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8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积


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§8.1
教学目标

空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立 体模型,会用斜二测画法

画出它们的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.了解棱柱、棱锥、台、球的表面积和体积的计算公式. 5.会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积.

学习内容

知识梳理
1.多面体的结构特征 多面体 棱柱 棱锥 棱台 2.旋转体的形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 3.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° 或 135° ,z′轴与 x′轴和 y′轴所 在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不 变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半. 4.空间几何体的三视图 (1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的 全力以赴赢在环雅 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 矩形的一边所在的直线 直角三角形的一直角边所在的直线 直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线 半圆直径所在的直线 结构特征 有两个面互相平行,而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交 线都互相平行. 有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分.

1

中国教育培训领军品牌 平面图形. (2)三视图的特点: 三视图满足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”. 5.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 S 侧=2πrh S 侧=πrl S 侧=π(r1+r2)l S 侧=ch 1 S 侧= ch′ 2 1 S 侧= (c+c′)h′ 2 S 球面=4πR2 体积 V=Sh=πr2h 1 1 1 V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2 3 3 3 1 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h= π(r2 +r2+r r )h 3 3 1 2 12 V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ S上S下)h 3 4 V= πR3 3

例题讲解

题型一 空间几何体的结构特征 例1 (1)下列说法正确的是 ( )

A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.3 思维启迪 从多面体、旋转体的定义入手,可以借助实例或几何模型理解几何体的结构特征. 答案 (1)B (2)A ( )

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中国教育培训领军品牌 解析 (1)A 错,如图 1;B 正确,如图 2,其中底面 ABCD 是矩形,可证明∠PAB,∠PCB 都是直角,这样四个侧

面都是直角三角形;C 错,如图 3;D 错,由棱台的定义知,其侧棱必相交于同一点.

(2)①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其 余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图 1 所示;③不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转 形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图 2 所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底 面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.

思维升华

(1)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱.

(2)既然棱台是由棱锥定义的,所以在解决棱台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略. (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到,还要看旋转轴是哪条直线. 巩固 如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C 是展开图上的三点,则在正方体盒 ( )

子中,∠ABC 的值为 A.30° C.60° 答案 C

B.45° D.90°

解析 还原正方体,如图所示,连接 AB,BC,AC,可得△ABC 是正三角形,则∠ABC=60° . 题型二 空间几何体的三视图和直观图 例2 1 (1)如图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何体的俯视 2 ( )

图可以是

(2)

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正三角形 AOB 的边长为 a,建立如图所示的直角坐标系 xOy,则它的直观图的面积是________. 思维启迪 1 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是 1,由体积是 可求出底面积.由底面积的大小可判断其俯视 2

图是哪一个. (2)按照直观图画法规则确定平面图形和其直观图面积的关系. 答案 解析 (1)C (2) 6 2 a 16

1 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体,且其高为 1,由其体积是 可知该几何体的底面积是 2

1 π 1 π ,由图知 A 的面积是 1,B 的面积是 ,C 的面积是 ,D 的面积是 ,故选 C. 2 4 2 4 (2)画出坐标系 x′O′y′,作出△OAB 的直观图 O′A′B′(如图).D′为 O′A′的中点. 1 易知 D′B′= DB(D 为 OA 的中点), 2 1 2 2 3 6 ∴S△O′A′B′= × S△OAB= × a2= a2. 2 2 4 4 16 思维升华 (1)三视图中, 主视图和左视图一样高, 主视图和俯视图一样长, 左视图和俯视图一样宽. 即“长对正,

宽相等,高平齐”. (2)解决有关“斜二测画法”问题时,一般在已知图形中建立直角坐标系,尽量运用图形中原有的垂直直线或图形 的对称轴为坐标轴,图形的对称中心为原点,注意两个图形中关键线段长度的关系. 巩固 于 A.1B. 2C. 2-1 2+1 D. 2 2 (1)(2013· 湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的主视图的面积不可能等 ( )

(2)如图, 矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中 O′A′=6cm, O′C′ =2cm,则原图形是 A.正方形 C.菱形 答案 解析 (1)C (2)C (1)由俯视图知正方体的底面水平放置,其主视图为矩形,以正方体的高为一边长, 2-1 . 2 ( )

B.矩形 D.一般的平行四边形

另一边长最小为 1,最大为 2,面积范围应为[1, 2],不可能等于 (2)如图,在原图形 OABC 中, 应有 OD=2O′D′=2×2 2=4 2cm, 全力以赴赢在环雅

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中国教育培训领军品牌 CD=C′D′=2cm. ∴OC= OD2+CD2= ?4 2?2+22=6cm, ∴OA=OC, 故四边形 OABC 是菱形. 题型三 空间几何体的表面积与体积 例3 (1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

(2)已知某几何体的三视图如图所示,其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形 构成,根据图中的数据可得几何体的体积为 ( )

A. C.

2π 1 + 3 2 2π 1 + 6 6

4π 1 B. + 3 6 2π 1 D. + 3 2

思维启迪 先由三视图确定几何体的构成及度量,然后求表面积或体积. 答案 解析 (1)C (2)C (1)由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底面是边长为 4 的正方形;上

底面是长为 4、宽为 2 的矩形;两个梯形侧面垂直于底面,上底长为 2,下底长为 4,高为 4;另 1 两个侧面是矩形, 宽为 4, 长为 42+12= 17.所以 S 表=42+2×4+ ×(2+4)×4×2+4× 17×2 2 =48+8 17.

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中国教育培训领军品牌 (2)由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体,如图,其中 AP,AB,AC 两 1 1 两垂直,且 AP=AB=AC=1,故 AP⊥平面 ABC,S△ABC= AB×AC= ,所以三棱锥 P-ABC 2 2 1 1 1 1 的体积 V1= ×S△ABC×AP= × ×1= ,又 Rt△ABC 是半球底面的内接三角形,所以球的直 3 3 2 6 径 2R=BC= 2,解得 R= 1 2π 积 V=V1+V2= + . 6 6 思维升华 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征,判断是否为组合体,由哪些简单几何体构成,并 2 1 4π 2 2π ,所以半球的体积 V2= × ×( )3= ,故所求几何体的体 2 2 3 2 6

准确判断这些几何体之间的关系,将其切割为一些简单的几何体,再求出各个简单几何体的体积,最后求出组合 体的体积. 巩固 (2012· 课标全国)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 )

O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. 2 3 2 2 B. C. D. 6 6 3 2

答案 A 解析 由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是△ABC,O 是 SC 的中点,因此三棱锥 S-ABC 的高是三棱 锥 O-ABC 高的 2 倍, 所以三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱锥 O-ABC 体积的 2 倍.

在三棱锥 O-ABC 中,其棱长都是 1,如图所示, S△ABC= 3 3 ×AB2= , 4 4 12-? 6 3?2 = , ?3? 3

高 OD=

1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6

综合题库

A组 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. 全力以赴赢在环雅 ( × )

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中国教育培训领军品牌 (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ( × )

(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时,若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴,且∠A=90° ,则在直观图中,∠A= 45° . (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同. (5)圆柱的侧面展开图是矩形. (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算. 2.(2013· 四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 ( × ( × ( √ ( √ ( ) ) ) ) )

答案 D 解析 由三视图可知上部是一个圆台,下部是一个圆柱,选 D. 3.(2013· 课标全国Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器 内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )

500π 3 A. cm 3 1372π 3 C. cm 3 答案 A

866π 3 B. cm 3 2048π 3 D. cm 3

解析 作出该球轴截面的图象如图所示, 依题意 BE=2, AE=CE=4, 设 DE=x, 故 AD=2+x, 因为 AD2=AE2+DE2,解得 x=3,故该球的半径 AD=5, 4 500π 所以 V= πR3= . 3 3 全力以赴赢在环雅

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中国教育培训领军品牌 4.一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形,原三角形的面积为________. 答案 6 2

解析 由斜二测画法,知直观图是边长为 1 的正三角形,其原图是一个底为 1,高为 6的三角形,所以原三角形 的面积为 6 . 2

5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为________. 答案 3 π 3

解析 侧面展开图扇形的半径为 2,圆锥底面半径为 1, 1 3 ∴h= 22-1= 3,∴V= π×1× 3= π. 3 3 B组 1.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数 共有 A.20 C.12 答案 D 解析 如图, 在正五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1 中, 从顶点 A 出发的对角线有两条: AC1, AD1, 同理从 B,C,D,E 点出发的对角线均有两条,共 2×5=10(条). 2.(2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( A.球 C.正方体 答案 D 解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小,分析可得. 球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等,首先排除选项 A 和 C. 对于如图所示三棱锥 O-ABC, 当 OA、OB、OC 两两垂直且 OA=OB=OC 时, 其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项 B. 不论圆柱如何设置,其三视图的形状都不会完全相同, 故答案选 D. 3.(2013· 重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) B.三棱锥 D.圆柱 ) B.15 D.10 ( )

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560 580 A. B. C.200D.240 3 3 答案 C ?2+8?×4 解析 由三视图知该几何体为直四棱柱, 其底面为等腰梯形, 上底长为 2, 下底长为 8, 高为 4, 故面积为 S= 2 =20.又棱柱的高为 10,所以体积 V=Sh=20×10=200. 4.如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是 ( )

答案 D 解析 由俯视图可知是 B 和 D 中的一个,由主视图和左视图可知 B 错. 5.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为( )

3 A. π 2 3 C. π+ 3 2 答案 C 全力以赴赢在环雅

B.π+ 3 5 D. π+ 3 2

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中国教育培训领军品牌 解析 1 1 1 由三视图可知该几何体为一个半圆锥,底面半径为 1 ,高为 3, ∴表面积 S = ×2× 3+ ×π×12+ 2 2 2

3π ×π×1×2= 3+ . 2 6.如图所示,E、F 分别为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面 DCC1D1 上的正 投影是________.(填序号)

答案 ② 解析 四边形在面 DCC1D1 上的正投影为②:B 在面 DCC1D1 上的正投影为 C,F、E 在面 DCC1D1 上的投影应在 边 CC1 与 DD1 上,而不在四边形的内部,故①③④错误. 7.已知三棱锥 A—BCD 的所有棱长都为 2,则该三棱锥的外接球的表面积为________. 答案 3π 解析 如图,构造正方体 ANDM—FBEC.因为三棱锥 A—BCD 的所有棱长都为 2,所以正方体 ANDM—FBEC 的棱长为 1.所以该正方体的外接球的半径为 3 . 2

易知三棱锥 A—BCD 的外接球就是正方体 ANDM—FBEC 的外接球, 所以三棱锥 A—BCD 的外接球的半径为 S 球=4π? 3?2 =3π. ?2? 3 .所以三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积为 2

8.(2013· 江苏)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________.

答案 1∶24 解析 设三棱锥 F-ADE 的高为 h,

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中国教育培训领军品牌 1 ?1 AE· sin∠DAE? h AD· ? 3 ?2 V1 则 = V2 1 ?2h? ?2AD??2AE?sin∠DAE 2 = 1 . 24

9.一个几何体的三视图及其相关数据如图所示,求这个几何体的表面积.



这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.

根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1,下底面半径为 2,高为 3,母线长为 2,几何体的表面积是两个半圆的 1 1 1 1 面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和,故这个几何体的表面积为 S= π×12+ π×22+ π×(1+2)×2+ 2 2 2 2 ×(2+4)× 3= 11π +3 3. 2

10.已知一个正三棱台的两底面边长分别为 30cm 和 20cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高. 解 如图所示,三棱台 ABC—A1B1C1 中,O、O1 分别为两底面中心,D、D1 分别为 BC 和 B1C1

的中点,则 DD1 为棱台的斜高. 由题意知 A1B1=20,AB=30, 10 3 则 OD=5 3,O1D1= , 3 由 S 侧=S 上+S 下,得 1 3 ×(20+30)×3DD1= ×(202+302), 2 4 13 解得 DD1= 3, 3 在直角梯形 O1ODD1 中,
2 O1O= DD1 -?OD-O1D1?2=4 3,

所以棱台的高为 4 3cm.

C组 1.在四棱锥 E—ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M 为 AE 的中点,设 E—ABCD 的体积为 V,那 么三棱锥 M—EBC 的体积为 2 1 2 3 A. VB. VC. VD. V 5 3 3 10 全力以赴赢在环雅 ( )

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中国教育培训领军品牌 答案 D 解析 设点 B 到平面 EMC 的距离为 h1,点 D 到平面 EMC 的距离为 h2.

连接 MD. 因为 M 是 AE 的中点, 1 所以 VM—ABCD= V. 2 1 所以 VE—MBC= V-VE—MDC. 2 而 VE—MBC=VB—EMC,VE—MDC=VD—EMC, VE—MBC VB—EMC h1 所以 = = . VE—MDC VD—EMC h2 h1 3 因为 B,D 到平面 EMC 的距离即为到平面 EAC 的距离,而 AB∥CD,且 2AB=3CD,所以 = . h2 2 所以 VE—MBC=VM-EBC= 3 V. 10 ( )

2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是

A.28+6 5 C.56+12 5 答案 B

B.30+6 5 D.60+12 5

解析 由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示, 其中 AE⊥平面 BCD,CD⊥BD,且 CD=4,BD=5,BE=2,ED=3,AE=4. ∵AE=4,ED=3,∴AD=5. 又 CD⊥BD,CD⊥AE, 则 CD⊥平面 ABD, 故 CD⊥AD, 所以 AC= 41且 S△ACD=10. 在 Rt△ABE 中,AE=4,BE=2,故 AB=2 5. 全力以赴赢在环雅

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中国教育培训领军品牌 在 Rt△BCD 中,BD=5,CD=4, 故 S△BCD=10,且 BC= 41. 在△ABD 中,AE=4,BD=5,故 S△ABD=10. 在△ABC 中,AB=2 5,BC=AC= 41, 则 AB 边上的高 h=6, 1 故 S△ABC= ×2 5×6=6 5. 2 因此,该三棱锥的表面积为 S=30+6 5. 3.表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________. 答案 2 1 解析 设圆锥的母线为 l,圆锥底面半径为 r.则 πl2+πr2=3π,πl=2πr,∴r=1,即圆锥的底面直 2 径为 2. 4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直, 图为该四棱锥的主视图和左视图,它们是腰长为 6cm 的全等的等腰直 角三角形.

(1)根据图所给的主视图、左视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求 PA. 解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线),边长为 6cm 的正方形,如图,其面积为 36cm2.

(2)由左视图可求得 PD= PC2+CD2= 62+62=6 2. 由主视图可知 AD=6,且 AD⊥PD, 所以在 Rt△APD 中, PA= PD2+AD2= ?6 2?2+62=6 3cm. 5.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,PD⊥底面 ABCD,且 PD=a,PA=PC= 2a,若在这个 四棱锥内放一球,求此球的最大半径. 解 当球内切于四棱锥,即与四棱锥各面均相切时球半径最大,

设球的半径为 r,球心为 O, 连接 OP、OA、OB、OC、OD, 则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,这些小棱锥的高都是 r,底面分别为原四棱锥 的侧面和底面, 1 1 则 VP-ABCD= r(S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD+S 正方形 ABCD)= r(2+ 2)a2. 3 3 由题意,知 PD⊥底面 ABCD, 全力以赴赢在环雅

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中国教育培训领军品牌 1 1 ∴VP-ABCD= S 正方形 ABCD· PD= a3. 3 3 由体积相等, 1 1 得 r(2+ 2)a2= a3, 3 3 1 解得 r= (2- 2)a. 2

归纳总结
方法与技巧 1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决. 2.旋转体要抓住“旋转”特点,弄清底面、侧面及展开图形状. 3.三视图画法:(1)实虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线; (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”. 4.直观图画法:平行性、长度两个要素. 5.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解. 6.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元 素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的 直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. 失误与防范 1.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行. 2.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响. 3.几何体展开、折叠问题,要抓住前后两个图形间的联系,找出其中的量的关系.

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