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2015年诸暨市高一数学竞赛模拟试卷8


2015 年诸暨市高一数学竞赛模拟试题(8)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.若 a 、 b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ a ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

1 1 或 b ? ”的 b a

(

)

B.必要而不充分条

件 D.既不充分也不必要条件 ( )

2.在等差数列{an}中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 a2 ? a14 的值为 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

3.对任意 ? ? ? 0,

? ?

??

? ,下列不等式正确的是 2?
B. tan ? tan ? ? ? tan ? D. cos ? tan ? ? ? cos?

(

▲ )

A. tan ? cos? ? ? tan ? C. cos? ? tan ? cos? ?

4), C (2, k ) ,若 ?B 为锐角,则实数 k 的取值范围是( 4.在 ?ABC 中, A(1, 2), B(3,
A. k ? 5 B. k ? 5 C. 3 ? k ? 5 D. k ? 3或3 ? k ? 5

▲ )

5.已知函数 f ( x) 满足 f (1) ? 2 , f ( x ? 1) ? 的值为 A. 3

1 ? f ( x) ( x ? N *) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ?   ?  ? f (2012) 1 ? f ( x)
( ▲ ) D . ?6 ( ▲ )

B. 2

C. 1

6.已知 a ? R ,则函数 f ( x) ? 4 x ? a ? 2 x?1 ?1( x ? 0) 的最小值是 A . 2a ? 2 B. 1 ? a
2

C. ?

?2a ? 2  (a ? ?1) ?1 ? a  
2

(a ? ?1)

D. ?

?1 ? a 2  

(a ? ?1)

?2a ? 2  (a ? ?1)
)

? ? ? ? ? ? ,则 a ? b 的取值范围是( 7.已知 A 为 ?ABC 的最小内角,若向量 a ? (cos A,1), b ? ? 2sin( A ? ),1 ? ? 6 ? ? A. ? ? 1 , 5 ? B. ? ? 1 , 5 ? C. ? 2, 5 ? D. ? 2, 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? 2 2? ? 2? ? 2 2?
3 8.已知 函数 f ( x) ? x ? x , g ( x) ? sin x ? (2 ? cos2 x) ,则 f ( x)、g ( x) 的图像的交点个数为

(

)

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个
?

D.无数个

9.菱形 ABCD 的边长为 2, ?BAD ? 120 ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上, BE = l BC ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 2 DF = mDC .若 AE ? AF ? 1 , CE ? CF ? ? ,则 l + m = 3
A.





1 2

B.

2 3

C.

5 6

D. 7

12

10.若函数 f ( x) 在定义域内满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,有以下命题:

①函数 f ( x) 可以为一次函数;

②函数 f ( x) 的最小正周期一定为 6;

③若函数 f ( x) 为奇函数且 f (1) ? 0 ,则在区间 [?5,5] 上至少有 11 个零点; ④若 ?、? ? R 且 ? ? 0 , 则当且仅当 ? ? 2k? ?

?
3

(k ? Z ) 时, 函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 满足已知条件.
( D.①②④ ▲ )

其中错误 的是 .. A .①② B .③④ C .①②③ 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分。

?x ? 0 ? (k为常数),若z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k = . 11.已知 x, y满足条件? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?
12 .函数 f ( x) ?| sin x | ? cos x ? sin x? | cos x | 的值域是 ▲ .

13.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =_______.

4 ? 5 的解集为 ▲ . sin 4 x ? 1 ? x 2 15.设集合 A ? ? x ? 2 ? 4? 和B ? x log 2 x ? ? x ? ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数, ? 4 ? 则 A? B ? ▲ .
14.方程 sin x ?
4

?

?

? ?

16.函数 f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2 ? 1 ? x 4 ? 2 x 2 的最小值为
x 2 2 x



. ▲ .

17.对于一切实数 x ,不等式 2 ? cos ? ? 2 x ? cos ? ? x ? 2 恒成立,则 ? 的取值范围是 三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分.

18.(本题满分 16 分)在 ?ABC 中 ,角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 设 S 为 △ ABC 的 面 积 , 满 足 4S = ( 2 )若 1 ? 3(a 2 ? b2 ? c 2 ) .( 1 )求 角 C 的 大 小 ;

tan A 2c ? , 且 AB ? BC ? ?8 求 c 的值. tan B b

19.(本题满分 17 分)设实数 a ?

1 1 ? x2 1 ? x2 ,函数 f ( x) ? . ? a 9 1 ? x2 1 ? x2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,判断 f ( x) 的单调性; ( Ⅱ ) 求 实 数 a 的 范 围 , 使 得 对 于 区 间 ??

? 2 5 2 5? , ? 上 的 任 意 三 个 实 数 r、s、t , 都 存 在 以 5 ? ? 5

f (r )、f (s)、f (t ) 为边长的三角形.

20. (本题满分 18 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , an?1 ?
?a ? 2? (1)求证:数列 ? n ? 是等比数列; ? n ?

(3n ? 3)an ? 4n ? 6 , n ? N* . n

(2)设 bn ?

3n ?1 4 1 , n ? N * ,求证:当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ? ? ? b2n ? ? . an ? 2 5 2n ? 1


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