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高三数学第一轮复习单元测试——三角函数


高三数学第一轮复习单元测试(3)—《三角函数》
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知 ? ? ( ? , ? ),sin ? ? 3 , 则 tan(? ? ? ) 等于 2 5 4 A. ( )

1 1 B. 7 C. ? D. ?7 7 7 ? 2 将函

数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如图所示,则平
? ? 6 ? ?

移后的图象所对应函数的解析式是 A. y ? sin( x ? ? ) 6 B. y ? sin( x ?





?

6
3

)

C. y ? sin(2 x ? ? ) D. y ? sin(2 x ? ? ) 3

? ? 3.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等于 ? 3 4? ? ? ( )
A.

2 3

B.

3 2

C.2

D.3 ( )

4.设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值

sin x ? a (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是 sin x

B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值 ??? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ??? ? ? AB AC 1 则 ?ABC 为 AB AC ??? 5.已知非零向量 AB 与 AC 满足 ( ??? ? ???? ).BC ? 0 且 ??? . ???? ? . ? ? AB AC 2 AB AC ( A.等边三角形 C.等腰非等边三角形 6.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是 A.y=sin(x+
p ) 6 p ) 6 p ) 3 p ) 6

) B.直角三角形 D.三边均不相等的三角形 ( )

B.y=sin(2x- C.y=cos(4x-

D.y=cos(2x-

7.若△ ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? 2 ,则 sin A ? cos A = 3





A. 15
3

B. ?

15 3

C. 5
3

D. ? 5

3

? ? ? ? ? ? 8. △ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的
大小为 A. ( B. )

? 6

? 3

C.

? 2 ? 4

D.

2? 3
( )

9.函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 A. 2? B. 4? C. D.

? 2
( )

10.设 a b c 分别是Δ ABC 的三个内角 ABC 所对的边, 则 a2=b(b+c)是 A=2B 的 A.充要条件 C.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

11. " 等式 sin(? ? ? ) ? sin 2? 成立 " 是 " ? , ? , ? 成等差数列 " 的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 A. ?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 1 B. ?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 1 C. ?A B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 1 D. ?A B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 1 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.已知 ? , ? ? ? 3? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? ? 12 , 则 cos?? ? ? ? =___ ? ? ? ? ? ?
? 4 ?





B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

12.如果 ?A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则(

3 5

?

4?

_.

13

?

4?

14.给出下面的 3 个命题: (1)函数 y ?| sin( 2 x ? 间 [? ,

?
3

) | 的最小正周期是

3? 5? 5? ) 上单调递增; ) 的图象的一条对称轴.其中正确命题的 (3) x ? 是函数 y ? sin( 2 x ? 2 4 2

o o o o

? 3? ; (2)函数 y ? sin( x ? ) 在区 2 2

序号是

15. cos 43 cos 77 ? sin 43 cos167 的值为



16.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 |) 的图象如图所示,则 f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?2006? ? 的值等 于 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 2006 年 四 川 卷 ) 已 知 A, B, C 是 三 角 形 ?ABC 三 内 角 , 向 量 ( (

?? ? ?? ? m ? ? , 3 n ? c oA , sA,且 m ? n ? 1 . 1 , ? s ?i n

?

?

(1)求角 A ; (2)若

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B . cos 2 B ? sin 2 B

? ? ? ? 18. (本小题满分 12 分) (2007 年陕西卷) 设函数 f ( x) ? a ? b , 其中向量 a ? (m cos2x) ,b ? (1 ? sin 2x, , , 1)
?π ? x ? R ,且 y ? f ( x) 的图象经过点 ? ,? . 2 ?4 ?
(1)求实数 m 的值; (2)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合.

19. (本小题满分 12 分) (2008 年北京文卷)已知函数 f ( x) ? sin 的最小正周期为 π . (1)求 ? 的值; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

2

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 ) 2
?

? ?

π?

? 2π ? ? ?

20.(本小题满分 12 分)有一块半径为 R,中心角为 45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁 皮,工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问:工人师傅是怎样选择 矩形的四点的?并求出最大面积值.

21. (本小题满分 12 分)设 ? ? (0,

?
2

) ,函数 f (x) 的定义域为 [0,1] ,且 f (0) ? 0,

f (1) ? 1 ,对定义域内任意的 x, y ,满足 f (
(1) f ( ) 及 f ( ) 的值;

x? y ) ? f ( x) sin? ? (1 ? sin? ) f ( y) ,求: 2

(2)函数 g ( x) ? sin(? ? 2 x) 的单调递增区间; (3) n ? N 时, an ?

1 2

1 4

1 ,求 f (a n ) ,并猜测 x ? [0,1] 时, f (x) 的表达式. 2n

22. (本小题满分 14 分) (2006 年福建卷)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x ? 2cos2 x, x ? R. (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f ( x ) 的图象可以由函数 y ? sin 2 x( x ? R) 的图象经过怎样的变换得到?

参考答案(3)
3 4 3 , ∴ cos ? ? , tan ? ? , 2 5 5 4 3 ?1 ? tan ? ? 1 4 ∴ tan(? ? ) ? ? ?7 . 4 1 ? tan ? 1 ? 3 4 ? ? ? ? 2.C. 将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象所对应的解析式为 ? 6 ? ? 7? ? 3? y ? sin ? ( x ? ) ,由图象知, ? ( ? )? ,所以 ? ? 2 ,因此选 C. 6 12 6 2 2 k? ? ? (k ? Z ) 3.B.∵ f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 的最小值是 ?2 时 x ? w 2w ? 2 k? ? ? 3 ? ? ∴? ? ∴ w ? ? 6 k ? 且 w ? 8k ? 2 3 w 2w 4 2
1.B.∵ ? ? (

?

, ? ) , sin ? ?

∴ wmin ?

3 2

故本题的答案为 B.

4. 令 t ? sin x, t ? (0,1] , B. 则函数 f ? x ? ? 又 a ? 0 ,所以 y ? 1 ? 5.A
? ? ? ?

sin x ? a a (0 ? x ? ? ) 的值域为函数 y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域, sin x t

a , t ? (0,1] 是一个减函减,故选 B. t
? ?
? ?

向量和三角形之间的依赖关系,认识角平分线和高及夹角用两向量数量积包装的意义, 注意
??? ? ???? ? ? AB AC ??? ??? ? ???? ??BC ? 0 知,角 A ? AB AC ? ?

的平分线和 BC 的高重合, 则 AB ? AC ,由

AB
?

?

AC
?

?

AB

AC

1 知,夹角 A 为 2

600,则 △ ABC 为等边三角形,选 A. 6.D 由图像可知,所求函数的周期为 p 排除(A)(C)对于(B)其图像不过( p ,0)点,所以应选 D. 6

7.A.∵ sin 2 A ? 2sin A cos A ? 0 ,∴ cos A ? 0 . ∴ sin A ? cos A ? 0 ,

2 15 sin A ? cos A = (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? 2sin A cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? ? .应选 A. 3 3 ? ? ? C 8 . B. , p // q ? (a ? c)(c ? a) ? b(b ? a) ? b2 ? a2 ? c2 ? ab , 利 用 余 弦 定 理 可 得 2 c o s ? 1 即 1 ? c o sC ? ? C ? ,故选择答案 B. 2 3 1 2? ? ? ,故选 D. 9.D. y ? sin 2 x cos 2 x ? sin 4 x 所以最小正周期为 T ? 2 4 2
10.A 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,所以 a2=b(b+c)+c2-bc-2bccosA 中 c2-bc-2bccosA=c(c-b- bcosA)=2Rc(sinC-sinB-2sinBcosA)=Rc(sin(A+B)-sinB-2sinBcosA)=Rc(sin(A-B)-sinB)(*),因为 A=2B,所 以(*)=0,即得 a2=b(b+c);而当由余弦定理和 a2=b(b+c)得 bc=c2-2bccosA,l 两边同时除以 c 后再用正弦定理 代换得 sinB=sinC-2sinBcosA,又在三角形中 C=π -(A+B),所以 sinB=sin(A+B)-2sinBcosA,展开整理得 sinB=sin(A-B),所以 B=A-B 或 A=π (舍去),即得 A=2B,所以应选 A. 11.B 若 sin ?? ? ? ? ? sin 2? 12.D. ,则“ ? , ? , ? 成等差数列”不一定成立,反之必成立,选 B.

?A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A1B1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是锐角三角形,

? ? ? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? ? ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) ,得 ? B2 ? ? B1 ,那么, A2 ? B2 ? C2 ? ,所以 ?A2 B2C2 是钝 由? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ?
角三角形.故选 D. 56 13 . ? 由 65 于

3? ?, ? ( ? 4

, ) ,? 所



3? ?? 2

? ?2 ? ,?

?
2

?? ?

?
4

??

,



cos(? ? ? ) ?

4 ? 5 ? ? 4 5 12 3 56 , cos(? ? ) ? ? , cos(? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? (? ? )] = ? (? ) ? ? (? ) = ? . 5 4 13 4 4 5 13 13 5 65

14.①②.③中 x ? 15. ?

5 5 ? 是 y ? sin( 2 x ? ? ) 的对称中心. 4 2

1 .诱导公式变角,再逆用三角公式切入, 2

cos 43? cos 77? ? sin 43? cos167? = cos 43 0 cos 77 0 ? sin 43 0 ?? sin 77 0 ? ? cos 120 0 ? ? 1 ;
2
16 .

2 . 由 图 象 知 ? ? 0, ? ? 2? ? ? ,? f ?x ? ? 2 sin ?x , 其 图 象 关 于 点 ?4,0?, x ? 2, x ? 6 对 称 知 ,

? ? ? f ?2001 ? f ?2002? ? f ?2003 ? ? ? f ?2006? ? f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? f ?4? ? f ?5? ? f ?6?
2? 3? 4? 5? 6? ? ? ? ? 2? sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? ? 2. 4 4 4 4 4 4 ? ?

f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?8? ? 0,?T ? 8,2006? 250? 8 ? 6,? f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?2006?

T

4

4

17. (1)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A,sin A? ? 1

?? ?

?

?

即 3 sin A ? cos A ? 1

5? ? ? ? ∴ A? ? ∴A? . 6 6 6 6 6 3 1 ? 2sin B cos B ? ?3 ,整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0 . (2)由题知 2 2 cos B ? sin B 2 ∴ cos B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0 , ∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 . 2 2 而 tan B ? ?1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去 ∴ tan B ? 2 .
∵0 ? A ? ?,?

? 3 1? 2 ? sin A ? ? cos A ? ? ? 1 , ? 2 2? ? ?

?? 1 ? sin ? A ? ? ? , 6? 2 ?

?

? A?

?

?

∴ tan C ? tan ?? ? ? A ? B ? ? ? ? tan ? A ? B? ? ? ? ?

tan A ? tan B 2? 3 8?5 3 . ? ?? 1 ? tan A tan B 11 1? 2 3

b 18.解: (1) f ( x) ? a? ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x ,
由已知 f ?

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? ? ? π? ?, 4?

(2)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ?

π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?
由 sin ? 2 x ?

? ?

? 3π ? π? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? . 4? 8 ? ?
1 ? cos 2? x 3 ? sin 2? x 2 2

19.解: (1) f ( x) ?

?

3 1 1 π? 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 2 2 2 6? 2 ?
2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以 (2)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

因为 0 ≤ x ≤

2π π π 7π 1 π? ? ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ ,所以 ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 . 3 6 6 6 2 6? ?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

20.如下图,扇形 AOB 的内接矩形是 MNPQ,连 OP,则 OP=R,设∠AOP=θ ,则 ∠QOP=45°-θ ,NP=Rsinθ ,在△PQO 中,
PQ R , ? sin(45? ? ?) sin135?

∴PQ= 2 Rsin(45°-θ ). S 矩形 MNPQ=QP·NP= 2 R2sinθ sin(45°-θ )= ≤

2 2 2 R ·[cos(2θ -45°)- ] 2 2

2 ?1 2 2 ?1 2 R ,当且仅当 cos(2θ -45°)=1,即θ =22.5°时,S 矩形 MNPQ 的值最大且最大值为 R. 2 2 工人师傅是这样选点的,记扇形为 AOB,以扇形一半径 OA 为一边,在扇形上作角 AOP 且使∠ AOP=22.5°,P 为边与扇形弧的交点,自 P 作 PN⊥OA 于 N,PQ∥OA 交 OB 于 Q,并作 OM⊥OA
于 M,则矩形 MNPQ 为面积最大的矩形,面积最大值为

2 ?1 2 R. 2

1?0 1 21. (1) f ( 2 ) ? f ( 2 ) ? f (1) sin ? ? (1 ? sin ? ) f (0) ? sin ? ,
1 ?0 1 1 f( )? f(2 ) ? f ( ) sin a ? (1 ? sin a ) f (0) ? sin 2 a , 4 2 2

1? 2 3 1 f( )? f( ) ? f (1) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( ) ? 2 sin ? ? sin 2 ? , 4 2 2 3 ? 1 1 3 1 f ( ) ? f ( 4 4 ) ? f ( ) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( ) ? 3 sin 2 ? ? 2 sin 3 ? , 2 2 4 4
1

? sin ? ? (3 ? 2 sin ? ) sin 2 ? ,? sin ? ? 0或 sin ? ? 1或 sin ? ?

1 2 ,

?? ? (0, ? ),?? ? ? ,因此, f ( 1 ) ? 2 6 2

1 2

, f (1) ? 4

1 4 .

? 5? (2) g ( x) ? sin( 6 ? 2 x) ? sin( 2 x ? 6 ) ,

? g ( x ) 的增区间为 [k? ? 2? , k? ? ? ](k ? Z ) . 3 6

(3)? n? N , a n ?

1 , 2n

1 ?0 n ?1 1 1 1 1 )? f ( n ?1 ) ? f (an ?1)(n ? N ) , 所以 f (an ) ? f ( n ) ? f ( 2 2 2 2 2 2

因此 f ( a n ) 是首项为 f (a1 ) ? 猜测 f ( x ) ? x . 22. (1) f ( x) ?

1 1 ,公比为 的等比数列,故 2 2

f (a n ) ? f (

1 1 )? , n 2 2n

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 2? ? ?. ? f ( x) 的最小正周期 T ? 2 ? ? ? 由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 2 6 2 ? ? 即 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z . 3 6 ? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
(2)方法一:

? ? 个单位长度,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象,再把所得图象 12 6 3 ? 3 上所有的点向上平移 个单位长度,就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象. 2 6 2
先把 y ? sin 2 x 图象上所有点向左平移 方法二: 把 y ? sin 2 x 图象上所有的点按向量 a ? (?

?

? 3 , ) 平移,就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象. 12 2 6 2

? 3


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