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2000哈尔滨理工大学数学竞赛题


哈尔滨理工大学

2000 年 高等数学竞赛试题
考试时间:120 分钟 考试时间
题号 得分 评卷 教师
装 班 级 :

试卷总分 100 分
三 四 五 六 七 八





题号 得分 评卷 教师 1.
学 号 : 订





十一

十二

十三

十四

十五

十六

总分

2. 设 f ( x ) 具有二阶连续导数,且 f ′′(0) > 0, f (0) = f ′(0) = 0 , t 是曲线 y = f ( x) 上点

( x, f ( x)) 处的切线在 x 轴的截距,求 lim

xf (t ) .(本题满分 6 分) x → 0 tf ( x )

3. 设 f ( x) 在 [0, +∞ ) 二阶可导,且 f (0) = 1, f ′(0) > 1, f ′′( x) > f ( x), ( x > 0) .求证:
姓 名 :

f ( x) > e x .(本题满分 7 分)
4. 已知
线

( ∫ dx + ∫ ydx + ∫ y dx + ∫ y dx ) ∫ 11yy dx = 1 ,求 x = f ( y) 的表达式. (本
2 3 4

题满分 6 分) 5. 设 F ( x ) =



tan x 0

f (tx 2 )dt ,其中 f ( x) 为连续函数,求 F ′( x) ,并讨论 F ′( x) 的连续性.

(本题满分 6 分) 6. 计算



π
0

x ln(sin x)dx .(本题满分 6 分)

-pi*ln2 7. 设 f ( x ) , g ( x ) 可微,且 z = yf ( xy ) dx + xg ( xy ) dy . ⑴ 若存在 u ,使 du = z ,求 f ( x ) g ( x ) ; 解: f ( x ) g ( x ) = 0
哈尔滨理工大学信息与计算科学系 第 1 页 共 1 页 系主任:计东海

⑵ 若 f ( x ) = F ′( x ) ,求 u ,使 z = du . (本题满分 7 分) 解: u = F ( xy ) + C 8. 设 f (u ) 在 [1, +∞ ) 上 有 连 续 的 二 阶 导 数 , f (1) = 1 , f ′(1) =

3 ,且函数 2

ω = ( x2 + y 2 + z 2 ) f ( x2 + y2 + z 2 ) 满 足 :

2ω 2ω 2ω + + = 0 , 求 f (u ) 在 x 2 y 2 z 2

[1, +∞ ) 上的最小值.

(本题满分 7 分)

9.已知当 x > 0 时, 1 + x 2 f ′( x ) + (1 + x) f ( x ) = 1 ,g ′( x ) = f ( x ) ,f (0) = g (0) = 0 , 有

(

)

证明:

1 ∞ 1 < ∑ g < 1 .(本题满分满分 6 分) 4 n =1 n

竞赛趣 味试题

、实数列 {an } 满足: a1 =
ak +1 = ak +

1 , 2

1 , k = 1, 2 , L . 2 ak

证明不等式
n n 1 1 n a1 + a2 + L + an 1 1 ≤ 1 1L 1 n a1 a2 an 2(a1 + a2 + L + an )

2000 年 第 2 页 共 2 页


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