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河北省邢台一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) (Word


河北省邢台一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知实数 a>1,命题 P:函数 <1 是 x<a 的充分不必要条件,则() A.p∨q 为真命题 C. ?p∧q 为真命题 的定义域为 R,命题 q:x
2

B. p∧q 为假命题 D.?p∨?q 为真命题

2. (5 分)已知点 P 是边长为 4 的正方形内任一点,则 P 到四个顶点的距离均大于 2 的概率 是() A. B. C. D.

3. (5 分)已知某 8 个数的平均数为 5,方差为 2,现又加入一个新数据 5,此时这 9 个数的 平均数为 ,方差为 S ,则() A. B. C. D.
2

4. (5 分)阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依次是()

A.2550,2500

B.2550,2550

C.2500,2500

D.2500,2550

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5. (5 分) 已知椭圆

的左焦点为 F, 右顶点为 A, 抛物线 y = (a+c)

2

x 与椭圆交于 B,C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是() A. B.
2

C.

D.

6. (5 分) 已知抛物线 C: y =4x 的焦点为 F, 直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A, B 两点, 则 cos∠AFB= () A.
2 2

B.
2 2

C.

D.

7. (5 分)与圆 x +y =1 及圆 x +y ﹣8x+12=0 都外切的圆的圆心在() A.一个椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 一条抛物线上 D.一个圆上 8. (5 分)有以下命题: ①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 的关系是不共线;

②O,A,B,C 为空间四点,且向量 B,C 一定共面; ③已知向量 是空间的一个基底,则向量

不构成空间的一个基底,那么点 O,A,

,也是空间的一个基

底. 其中正确的命题是() A.①② B.①③
2

C.②③

D.①②③

9. (5 分)已知抛物线 y =4x 的弦 AB 中点的横坐标为 2,则|AB|的最大值为() A.1 B. 3 C. 6 D.12

10. (5 分)过点 P(﹣3,0)的直线 l 与双曲线

交于点 A,B,设直线 l 的斜率

为 k1(k1≠0) ,弦 AB 的中点为 M,OM 的斜率为 k2(O 为坐标原点) ,则 k1?k2=() A. B. C. D.16

11. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(2,0) ,设 A、B 为双曲

线上关于原点对称的两点,AF 的中点为 M,BF 的中点为 N,若原点 O 在以线段 MN 为直 径的圆上,直线 AB 的斜率为 ,则双曲线的离心率为()

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A.

B.
2

C. 2

D.4

12. (5 分)设圆 C 位于抛物线 y =2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包括边界)内,则圆 的半径能取到的最大值为() A. B . 4﹣ C.4+ D. ﹣1

二、填空题(本题 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)设双曲线 此双曲线的方程为. 14. (5 分)在区间上随机取一个数 x 使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1 的概率为. 15. (5 分)已知直线 y=a 交抛物线 y=x 于 A, B 两点,若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为. 16. (5 分)我们把离心率之差的绝对值小于 的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线
2

的离心率为 2,且一个焦点与抛物线 x =8y 的焦点相同,则

2

与双曲线

是“相近双曲线”,则 的取值范围是.

三、解答题(本题 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组 区间是: . (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y) 之比如表所示,求数学成绩在 专题: 计算题. 2 分析: 根据已知中抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A,B 两点,我 们可求出点 A,B,F 的坐标,进而求出向量 方法,即可得到答案. 2 解答: 解:∵抛物线 C:y =4x 的焦点为 F, ∴F 点的坐标为(1,0) 又∵直线 y=2x﹣4 与 C 交于 A,B 两点, 则 A,B 两点坐标分别为(1,﹣2) (4,4) , 则 =(0,﹣2) , =(3,4) , , 的坐标,进而利用求向量夹角余弦值的

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则 cos∠AFB=

=

=﹣ ,

故选 D. 点评: 本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系, 其中构造向量然后利用向量法处理是 解答本题的重要技巧. 7. (5 分)与圆 x +y =1 及圆 x +y ﹣8x+12=0 都外切的圆的圆心在() A.一个椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 一条抛物线上 D.一个圆上 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 2 2 2 2 分析: 设动圆 P 的半径为 r,然后根据动圆与圆 x +y =1 及圆 x +y ﹣8x+12=0 都外切得 |PF|=2+r、|PO|=1+r,再两式相减消去参数 r,则满足双曲线的定义,问题解决. 2 2 解答: 解:设动圆的圆心为 P,半径为 r,而圆 x +y =1 的圆心为 O(0,0) ,半径为 1; 2 2 圆 x +y ﹣8x+12=0 的圆心为 F(4,0) ,半径为 2. 依题意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r,则|PF|﹣|PO|=(2+r)﹣(1+r)=1<|FO|,所以点 P 的轨迹是 双曲线的一支. 故选 B. 点评: 本题主要考查圆与圆的位置关系,考查双曲线的定义,属于基础题. 8. (5 分)有以下命题: ①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 的关系是不共线;
2 2 2 2

②O,A,B,C 为空间四点,且向量 B,C 一定共面; ③已知向量 是空间的一个基底,则向量

不构成空间的一个基底,那么点 O,A,

,也是空间的一个基

底. 其中正确的命题是() A.①② B.①③

C.②③

D.①②③

考点: 共线向量与共面向量. 专题: 综合题. 分析: 空间向量的基底判断②③的正误, 找出反例判断①命题的正误, 即可得到正确选 项. 解答: 解:①如果向量 系是不共线;所以不正确. 反例: 如果有一个向量 为零向量, 共线但不能构成空间向量的一组基底, 所以不正确. 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 的关

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②O,A,B,C 为空间四点,且向量 B,C 一定共面;这是正确的. ③已知向量 是空间的一个基底,则向量

不构成空间的一个基底,那么点 O,A,

,也是空间的一个基

底;因为三个向量非零不共线,正确. 故选 C. 点评: 本题考查共线向量与共面向量,考查分析问题解决问题的能力,是基础题. 9. (5 分)已知抛物线 y =4x 的弦 AB 中点的横坐标为 2,则|AB|的最大值为() A.1 B. 3 C. 6 D.12 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 由题意,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入抛物线 y =4x,再结合弦长公式 |AB|= |x1﹣x2|表示出|AB|,把弦长用引入的参数表示出来,再由中点的横坐标为 2,
2

研究出参数 k,b 的关系,使得弦长公式中只有一个参数,再根据其形式判断即可得出最值. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=4, 2 2 2 2 令直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入抛物线 y =4x 得 k x +2(kb﹣2)x+b =0, 故有 x1+x2= ,x1x2= ,

故有 4=

,解得 b=

,即 x1x2=



又|AB|=

|x1﹣x2|=



=4

=4

≤4×

=6.

故|AB|的最大值为 6, 故选 C. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的关系, 解题的关键是用弦垂公式表示出弦长, 再结合题 设中所给的条件将弦长表示成某个量的函数,利用求最值的方法求出最值.本题比较抽象, 难点在二把弦长用参数表示出来之间,需要做大量的运算,做题时要有耐心,平时要注意提 高符号运算能力.

10. (5 分)过点 P(﹣3,0)的直线 l 与双曲线

交于点 A,B,设直线 l 的斜率

为 k1(k1≠0) ,弦 AB 的中点为 M,OM 的斜率为 k2(O 为坐标原点) ,则 k1?k2=()

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A.

B.

C.

D.16

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题. 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) ,则 ①, ②,

①﹣②?k1?

=

,又 k2=

=

,k1?k2 可解决.

解答: 解:∵点 P(﹣3,0)的直线 l 与双曲线 为 k1(k1≠0) , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 k1= ,

交于点 A,B,直线 l 的斜率

,①﹣②得:

,即

③; 设 AB 的中点 M(x0,y0) ,则 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 又 k1= ,代入③得:

,又 k2= ∴k1?k2= .

=



故选 A. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的关系, 关键在于点差法的灵活运用, 着重考查学生综合 分析与转化的能力,属于中档题.

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11. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(2,0) ,设 A、B 为双曲

线上关于原点对称的两点,AF 的中点为 M,BF 的中点为 N,若原点 O 在以线段 MN 为直 径的圆上,直线 AB 的斜率为 A. B. ,则双曲线的离心率为() C. 2 D.4

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 A(x1,y1) ,则 B(﹣x1,﹣y1) ,由中点坐标公式求出 M、N 坐标关于 x1、y1 的表达式.根据直径所对的圆周角为直角,得 在双曲线上且直线 AB 的斜率为
2 2

= (4﹣

)﹣

=0.再由点 A

,得到关于 x1、y1、a、b 的方程组,联解消去 x1、y1
2

得到关于 a、b 的等式,结合 b +a =c =4 解出 a=1,可得离心率 e 的值. 解答: 解:根据题意,设 A(x1,y1) ,则 B(﹣x1,﹣y1) , ∵AF 的中点为 M,BF 的中点为 N,∴M( (x1+2) , y1) ,N( (﹣x1+2) ,﹣ y1) . ∵原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上, ∴∠NOM=90°,可得 = (4﹣ )﹣ =0.…①

又∵点 A 在双曲线上,且直线 AB 的斜率为

,∴

,…②.

由①②联解消去 x1、y1,得



= ,…③
2 2 2 2

又∵F(2,0)是双曲线的右焦点,可得 b =c ﹣a =4﹣a , 4 2 2 ∴代入③,化简整理得 a ﹣8a +7=0,解之得 a =1 或 7, 2 2 2 由于 a <c =4,所以 a =7 不合题意,舍去. 故 a =1,得 a=1,离心率 e= =2. 故选:C 点评: 本题给出双曲线满足的条件, 求它的离心率, 着重考查了双曲线的标准方程与简单 几何性质等知识,属于中档题.熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、参数 a、b、c 的关系、 中点坐标公式,是解决本题的关键. 12. (5 分)设圆 C 位于抛物线 y =2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包括边界)内,则圆 的半径能取到的最大值为() A. B . 4﹣ C.4+ D. ﹣1
2 2

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考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 当圆 C 半径取最大值时,由对称性知,圆心 C 应在 x 轴上区间(0,3)内,且圆 C 与直线 x=3 相切,设出圆的方程,与抛物线方程联立,进而利用圆 C 与抛物线相切,判 别式为 0,可求得结论. 解答: 解:当圆 C 半径取最大值时,由对称性知, 圆心 C 应在 x 轴上区间(0,3)内,且圆 C 与直线 x=3 相切, 2 2 2 设此时圆心为(a,0) (0<a<3) ,则圆 C 方程为(x﹣a) +y =(3﹣a) , 2 2 2 把 y =2x 代入其中得, (x﹣a) +2x=(3﹣a) , 2 即 x +2(1﹣a)x+6a﹣9=0, 2 ∵圆 C 与抛物线相切,判别式△ = ﹣4(6a﹣9)=0, 2 2 ∴(1﹣a) ﹣6a+9=0,∴a ﹣8a+10=0, ∵0<a<3∴a=4﹣ , ∴圆 C 半径能取到的最大值为 3﹣a=3﹣(4﹣ )= ﹣1. 故选 D. 点评: 本题以直线与抛物线为载体, 考查圆与圆锥曲线的位置关系, 考查学生分析解决问 题的能力,综合性强. 二、填空题(本题 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)设双曲线 的离心率为 2,且一个焦点与抛物线 x =8y 的焦点相同,则
2

此双曲线的方程为



考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点, 利用双曲线的方程与系数 2 2 的关系求出 a ,b ,利用双曲线的三个系数的关系列出 m,n 的一个关系,再利用双曲线的 离心率的公式列出关于 m,n 的另一个等式,解方程组求出 m,n 的值,代入方程求出双曲 线的方程. 解答: 解:抛物线的焦点坐标为(0,2) , 所以双曲线的焦点在 y 轴上且 c=2, 所以双曲线的方程为 即 a =n>0,b =﹣m>0, 所以 ,又 ,
2 2



解得 n=1, 2 2 2 所以 b =c ﹣a =4﹣1=3,即﹣m=3,m=﹣3, 所以双曲线的方程为 .

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故答案为:


2 2 2

点评: 解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题,有定注意三参数的关系:c =a +b 而椭圆 2 2 2 中三参数的关系为 a =c +b 14. (5 分)在区间上随机取一个数 x 使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1 的概率为 .

考点: 几何概型;绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用;概率与统计. 分析: 本题利用几何概型求概率. 先解绝对值不等式, 再利用解得的区间长度与区间的长 度求比值即得. 解答: 解:利用几何概型,其测度为线段的长度. 由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得 ① ,或









解①可得 x∈?,解②可得 1≤x<2,解③可得 x≥2. 故原不等式的解集为{x|x≥1}, ∴|在区间上随机取一个数 x 使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1 的概率为 P= 故答案为: 点评: 本题主要考查了几何概型, 简单地说, 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 15. (5 分)已知直线 y=a 交抛物线 y=x 于 A, B 两点,若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为 ∴a 的取值范围为 16. (5 分)我们把离心率之差的绝对值小于 的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线
2

= .

与双曲线

是“相近双曲线”,则 的取值范围是∪.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的几何性质求得双曲线的离心率,再由“相近双曲线”,得到关于 的不 等式,解不等式求出离心率的范围.
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解答: 解:双曲线

的离心率为 e1=2,

①当 m>0,n>0 时,双曲线 由题意得| ﹣2| ,解得

的离心率为 e2= ;

=



②当 m<0,n<0 时,双曲线

即:

的离心率为

e2= 由题意得|

=



﹣2|

,解得



故答案为:∪. 点评: 本题考查双曲线线标准方程以及双曲线的简单性质的应用,得到关于 的不等式是 解题的关键,属于中档题. 三、解答题(本题 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组 区间是: . (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y) 之比如表所示,求数学成绩在 由题设知,2 = ,解得 a =1
2

所以 a=1,b=2 2 2 (II)由(I)知,F1(﹣3,0) ,F2(3,0) ,C 的方程为 8x ﹣y =8 ① 2 2 2 2 由题意,可设 l 的方程为 y=k(x﹣3) ,|k|<2 代入①并化简得(k ﹣8)x ﹣6k x+9k +8=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1≤﹣1,x2≥1,x1+x2= |AF1|= |BF1|= |AF1|=|BF1|得﹣(3x1+1)=3x2+1,即 , ,于是

=﹣(3x1+1) , =3x2+1,

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=

,解得

,从而

=﹣

由于|AF2|= |BF2|=

=1﹣3x1, =3x2﹣1,

故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3(x1+x2)=4,|AF2||BF2|=3(x1+x2)﹣9x1x2﹣1=16 2 因而|AF2||BF2|=|AB| ,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合关系,考查了运算能力,题设条件的转化能力,方 程的思想运用,此类题综合性强,但解答过程有其固有规律,一般需要把直线与曲线联立利 用根系关系,解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性,给以后解答此类题提供借鉴.

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