四章

圆与方程

§4.2 直线、圆的位置关系

4.2.3 直线与圆的方程的应用

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

课前热身 在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用 能力

,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法 解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步: 第一步,______________________,用坐标和方程表示问 题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.

第二步,通过__________,解决代数问题. 第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论. 注意:______________方法的灵活运用.

自 建立适当的直角坐标系 我 代数运算 校 对 数形结合思想

名师讲解 1.用坐标法解决几何问题的方法步骤(俗称“三步曲”) 第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般 坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立适当 坐标系,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元 素.将几何问题转化为代数问题. 第二步:用代数运算解决代数问题. 第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

2.要灵活运用数形结合的思想方法 对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解 决.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



数形结合思想方法的应用
(1)方程y= 9-x2表示的曲线是什么? 9-x2=x+b有解,求实数b的取值范围.

【例1】 (2)若方程

【解】 ∴y=

(1)∵y= 9-x2等价于x2+y2=9(y≥0), 9-x2 表示半圆,即以原点为圆心,3为半径的在x

轴上方的半圆(包括两个端点).

(2)方程 9-x2 =x+b有解,即半圆y= 9-x2 与直线y=x +b有交点(如图).易求出,当-3≤b≤3 2 时,方程 9-x2 = x+b有解.



与圆有关的最值问题

【例2】 已知点P(x,y)在圆x2+y2-6x-6y+14=0上. y (1)求x的最大值和最小值; (2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值; (3)求x+y的最大值与最小值. 【分析】 画出示意图,利用几何意义作答.

【解】

圆x2+y2-6x-6y+14=0变形为(x-3)2+(y-3)2=4,如 图. y (1) 表示圆上的点P与原点连线的斜率,显然PO与圆相切 x 时,斜率最大或最小;

设切线方程为y=kx,即kx-y=0, 由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2,得 |3k-3| 9± 2 14 =2,解得k= 5 , 2 k +1 9+2 14 9-2 14 y 所以,x的最大值为 ,最小值为 . 5 5

(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2,它表示圆上的点P到 E(-1,0)的距离的平方再加2,所以当点P与点E的距离最大或 最小时,所求式子就取最大值或最小值, 显然点P与点E的距离的最大值为|CE|+2,点P与点E距离 的最小值为|CE|-2,|CE|= ?3+1?2+32=5, 所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51,最小值为 (5-2)2+2=11.

(3)设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b的纵截距,显然 当动直线y=-x+b与圆(x-3)2+(y-3)2=4相切时,b取最大 值或最小值. 圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆的半径2, |3+3-b| 得 2 2 2, 2 =2,即|b-6|=2 2,解得b=6± 1 +1 所以,x+y的最大值为6+2 2,最小值为6-2 2.

规律技巧 若P(x,y)是定圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的一动 y 点,则mx+ny和x这两种形式的最值,一般都有两种求法,分 别是几何法和代数法. (1)几何法:①mx+ny的最值:设mx+ny=t,圆心C(a,b) |ma+nb-t| 到直线mx+ny=t的距离为d= 2 2 ,由d=r即可解得两 m +n 个t值,一个为最大值,一个为最小值.

y y ②x的最值:设P(x,y)为圆上的点,x即点P与原点连线的 斜率,数形结合可求得斜率的最大值和最小值. y-b (2)代数法:令mx+ny=t或 =t,用x表示y为y=f(x)后 x-a 代入已知圆的方程中,再利用Δ≥0,即得t的取值范围,从而 得到最大值或最小值.



与圆有关的综合问题

【例3】

已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点

P是△ABO内切圆上一点,求以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个 圆面积之和的最大值与最小值. 【分析】 三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|2+

|PB|2+|PO|2的最值. 由于P是△ABO内切圆上的点,若想找到P点坐标,必须先 从△ABO内切圆的方程入手.

【解】 如图,建立直角坐标系,使A,B,O三点的坐标 分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0). 易求得△ABO的内切圆半径r=1,圆心(1,1). 故内切圆的方程是 (x-1)2+(y-1)2=1.

化简为x2+y2-2x-2y+1=0,① 设P(x,y),则 |PA|2+|PB|2+|PO|2 =(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2 =3x2+3y2-8x-6y+25.② 由①可知x2+y2-2y=2x-1, 将其代入②有 |PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25 =-2x+22.

∵x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为 |PA| 2 |PB| 2 |PO| 2 π 18,三个圆面积之和为π( ) +π( ) +π( ) = (|PA|2+ 2 2 2 4 |PB|2+|PO|2). 11π 9π ∴所求面积的最大值为 ,最小值为 . 2 2

规律技巧

选定原点,建立恰当的直角坐标系,将几何问

题转化为代数问题解决.

随堂训练 1.直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点,则|AB| =________.

解析

5 圆心到该直线的距离d= = 5. 5

∴弦长=2 ?2 2?2-? 5?2=2 3.

答案

2 3

2.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过点A且与圆O相切 的直线与坐标轴围成的三角形面积等于________.

解析 依题意过点A(1,2)作圆的切线方程为x+2y=5,在x 5 轴上的截距为5,在y轴上的截距为 ,切线与坐标轴围成的面 2 1 5 25 积S= ×5× = . 2 2 4
答案 25 4

x y 3.若直线a+b=1与圆x2+y2=1有公共点,则( A.a2+b2≤1 1 1 C. 2+ 2≤1 a b B.a2+b2≥1 1 1 D. 2+ 2≥1 a b

)

x y 解析 直线a+b=1可化为bx+ay-ab=0, ∵直线与圆有公共点, |ab| ∴d≤r,即 2 2≤1. a +b 1 1 ∴a +b ≥a b ,∴ 2+ 2≥1. a b
2 2 2 2

答案

D

4.如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点 P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得 PM= 2PN,建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.

解 以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴, 建立直角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).

由已知PM= 2PN,得PM2=2PN2, 因为圆的半径为1,所以
2 2 PO1 -1=2(PO2 -1). 设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-

6)2+y2=33. 故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.

5.一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预 报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为 30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正北40 km处,如 果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

解 如图所示:

以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直 角坐标系,其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区 域所对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船 x y 的位置坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为7+4=1,即4x |28| 28 +7y-28=0,圆心到直线的距离d= 2 >3,而r= 2= 65 4 +7 3,∴d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风影响.


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